专题3.4 圆心角（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题3.4 圆心角 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识引入1】 1 知识点（一）圆心角 2 【题型1】圆心角的识别 2 【知识引入2】 4 知识点（二）圆心角定理 4 【题型2】利用圆心角定理求值 5 【题型3】利用圆心角定理证明 7 知识点（三）弧的度数 9 【题型4】求圆弧的度数 9 【知识引入3】 12 知识点（四）圆心角、弧、弦、弦心距关系 13 【题型5】利用圆心角、弧、弦、弦心距关系求值 13 【题型6】利用圆心角、弧、弦、弦心距关系证明 16 二. 同步练习 21 【基础巩固（16题）】 21 【能力提升（16题）】 32 【中考真题5题】 49 一．知识梳理与题型分类精析 【知识引入1】 【例题】24-25九年级上·福建福州·阶段练习）下列关于图形对称性的命题，正确的是（    ） A．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 解：A、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，错误，故不符合题意； B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，故符合题意； C、线段是轴对称图形，也是中心对称图形，错误，故不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形，错误，故不符合题意； 故选：B． 由【例题】可知圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.因此把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合. 知识点（一）圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角.如图1，就是一个圆心角. 【题型1】圆心角的识别 【例题1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【答案】 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解． 解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 【点拨】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键． 【变式1】（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 【知识引入2】 【例】如图，在☉o中，，探究与，与之间有何关系? 分析：由旋转性质易探讨出== 知识点（二）圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，把对的弦也相等. 数学语言：在☉o中， ， ，. 【题型2】利用圆心角定理求值 【例题2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． （1）求、的度数． （2）如果弦的长为，那么的半径是多少? 【答案】（1）的度数为，的度数为；（2）的半径是 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，先证明为等边三角形，得出，即可得出的度数，求出，即可得出的度数； （2）由等边三角形的性质即可得解． 解：（1）解：如图：连接， ， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的度数为， ∴，即的度数为； （2）解：由（1）可得：为等边三角形， ∵弦的长为， ∴， ∴的半径是． 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【题型3】利用圆心角定理证明 【例题2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知，是的半径，为的中点，M，N分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见分析． 【分析】本题考查了圆的有关知识，全等三角形的判定与性质，连接，由为的中点，得到，再得到，根据，分别是，的中点，得到，进而证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 解：证明：如图，连接， ∵为的中点， ， ， 又∵，分别是，的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了四量关系定理，取的中点D，连接，，得出根据，得出，从而得出，即可求出，从而得出答案． 解：取的中点D，连接，，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 知识点（三）弧的度数 如果以⊙o的圆心O为端点作360条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1的角，我们把1圆心角所对的弧叫做1°的弧这样，的圆心角所对的弧就是的弧. 【题型4】求圆弧的度数 【例题4】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案． 解：∵， ∴， ∴的度数为，． ∵， ∴， ； ∴的度数是． 【变式1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点拨】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 【知识引入3】 【例题】（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F． 求证：． （2）证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E， ∴， 同理可证：． ∵ ∴． ∵于E点，于点F ∴ 在与中 ， ∴． ∴． ∴在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等． 知识点（四）圆心角、弧、弦、弦心距关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距有一对量相等，那么它们所对应的其余对量都相等. 数学语言：如图3，在☉o中，在与，与，与，弦心距与中，若其中有一组量相等，那么其余的三组量也相等. 【题型5】利用圆心角、弧、弦、弦心距关系求值 【例题5】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． （1）求的度数． （2）若，，求点A，B到直线的距离的和． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由弧与圆心角的关系可得，，再结合等腰三角形的性质可得答案； （2）过A作于Q，过B作于F，可得，再利用直角三角形的性质可得答案； 解：（1）解：∵在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为， ∴，，，， ∴，， ∴； （2）解：过A作于Q，过B作于F，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 由勾股定理得：，， 解得：， ， 所以点A，B到直线的距离的和是． 【点拨】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，弧与圆心角的关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键，连接，先证明，进而得，从而即可得解． 解：连接， ∵是的直径，于点， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时． 连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解． 解：如图，连接，， ，， ， ∵E为的中点， ， ， ， 当，，共线时，的值最小，如图， 此时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，则， 故答案为：． 【题型6】利用圆心角、弧、弦、弦心距关系证明 【例题6】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，由弧弦圆心角的关系得，进而由垂径定理可得，再证明四边形是正方形即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 解：（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点拨】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧和圆心角的关系，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记圆的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． （1）求证：． （2）如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①，②7 【分析】（1）根据，可得，即，即可证明； （2）①连接，证明，得到，再证明，得到，根据，即可求解；②过O作与F，由①易证是等腰直角三角形，根据垂径定理得到，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）证明：， ，即， ； （2）解：①连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过O作与F， 由①得：， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 【点拨】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 2．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 3．（2025·安徽·一模）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据“”得到，据此计算即可求解． 解：由题意得：， 故选：D． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 5．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由是弦的中点，根据垂径定理得到，；由是的中点，根据垂径定理得到；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设，则，后根据勾股定理得到，求得的大小，代入公式计算即可． 本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 解：连接， ∵点是弦的中点， ∴，； ∵是的中点， ∴； 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线， 设，则， ∴， 解得； ∴， ∴， 故选：A． ． 二、填空题 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案． 解：∵一条弦分为两部分， ∴这条弦所对的圆心角的度数为， ∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形， ∴这条弦的长度为． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解． 解：∵， ∴， ∵为， ∴， ∵根据三角形的外角性质可知， ∴， 故答案为：100． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查弧，弦，角直角的关系，根据点，是的三等分点，推出，再根据平角的定义，求出的度数即可． 解：∵点在上，点，是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，已知弦．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了弧、弦间的关系：同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，相等的弦所对的弧相等；由得，则有，从而得． 解：证明：， ， ． ， ． 14．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求． 【答案】（1）详见分析；（2）2 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 解：（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 15．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． （1）求证：． （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 解：（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 16．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． （1）如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 （2）如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 【答案】（1），证明见分析；（2）①证明见分析；② 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． （1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 解：（1）解：． 证明：， ， ，即． （2）解：①证明：是的中点， ． ， ， ， ， ． ②如图，过点作，是垂足，连接． 在中，，， ， ． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 解：如图，连接， ， ∴可设，则， ， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 本题先连接，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解； 解：连接，，如图： ∵是是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由题可得：， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为   A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 解：如图，连接， ， ，， 点是弧的中点， ， ， ， ，设， 在中，则有， 解得， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，于是即可判断选项中说法；由弧、弦、圆心角的关系可得，，进而可得，于是即可判断选项中说法；由可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，由三角形三边之间的关系可得，进而可得，于是即可判断选项中说法；由弧、弦、圆心角的关系可得，由垂径定理的推论可得，于是即可判断选项中说法；综上，即可得出答案． 解：， ， ， 故选项中说法正确，选项不符合题意； ， ， ， ， ， 故选项中说法正确，选项不符合题意； ， ， ， ， ， 故选项中说法错误，选项符合题意； ， ， ， 故选项中说法正确，选项不符合题意； 故选：． 【点拨】本题主要考查了垂径定理，垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握垂径定理及其推论以及弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 5．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论． 解：连接，如图， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴，即是等边三角形， ∴， ∴, 故选：D 6．（14-15九年级上·江苏南通·期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的=关系，垂径定理和三角形中位线性质． 作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为△的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 解：作于，作直径，连接，如图， ， 而， ， ， ， ， ， 而， 为△的中位线， ． 故选：D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得． 解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 9．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ． 【答案】相等 【分析】本题考查了平行线性质，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用等腰三角形性质和平行线性质得到，再结合弧、弦、圆心角之间的关系求解，即可解题． 解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：相等． 10．（2025·山东日照·一模）已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到是等边三角形．连接，根据作图，结合已知可得是等边三角形，进而根据作图可得，即可得到，即可求解． 解：如图，连接，由作图可知：， 又 是等边三角形， ， 由作图可知：， ， 故答案为：． 11．（2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可． 解：解 与关于直线对称， ，且， 与的半径相等， 设半径为， ， 由勾股定理可知，即， 解得， ， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理．作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值． 解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，再根据直角三角形的性质计算即可． 解：如图，连接， 的度数为， ， ， ， ， ． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）52°；（2） 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，垂直平分线基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键． （1）连接，，先通过“到线段两端的距离相等的点在垂直平分线上”，得到垂直平分，再通过三角形的内角和定理计算即可； （2）延长CG交于点H，连接，先证得，再通过勾股定理算出，再在中利用勾股定理计算即可． 解：（1）解：连接，． ∵，经过点， ∴，，且． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长交于点H，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． 在中 由勾股定理得：， ∵， ∴． 设的半径为r， 在中，， ∴． 解得：． 15．（23-24九年级上·江西赣州·期中）课本再现 如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．  （1）求证：四边形是菱形． 拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，同理，得到，即可得出结论； （2）连接，求出，，则平分，得到，则，，由勾股定理求出，由勾股定理求出答案即可． 解：（1）证明：连接，    ∵，C是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，同理， ∴， ∴四边形是菱形； （2）连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】此题考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等知识，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 16．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于． （1）求证：； （2）若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】（1）证明见分析；（2）结论仍然成立，证明见分析 【分析】该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． （1）如图②过点作于点，于点，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； （2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； 解：（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∴；    （2）解：结论仍然成立． 理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知． ∴， 如图④，当点在内时，由（1）知． ∴． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点拨】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】A 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 解：连接，    ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点拨】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 二、填空题 4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    【答案】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 解：方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      【点拨】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 三、解答题 5．（2022·江苏盐城·中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 【答案】见分析 【分析】根据命题的题设：垂直于弦的直径，结论：CD平分AB，CD平分 写出已知，求证，再利用等腰三角形的性质，圆心角与弧之间的关系证明即可． 解：已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为． 求证：，，． 证明：如图，连接、． 因为 ，， 所以，． 所以，． 所以． 【点拨】本题考查的是命题的证明，圆心角与弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，熟练的运用在同圆与等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 圆心角 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【知识引入1】 1 知识点（一）圆心角 1 【题型1】圆心角的识别 2 【知识引入2】 2 知识点（二）圆心角定理 3 【题型2】利用圆心角定理求值 3 【题型3】利用圆心角定理证明 4 知识点（三）弧的度数 5 【题型4】求圆弧的度数 5 【知识引入3】 6 知识点（四）圆心角、弧、弦、弦心距关系 6 【题型5】利用圆心角、弧、弦、弦心距关系求值 6 【题型6】利用圆心角、弧、弦、弦心距关系证明 7 二. 同步练习 8 【基础巩固（16题）】 8 【能力提升（16题）】 12 【中考真题5题】 16 一．知识梳理与题型分类精析 【知识引入1】 【例题】24-25九年级上·福建福州·阶段练习）下列关于图形对称性的命题，正确的是（    ） A．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 知识点（一）圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角.如图1，就是一个圆心角. 【题型1】圆心角的识别 【例题1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【变式1】（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式2】（2024·广东茂名·一模）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【知识引入2】 【例】如图，在☉o中，，探究与，与之间有何关系? 分析：由旋转性质易探讨出== 知识点（二）圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，把对的弦也相等. 数学语言：在☉o中， ， ，. 【题型2】利用圆心角定理求值 【例题2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以点O为圆心，的长为半径的交、于点、． （1）求、的度数． （2）如果弦的长为，那么的半径是多少? 【变式1】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ． 【题型3】利用圆心角定理证明 【例题2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，已知，是的半径，为的中点，M，N分别是，的中点，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，如果，那么 ．（填“”、“”或“”） 知识点（三）弧的度数 如果以⊙o的圆心O为端点作360条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1的角，我们把1圆心角所对的弧叫做1°的弧这样，的圆心角所对的弧就是的弧. 【题型4】求圆弧的度数 【例题4】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 【变式1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【知识引入3】 【例题】（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F． 求证：． 知识点（四）圆心角、弧、弦、弦心距关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距有一对量相等，那么它们所对应的其余对量都相等. 数学语言：如图3，在☉o中，在与，与，与，弦心距与中，若其中有一组量相等，那么其余的三组量也相等. 【题型5】利用圆心角、弧、弦、弦心距关系求值 【例题5】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为． （1）求的度数． （2）若，，求点A，B到直线的距离的和． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ． 【题型6】利用圆心角、弧、弦、弦心距关系证明 【例题6】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，是互相垂直的两条弦，，，垂足分别为．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： （1）； （2）． 【变式2】（24-25九年级上·浙江衢州·期中）已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． （1）求证：． （2）如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·一模）在中，记弦所对的优弧长为，所对的劣弧长为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 8．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ． 9．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是 ． 10．（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，已知弦．求证：． 14．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． （1）求证：点为的中点；（2）若，求． 15．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． （1）求证：． （2）若的半径为5，，求的长． 16．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． （1）如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 （2）如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2025九年级下·四川巴中·学业考试）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为   A．5 B．4 C． D．3 4．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 6．（14-15九年级上·江苏南通·期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 8．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ． 9．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，，是的直径，弦，则与的大小关系是 ． 10．（2025·山东日照·一模）已知锐角如图，①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；②分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．根据以上作图过程及所作图形，若，则的度数为 °． 11．（2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 12．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知：是的直径，弦于点E，G是上的一点，、的延长线交于点．若，的度数为，求的度数． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 15．（23-24九年级上·江西赣州·期中）课本再现 如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．  （1）求证：四边形是菱形． 拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长． 16．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于． （1）求证：； （2）若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D．a，b大小无法比较 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 二、填空题 4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．    三、解答题 5．（2022·江苏盐城·中考真题）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$