专题1.2 矩形的性质与判定（知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题）同步培优重难点精讲练讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

专题1.2 矩形的性质与判定 （知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：矩形的定义 2 知识点梳理02：矩形的性质 2 知识点梳理03：直角三角形斜边上的中线的性质 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：矩形性质理解 3 考点2：利用矩形的性质求角度 4 考点3：根据矩形的性质求线段长 4 考点4：根据矩形的性质求面积 5 考点5：利用矩形的性质证明 6 考点6：求矩形在坐标系中的坐标 7 考点7：矩形与折叠问题 8 考点8：斜边的中线等于斜边的—半 8 考点9：矩形的判定定理理解 9 考点10：添一条件使四边形是矩形 10 考点11：证明四边形是矩形 11 考点12：根据矩形的性质与判定求角度 13 考点13：根据矩形的性质与判定求线段长 14 考点14：根据矩形的性质与判定求面积 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 21 知识点梳理01：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 注意： 矩形定义的两个要素是①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点梳理02：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②矩形是轴对称图形，它有两条对称轴； ③矩形的四个角都是直角； ④矩形的对角线相等. 注意： (1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分. (2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(通过对边中点的直线).对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心). (3)矩形具有平行四边形的所有性质.矩形的性质可以从三个方面看： 从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点梳理03：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.运用该性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不可使用. (2)已学过的直角三角形性质有①直角三角形两个锐角互余；②直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. (3)直角三角形斜边上的中线性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 考点1：矩形性质理解 【典例精讲】（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式训练】（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的中点； (2)在图2中作出的重心． 考点2：利用矩形的性质求角度 【典例精讲】．（24-25八年级下·吉林长春·期中）点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则 ． 【变式训练】（2025·青海西宁·二模）如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． (1)求证：； (2)若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 考点3：根据矩形的性质求线段长 【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）在矩形中，，，E、F分别是、上两点，连接、．并且垂直平分，垂足为O． (1)线段的长为______； (2)证明四边形为菱形； (3)求的长． 考点4：根据矩形的性质求面积 【典例精讲】．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中，已知， ， ，点M是上任意一点，交于点E，交于点F，则的长度为 【变式训练】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，，点、、分别是各边的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的面积为__________． 考点5：利用矩形的性质证明 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动． (1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请写出图中一个度数为的角：______； (2)【解决问题】如图2，小明将长方形绕点A顺时针旋转后，边与边交于点M，连接，若，，求矩形的面积； (3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，，若，，请求出的面积． 【变式训练】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 考点6：求矩形在坐标系中的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点7：矩形与折叠问题 【典例精讲】（22-23八年级下·山西吕梁·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点D落在处，交于点E，若，则的长为 ． 【变式训练】（2024·江苏连云港·三模）如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（    ） A． B． C． D． 考点8：斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是 ． 【变式训练】（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，和相交于点O，，点E、F分别是、的中点．当时，求证：四边形是矩形． 考点9：矩形的判定定理理解 【典例精讲】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南常德·期末）下列命题正确的是（      ） A．等腰三角形是中心对称图形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 考点10：添一条件使四边形是矩形 【典例精讲】．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，是的高，，分别是，的中点，点在上，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．填空： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 考点11：证明四边形是矩形 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图：在中，，是的一条角平分线，为的外角的角平分线． (1)求证：； (2)用尺规作图：过作的垂线，垂足为（不写过程，需保留作图痕迹）； (3)求证：四边形是矩形． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线．将，其沿射线的方向平移，得到，其中点的对应点分别为．如图②，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考 （1）请回答老师提出的问题； 深入探究 （2） 老师将图②中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点的对应点分别为，线段分别与边交于点．如图③，当时，让同学们提出新的问题．“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明． 考点12：根据矩形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【变式训练】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结． (1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； (3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围． 考点13：根据矩形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图），直线与交于点，直线与交于点．设． (1)在图①中，的度数为_____；边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是正方形？ (4)已知存在值，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的值． 【变式训练】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． (1)若，则点到的距离是_______； (2)判断的形状并加以证明； (3)若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 考点14：根据矩形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【变式训练】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 5．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 基础夯实 1．（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，，则四边形的周长是（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 5．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 6．如图，在中，，D为的中点，，则的长是 ．    7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为邻边作矩形，连接．若，，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作于点，且，若，则的长为 ． 9．如图，菱形的对角线相交于点，，．求证：四边形是矩形．      10．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 培优拔高 11．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（   ） A．5 B．4 C．2 D．2.5 12．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N．作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 13．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，，菱形的面积为240，则的长等于 ． 15．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，点D、E分别是、的中点，于点F，则线段的长为 ． 16．（2024·河南南阳·一模）矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．将绕直角顶点C顺时针旋转得到．若F是DE的中点，连接AF，求AF的长． 18．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在矩形中，，，在边上，关于直线的对称点为点，当点在边上时，连接，求的面积． 19．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形中，，点E、F分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图1，若，求线段的长度； (2)如图2，若，求线段的长度； (3)如图3，若点F在的延长线上，点E是中点，且与互补，求线段的长度． 20．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）在矩形中，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点落在矩形的边上（如图①）． 当点与点重合时，___________；当点与点重合时，___________； 深入探究 （2）当点在上，点在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求四边形的面积； 拓展延伸 （3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图③）．在折叠过程中，当线段与线段的长度相等时，直接写出线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 矩形的性质与判定 （知识梳理+14个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：矩形的定义 1 知识点梳理02：矩形的性质 2 知识点梳理03：直角三角形斜边上的中线的性质 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：矩形性质理解 2 考点2：利用矩形的性质求角度 4 考点3：根据矩形的性质求线段长 6 考点4：根据矩形的性质求面积 8 考点5：利用矩形的性质证明 10 考点6：求矩形在坐标系中的坐标 14 考点7：矩形与折叠问题 16 考点8：斜边的中线等于斜边的—半 18 考点9：矩形的判定定理理解 20 考点10：添一条件使四边形是矩形 21 考点11：证明四边形是矩形 24 考点12：根据矩形的性质与判定求角度 28 考点13：根据矩形的性质与判定求线段长 31 考点14：根据矩形的性质与判定求面积 37 中考真题 实战演练 39 难度分层 拔尖冲刺 46 基础夯实 46 培优拔高 54 知识点梳理01：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 注意： 矩形定义的两个要素是①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点梳理02：矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②矩形是轴对称图形，它有两条对称轴； ③矩形的四个角都是直角； ④矩形的对角线相等. 注意： (1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过对称中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分. (2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(通过对边中点的直线).对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心). (3)矩形具有平行四边形的所有性质.矩形的性质可以从三个方面看： 从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点梳理03：直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.运用该性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不可使用. (2)已学过的直角三角形性质有①直角三角形两个锐角互余；②直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. (3)直角三角形斜边上的中线性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 考点1：矩形性质理解 【典例精讲】（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【思路引导】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． 【规范解答】（1）解：如图所示：   ； （2）解：四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【考点剖析】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式训练】（2025·江西·中考真题）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出的中点； (2)在图2中作出的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用矩形的性质即可作出的中点； （2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所作； ； （2）解：如图，点即为所作； ． 考点2：利用矩形的性质求角度 【典例精讲】．（24-25八年级下·吉林长春·期中）点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键．根据矩形的性质，得，，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算即可． 【规范解答】解：∵矩形的对角线的延长线上一点，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（2025·青海西宁·二模）如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． (1)求证：； (2)若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质，推出，进而得到，再结合已知，利用即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质推出，结合，求出，，进而求出，即可得到的度数． 【规范解答】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∵，共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 考点3：根据矩形的性质求线段长 【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【规范解答】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【考点剖析】本题考查的知识点是矩形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理解直角三角形、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）在矩形中，，，E、F分别是、上两点，连接、．并且垂直平分，垂足为O． (1)线段的长为______； (2)证明四边形为菱形； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了矩形的性质、菱形的判定，勾股定理和全等三角形的判定和性质； （1）利用勾股定理求出长即可； （2）首先证明进而得出，得出四边形是平行四边形，即可利用菱形的判定得出答案； （3）设，则，在中利用勾股定理得到方程，求得的值即可． 【规范解答】（1）解：∵是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵四边形矩形， ， ， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （3）解：设，则， 在中，，即， 解得：， ∴的长为. 考点4：根据矩形的性质求面积 【典例精讲】．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中，已知， ， ，点M是上任意一点，交于点E，交于点F，则的长度为 【答案】 【思路引导】本题考查了长方形的性质；熟练掌握长方形的性质及勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．先根据勾股定理求出，记、的交点为，求解，连接，再利用面积法求解即可． 【规范解答】解：记、的交点为，连接， 在长方形中， ， ， ， ，， ∴长方形的面积为，的面积为， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，，点、、分别是各边的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的面积为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（）由三角形中位线的性质可得，，即得四边形是平行四边形，进而即可求证； （）由三角形中位线的性质可得，，进而根据矩形的性质可求出面积； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点、、分别是各边的中点， 、是的中位线， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； （2）解：∵、是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 考点5：利用矩形的性质证明 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动． (1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请写出图中一个度数为的角：______； (2)【解决问题】如图2，小明将长方形绕点A顺时针旋转后，边与边交于点M，连接，若，，求矩形的面积； (3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，，若，，请求出的面积． 【答案】(1)或 (2) (3)的面积是或 【思路引导】（1）可推出，从而得出结果； （2）根据旋转可得，即可得到，进而得出，然后利用矩形的面积解答即可； （3）当线段与交于点时，作于，可证得从而，，进而得出，从而得出，进而得出，求出三角形的面积；当的延长线交于点时，同样得方法得出结果． 【规范解答】（1）解：∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：或； （2）解：∵长方形绕点A顺时针旋转， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图， 当线段与交于点时，作于， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ， ∴， ， ， ， ； 如图， 当的延长线交于点时， 由上知：， ， ， 综上所述：的面积是或． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【变式训练】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据角平分线的定义得出，证明得出，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，即得到④错误． 【规范解答】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， 在和中， 平分，故①正确； ，故②正确； 在和中， ，故③正确； 不是等边三角形， ，即，故④错误； ∴①②③是正确的． 故答案为：①②③． 考点6：求矩形在坐标系中的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 【变式训练】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 考点7：矩形与折叠问题 【典例精讲】（22-23八年级下·山西吕梁·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点D落在处，交于点E，若，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，可得，设，则，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【规范解答】解：由折叠得：， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即的长为， 故答案为：． 【变式训练】（2024·江苏连云港·三模）如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理．弄清题目中各线段间的关系是解题的关键． 由轴对称的性质可得：，则，；在中，由勾股定理可得，则；设，则，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【规范解答】解：∵是由沿直线翻折得到， ∴， 则，． ∵四边形是矩形， ∴，，． 在中，， ∴． 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得：． 则． 故选：B． 考点8：斜边的中线等于斜边的—半 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的最大值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，取的中点利用中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键；连接，取其中点E，连接，则，当点E在线段上时，取得最大值；由中位线定理及直角三角形的性质可分别求得的长，从而求得的最大值． 【规范解答】解：如图，连接，取中点E，连接， 则，当点E在线段上时，取得最大值，且最大值为； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∵是的中点，， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式训练】（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，和相交于点O，，点E、F分别是、的中点．当时，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是牢记相关概念与性质． 先证明，再证明和都是等边三角形，得到四边形的对角线相等且互相平分即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴，， ∵点E、F分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴，且， ∴四边形是矩形． 考点9：矩形的判定定理理解 【典例精讲】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定． （1）先证明，得到，即可推出四边形是平行四边形； （2）利用三角形中位线定理求得，推出，即可判断四边形是矩形． 【规范解答】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形． 理由如下： ∵是的中点， ∴当点是边的中点时，是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式训练】（24-25九年级上·湖南常德·期末）下列命题正确的是（      ） A．等腰三角形是中心对称图形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】B 【思路引导】本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理和等腰三角形的性质及中心对称的定义是解题的关键， 利用平行四边形、菱形、矩形、的判定定理、等腰三角形的性质和中心对称图形的定义逐一判断即可得到答案． 【规范解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该命题不正确，不符合题意； B．根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题正确，符合题意； C．平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，特殊的平行四边形如菱形的对角线才互相垂直，故该命题不正确，不符合题意； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故该命题不正确，不符合题意； 故选：B． 考点10：添一条件使四边形是矩形 【典例精讲】．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了矩形的判定，由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、添加不能够判定平行四边形为矩形，原选项不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，原选项符合题意； 故选：． 【变式训练】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，是的高，，分别是，的中点，点在上，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．填空： ①当 时，四边形是矩形； ②当 时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②2 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、勾股定理、三角形的中位线等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． （1）根据中点，得出是的中位线，是的中位线，是的中位线，根据三角形中位线的性质，得出，，，则，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可证明四边形是平行四边形； （2）①当时，点和点重合，得出是的中位线，则，推出，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可得出此时四边形是矩形； ②当时，求出，根据三角形中位线的性质，得出，，当时，求出，根据勾股定理计算，得出，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得出此时四边形是菱形． 【规范解答】（1）证明：∵，分别是，的中点，点在上，，分别是，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①当时，四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴当时，点和点重合， ∴此时点也是的中点， ∵是的中点， ∴此时是的中位线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 由∵由（1）得四边形是平行四边形， ∴此时四边形是矩形， 故答案为：8； ②当时，四边形是菱形，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）得是的中位线，是的中位线，四边形是平行四边形， ∴，， 当时，， ∵是的高，， ∴， ∴， ∴此时， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：2． 考点11：证明四边形是矩形 【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图：在中，，是的一条角平分线，为的外角的角平分线． (1)求证：； (2)用尺规作图：过作的垂线，垂足为（不写过程，需保留作图痕迹）； (3)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查作垂线、等腰三角形的性质、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义可得，，再根据，可得，即． （2）根据垂线的作图方法作图即可． （3）由等腰三角形的性质可得，则，由角平分线的定义可得，则，即，进而可得，再结合矩形的判定可得结论． 【规范解答】（1）证明：是的一条角平分线，为的外角的角平分线， ，， ， ， ， 即． （2）解：如图，直线即为所求． （3）证明：， ． ． 为的外角的角平分线， ， ， ， ． ， ， ． ， 四边形是矩形． 【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线．将，其沿射线的方向平移，得到，其中点的对应点分别为．如图②，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考 （1）请回答老师提出的问题； 深入探究 （2）老师将图②中的绕点F按逆时针方向旋转得到，其中点的对应点分别为，线段分别与边交于点．如图③，当时，让同学们提出新的问题．“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明． 【答案】（1）矩形，理由见解析；（2），见解析 【思路引导】（1）四边形是矩形，由平移的性质得到，从而得到，根据为边上的中线，推出，进而证明是等腰三角形，推出，，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）由平移的性质得到，从而得到，由（1）可得，进而得到，在图3中，由旋转的性质得到，根据平行线的性质推出，证，再根据四边形是矩形，推出，即可证明． 【规范解答】解：（1）四边形是矩形， 理由如下：平移得到， ， ， 为边上的中线， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）， 证明：在图2中，平移得到， ， 由（1）可得，， ， ， 在图3中，旋转得到， ， ， ， ， ， 由图2可知，四边形是矩形， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键． 考点12：根据矩形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 【变式训练】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结． (1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； (3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【思路引导】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握． （1）根据平行四边形判定及性质进行证明即可； （2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，所以菱形的面积即可求得； （3）如图，点在延长线上(可以与点重合)，得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是． 【规范解答】（1）证明：∵是的中位线， ∴是中点， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形； （2）解：如图2，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为2； （3）解：如图，点在延长线上（可以与点重合）， ∴， 随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，如图，四边形是矩形， ， 而， ， ， ， ． 考点13：根据矩形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图），直线与交于点，直线与交于点．设． (1)在图①中，的度数为_____；边的长为______； (2)若点在线段上，四边形的形状是______； (3)若点在射线上，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是正方形？ (4)已知存在值，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)，； (2)矩形； (3)当或时，以、、、为顶点的四边形是正方形； (4)或． 【思路引导】（1）利用矩形的性质可求得，利用含直角三角形的性质结合勾股定理即可求得边的长； （2）由平移的性质得，推出，得到四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解； （4）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再利用，列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：矩形中， 又， ， 矩形中，， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：由平移的性质得， 四边形为矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 故答案为：矩形； （3）解：当点在线段上时， ， ， 四边形是正方形， ， 即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 四边形是正方形， ， 即 ； 综上所述，当为或时，以、、、为顶点的四边形是正方形； （4）解：存在，理由如下： 当点在线段上时， ， ， 由平移的性质知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 由平移的性质可知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ， 综上所述，当为或时，以、、、为顶点的四边形是菱形． 【考点剖析】本题考查的知识点是含直角三角形特征、平移的性质、直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的性质，正方形性质，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． (1)若，则点到的距离是_______； (2)判断的形状并加以证明； (3)若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形，证明见解析 (3)（） 【思路引导】本题考查了四边形与三角形综合，主要涉及了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识点， （1）过点做，垂足为，由，，可得，从而证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出； （2）根据等边对等角可得，，结合四边形内角和等于，可得， 由此求出，进而即可判定是等腰直角三角形， （3）过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为，容易证明平行四边形是矩形，，结合由（1）得，再由（2）得是等腰直角三角形，求出，，在中，根据，求出y关于x的函数解析式． ∴． 【规范解答】（1）解：过点做，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴点到的距离是， （2）解：结论：是等腰直角三角形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 即是等腰直角三角形， （3）解：过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为， 又∵， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， 由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，函数定义域为． 考点14：根据矩形的性质与判定求面积 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 12 【思路引导】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【规范解答】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 【变式训练】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【思路引导】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【规范解答】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【规范解答】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 2．（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是矩形，理由见解析；② 【思路引导】（1）由是等腰三角形，，，分别讨论：当时和当时，利用三角形的三边关系判断是否成立即可； （2）①利用，，得出四边形是平行四边形，再利用，即可判定四边形是矩形；②过点作于点，利用，得出是直角三角形，且，证明，得出，，利用勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出，得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是等腰三角形，，， ∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， 故答案为：； （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ②过点作于点， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，矩形的判定，二次根式的运算等，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 3．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)证明见解析 (2)条件①，四边形为矩形；条件②，四边形为菱形，证明见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形和矩形的判定，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行得到，，再由，即可由证明全等； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据选择的条件结合菱形和矩形判定证明即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴ （2）解：选择条件①，四边形为矩形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 选择条件②，四边形为菱形，理由如下： ∵ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 【答案】B 【思路引导】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【规范解答】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 5．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【思路引导】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【规范解答】（1）证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）证明：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 基础夯实 1．（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述判定与性质． 根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一分析，再作判断． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， 添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故A不符合； 添加，可得， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故B不符合； 添加，可得出四边形是菱形， 不能判定四边形是矩形，故C符合； ∵四边形是平行四边形， ∴， 添加，可得出， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故D不符合， 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握折叠题目中找出相等的角是解题的关键． 由矩形的性质得，由折叠的性质得到相等的角，再根据图形找到角之间的关系，即可得出答案． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理的运用是解题的关键．先根据矩形性质和折叠性质求出线段的长度，再根据勾股定理求出线段，然后利用矩形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：∵点是矩形的中心， ∴，， 由折叠性质可知：， ∴， 在中，， ∴矩形的面积为， 故选：D． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，，则四边形的周长是（   ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理、矩形、平行四边形的性质．根据矩形和勾股定理的性质，得；根据平行四边形的性质计算，即可得到答案． 【规范解答】解：∵矩形的对角线、相交于点，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长， 故选：A． 5．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为 ． 【答案】8 【思路引导】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【规范解答】解：由题意可得， ，点为的中点， ， 故答案为：8． 6．如图，在中，，D为的中点，，则的长是 ．    【答案】3 【思路引导】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【规范解答】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O，A重合），过点B作的垂线交于点C．以为邻边作矩形，连接．若，，则的长为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，矩形的性质，连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作于点，且，若，则的长为 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得到，由得到，推出垂直平分，得到，即可求出的长． 【规范解答】解：四边形是矩形， ， ， ， ，即， 垂直平分， ， ． 故答案为：12． 9．如图，菱形的对角线相交于点，，．求证：四边形是矩形．      【答案】证明见解析 【思路引导】被本题考查矩形的判定，涉及平行四边形判定、菱形性质等知识，先由平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，再由菱形性质得到对角线相互垂直，即，最后由矩形的判定定理求证即可．熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【规范解答】证明： ，， 四边形是平行四边形， 在菱形的对角线相交于点，则， 即， 四边形是矩形． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)矩形，见解析 【思路引导】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键． （1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证． 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，连接，点是上的一点，    ∵四边形是矩形， ∴，，即， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，是的角平分线， 由（1）可知，， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，则，， 如图所示，连接，，过点作于点，      ∵点是的中点，， ∴点是线段的中点，则， ∴在中， ， ∴， ∴，， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 培优拔高 11．（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（   ） A．5 B．4 C．2 D．2.5 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件先得出是的中位线，求出长度，再利用直角三角形斜边中线定理进行求解即可． 【规范解答】解：∵，分别为，边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵于，点是的中点， ∴, 故选：A． 12．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N．作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题关键是熟练掌握几种尺规作图，在直角三角形中长度不能直接求的可通过方程思想根据勾股定理求解． 根据尺规作图，可知是的垂直平分线，则可得，再利用勾股定理列方程求解． 【规范解答】解：由题意知是的垂直平分线， ∴， 在矩形中，， 设， 则， ∴由得， 解得：． 故选：B． 13．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】过点作于点，证四边形和四边形为矩形，得出，，根据证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 【规范解答】解：过点作于点， 在矩形中，， 四边形和四边形为矩形， 又，， ，， 是的中点， ， 又， ， 又， ， ， 垂直平分， ， 令，则， 又， ， ，， 在中，， 解得． 故选：A． 【考点剖析】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键． 14．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，，菱形的面积为240，则的长等于 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质； 由菱形的面积和对角线的长度可求出的长，再由勾股定理可求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【规范解答】解：∵菱形的面积为240， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵H为边中点，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，点D、E分别是、的中点，于点F，则线段的长为 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 利用三角形中位线定理得出，利用直角三角形斜边中线定理得出，即可得出结果． 【规范解答】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点，， 则， ， 故答案为：． 16．（2024·河南南阳·一模）矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为 ． 【答案】2或8 【思路引导】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【规范解答】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵点为的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 如图 2，过点作与， 则四边形是矩形，， ， 由折叠可得， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，的长为2或8， 故答案为：2或8． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．将绕直角顶点C顺时针旋转得到．若F是DE的中点，连接AF，求AF的长． 【答案】5 【思路引导】本题考查了旋转的性质，熟知图形旋转的性质及巧用勾股定理是解题的关键． 取的中点，连接，利用旋转的性质可得的长和的大小，再证明是的中位线，进而求出和的长，最后根据勾股定理即可求出的长． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接． 根据旋转的性质，得，，． 是的中点，是的中点， 是的中位线，， ，， ． ， ． 根据勾股定理，得． 故的长为． 18．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在矩形中，，，在边上，关于直线的对称点为点，当点在边上时，连接，求的面积． 【答案】 【思路引导】总结性分析：本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理及三角形面积的计算，解题的关键是利用轴对称的性质得到相等线段并结合勾股定理求出相关线段的长度。 依据矩形性质确定各边长度和直角；利用轴对称性质得出、在中用勾股定理求进而得在中通过勾股定理列方程求出计算的面积。 【规范解答】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，， ，，. 关于直线的对称点为点，且点在边上， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， . 19．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知长方形中，，点E、F分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图1，若，求线段的长度； (2)如图2，若，求线段的长度； (3)如图3，若点F在的延长线上，点E是中点，且与互补，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了长方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据长方形的性质和条件证明，，得到，再求出，利用勾股定理即可得解； （2）作正方形交于M，则，证明，得出，证明，得出，设，利用勾股定理求出未知数的值，再利用，即可求解； （3）利用构造半角模型，作，过E作于点，过点F作交其延长线于点G，先证，再证，最后证，利用全等得到的等量关系，在中运用勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是长方形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； （2）解：如图所示，作正方形交于M，则，连接，， ∵， ∴， 延长至H，使， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设, ∴, ∴在中，， 即， 解得， ∴， 又，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作，过E作于点，过点F作交其延长线于点G， ∵四边形是长方形，， ∴，，，， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, 又∵，， ∴， 连接， ∵于点，交其延长线于点G， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴，即． 20．（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）在矩形中，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 初步思考 （1）若点落在矩形的边上（如图①）． 当点与点重合时，___________；当点与点重合时，___________； 深入探究 （2）当点在上，点在上时（如图②）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求四边形的面积； 拓展延伸 （3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图③）．在折叠过程中，当线段与线段的长度相等时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）3，2；（2）①见解析；②；（3）的长为或． 【思路引导】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，注意运用数形结合的思想． （1）由题意得出为的中点，为的中点，则可得出答案；由折叠的性质得出，则可得出答案； （2）①证明得，根据一组对边平行且相等得：四边形是平行四边形，加上对角线互相垂直可得平行四边形为菱形， ②当时，设菱形的边长为，根据勾股定理列方程得：，求出的值即可，由勾股定理可得出答案； （3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【规范解答】解：（1）解：∵在矩形中，， ∴，， 当点与点重合时，为的中点，为的中点， ∴， 当点与点重合时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）①当点在上，点在上时，如图， 由折叠可得是的中垂线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形， ②当时，设菱形的边长为，则， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ， ∴菱形的面积为． （3）存在，的长为或． 情况一：如图，连接， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 情况二，如图， ∵， ∴， 设，则，， 则， ∴， 解得：． 综上所述，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$