专题1.1 菱形的性质与判定（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）同步培优重难点讲练讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

专题1.1 菱形的性质与判定 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：菱形的定义: 1 知识点梳理02：菱形的性质 2 知识点梳理03：菱形的面积 2 知识点梳理04：菱形的判定 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用菱形的性质求角度 2 考点2：利用菱形的性质求线段长 4 考点3：利用菱形的性质求面积 7 考点4：利用菱形的性质证明 10 考点5：添一个条件使四边形是菱形 12 考点6：证明四边形是菱形 14 考点7：根据菱形的性质与判定求角度 17 考点8：根据菱形的性质与判定求线段长 19 考点9：根据菱形的性质与判定求面积 22 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 33 基础夯实 33 培优拔高 42 知识点梳理01：菱形的定义: （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形． （2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法． 知识点梳理02：菱形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质． （2）菱形的四条边都相等． （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴． 【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等． 知识点梳理03：菱形的面积 （1）菱形的面积=底×高． （2）菱形的面积=两条对角线乘积的一半． 知识点梳理04：菱形的判定 （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边都相等的四边形是菱形． （4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的． 考点1：利用菱形的性质求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是菱形，得，，则，即可作答． （2）先根据四边形是菱形，得，，，运用勾股定理算出，然后根据菱形面积公式进行列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴菱形的面积， ∵，且， ∴菱形的面积， ∴， ∴． 【变式训练】（2025·宁夏银川·一模）如图，已知是菱形，是对角线，且，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为 ． 【答案】45 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据菱形的性质可得，进而由三角形内角和定理解得的值，由作图可知垂直平分，易得，然后由求解即可． 【规范解答】解：如下图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． 考点2：利用菱形的性质求线段长 【典例精讲】（2025·福建南平·三模）如图，点是半圆的圆心，直径． (1)分别在半圆上取点和点（点在点右侧），顺次连接点，，，，使得以这四点为顶点的四边形是菱形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求（1）中所作菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定等相关知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据菱形的四条边都相等，以点和点为圆心，长为半径画弧，与半圆交于点、，连接即可完成作图． （2）连接，则，过点作于点，得出是等边三角形，进而求得的长，即可求出菱形的面积． 【规范解答】（1）解：①以为圆心，为半径作弧，交半圆于点, ②以为圆心，为半径作弧，交半圆于点, ③连接，，，从而得到菱形 （2）连接，则，过点作于点， ∵， ∴是等边三角形， ∴，, ∴, ∴， ∴． 【变式训练】（2025·贵州贵阳·三模）如图，在中，．分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过作直线交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形的周长为． 【思路引导】本题考查了尺规作图-作垂线，菱形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由作图可知，垂直平分，，得到，进而得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：由作图可知，垂直平分，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的周长． 考点3：利用菱形的性质求面积 【典例精讲】（2025·贵州铜仁·三模）如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列条件：；． (1)从中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积是 【思路引导】（1）由，得，而，则四边形是平行四边形，若选择，可根据菱形的定义证明四边形是菱形；若选择，可根据菱形的判定定理证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，，然后利用30°的直角三角形的性质和勾股定理求出和长，则，，然后根据菱形的面积公式计算解答即可． 此题重点考查菱形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的定义或判定定理证明四边形是菱形是解题的关键． 【规范解答】（1）解：选择：， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 选择：， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，对角线与相交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积是． 【变式训练】（2025·贵州黔东南·二模）如图，在中，平分交于点E，点F在上，，连接． (1)试判断四边形是我们学过的什么特殊四边形？说明理由； (2)连接交于点O，若，且，求的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)48 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等等，熟知菱形的性质与判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，再由平行四边形对边平行结合平行线的性质可证明，得到，据此可证明，则四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形． （2）由菱形的性质得到，；由勾股定理得到．则，据此求出菱形的面积即可得到答案． 【规范解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形． ∴，． ∵． ∴． ∴， ∴ ∵， ∴． 考点4：利用菱形的性质证明 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，有下列条件：，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）选择①，可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，选择②可以根据一边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直且平分结合勾股定理求出，进而求出四边形的周长． 【规范解答】（1）选①作为条件 证明：如图，在四边形中 ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 选②作为条件 证明：如图，在四边形中 ∵，分 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 （2）解：由（1）知：四边形是菱形 ∴且与互相平分 ∴， 在中，，由勾股定理得： ∴四边形的周长为： 【变式训练】（2025·浙江杭州·二模）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线外一点P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线上任取一点C，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再分别以点P，D为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线，则． (1)请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． (2)连接，交点为，若，，求点P到直线的距离． 【答案】(1)正确，见解析 (2) 【思路引导】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据作图可证明四边形是菱形，则； （2）根据菱形得到对角线互相垂直，对角线互相平分，由勾股定理求出，即可得到，设点P到直线的距离为，然后由面积法得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：小亮的作法正确，理由如下： 连接， 由题意可得：， ∴四边形是菱形， ∴； （2）解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P到直线的距离为， 则， ∴， ∴点P到直线的距离为． 考点5：添一个条件使四边形是菱形 【典例精讲】（2025·陕西汉中·二模）如图，点分别在的边上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（③） (2)见解析 【思路引导】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）添加合适的条件即可； （2）证四边形是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【规范解答】（1）解：补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； 故答案：①或③ （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． 补充条件①：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 补充条件③：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 【变式训练】（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)补充：，证明见解析 【思路引导】（1）由平行四边形的性质知，，，得到，又有，故由证得； （2）平行四边形的性质知，，，由可求得，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，由可得平行四边形是菱形． 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）补充的条件是：． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定，证得四边形是平行四边形是解决问题的关键． 考点6：证明四边形是菱形 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查菱形的性质与判定，含角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据等特殊角作出相应辅助线是解题关键． （1）由题意可得，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；又，根据垂直平分线的性质可得，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论； （2）过点A作于点G，由菱形的性质可知，，由可得，在中利用特殊角求得的长度，即可求解的长． 【规范解答】（1）证明：如图，在中，点是的中点， ， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，点是的中点，即垂直平分， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图，过点A作于点G， 由（1）知四边形是菱形， ，， ，， ， ， 在中，， ，， 在中，， ， ， ． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，． (1)请用尺规在图①中作图，在四边形内求作一点，使点到边，，的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图②，在（）的条件下，过点作，若、、三点在同一条直线上，试判断四边形的形状并说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【思路引导】（）如图，分别作和的平分线，相交于点，由角平分线的性质可知点到边，，的距离均相等，故点即为所求； （）由，可得四边形为平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，即可求证； 本题考查了角平分线的作法和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分，、、三点在同一条直线上， ∴， ， ， ∴四边形是菱形． 考点7：根据菱形的性质与判定求角度 【典例精讲】（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，根据题意得出四边形是菱形是解题关键．由三角形中位线定理，推出四边形是菱形，得到，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出，即可求出的大小． 【规范解答】解：如图，令与的交点为， 、分别是、的中点，、分别是、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选：C. 【变式训练】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得 则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 考点8：根据菱形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（2025·贵州黔东南·二模）【新视角·结合尺规作图】如图，小明在中，进行了如下尺规作图： ①以点B为圆心，以的长为半径作弧交边于点E； ②分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)是等腰三角形，见解析 (2)20 【思路引导】（1）由作图可知，平分，由四边形是平行四边形得到，进而根据等角对等边证明即可； （2）连接，证明四边形是菱形即可求出四边形ABEF的周长． 【规范解答】（1）是等腰三角形．理由如下： 由作图可知，平分， ． 又四边形是平行四边形， ． ． ． ． 是等腰三角形； （2）如图，连接，由（1）知， ， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形． ， 四边形的周长为20． 【考点剖析】本题考查了角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式训练】（2025·四川绵阳·一模）如图，在中，E，F分别为边上的点，，连接，与交于点O． (1)求证：与相互平分． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质．菱形的判定与性质以及勾股定理 ，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接．通过证明四边形是平行四边形推知与互相平分． （2）连接，过点C作，交的延长线于点H．证明四边形是菱形，求出，．设，则，，，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接． 在中，， 又， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴与相互平分． （2）解：如图，连接，过点C作，交的延长线于点H． 由（1）可得四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． 考点9：根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（2025·广东惠州·一模）如图，在平行四边形中，是对角线． (1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，若，，判断四边形的形状，并求其面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形， 【思路引导】（1）作线段的垂直平分线即可； （2）先证明四边形为菱形，然后根据菱形的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，此时点为所求． （2）如图，四边形为菱形． 沿翻折至 ，， 平行四边形      又    四边形为菱形    又， ∴ 【考点剖析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，证明四边形为菱形是解答本题的关键． 【变式训练】（2023·黑龙江鸡西·模拟预测）在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点，在轴上，在轴上，如图，已知，. (1)求点的坐标 (2)动点从点出发，以每秒1个单位速度沿射线运动，过点作轴于，直线交直线于点，设的面积为，点的运动时间为秒，当点在轴上方时，求与的关系式，直接写出的取值范围. (3)在（2）的条件下，连接，当点在第一象限，为等腰三角形时，作的平分线交射线于点，此时是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)满足条件的点的坐标或或 【思路引导】（1）在中，解直角三角形求出即可解决问题； （2）分两种情形分别求解①当时，如图2中．②当时，如图3中．求出、即可； （3）如图4中，作于，在上截取一点，使得，连接．由，推出，推出，设，则，，可得，推出，推出，，，，可得直线的解析式为，由平分，推出，推出可得直线的解析式为，令，可得，可得，，设，再分三种情形分别求解即可解决问题． 【规范解答】（1）如图1中， 四边形是菱形， ， 在中，， ，． （2）①当时，如图2中， ，，， 直线的解析式为， ，， ， ，，， ，， ． ②当时，如图3中， 易知：，，， ，， ． （3）如图4中，作于，在上截取一点，使得，连接． ，， ， ， ， ，设，则，， ， ， ，，，， 直线的解析式为， 平分， ， 可得直线的解析式为， 令，可得， ，，设， ①当为对角线时，，，可得，． ②当为对角线时，，，可得，． ③当为对角线时，，， ，， ，． 综上所述，满足条件的点的坐标，或，或，． 【考点剖析】本题考查一次函数综合题、菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，两直线垂直的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． (1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)；射线平分 (2)见解析 【思路引导】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定． （1）根据步骤②中“以点A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出与的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线的性质． （2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法， ∴射线平分． 故答案为：；射线平分． （2）证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵射线平分， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， 又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点． (1)求证：是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）先由等腰三角形可设，求出，由角直角三角形得到，可得为等边三角形，再由等腰三角形的性质证明，则，由勾股定理得，最后由即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵为对角线上的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形； （2）解：如图： ∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 3．（2025·青海·中考真题）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由，分别为，的中点，得，所以，然后根据菱形的面积为即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路引导】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【规范解答】（1）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称 ∴； ∵， ∴ ∴，是等边三角形 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【考点剖析】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及对称轴的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 基础夯实 1．（2020·河北·模拟预测）如图，在菱形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在菱形中，于点C．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题考查菱形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，根据菱形的性质和三角形的内角和以及平行线的性质解答即可． 【规范解答】解：∵是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了菱形的性质，等腰三角形、三角形内角和定理，解题的关键是掌握菱形的性质，得出是等腰三角形，再利用三角形内角和定理进行求解． 【规范解答】解：在菱形中，， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．圆圆家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得 ，则该菱形的边长为 ． 【答案】13 【思路引导】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由周长的计算即可求解． 【规范解答】解：由条件可知， ∴． 故答案为：13． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知菱形的一个内角，对角线相交于点O，点E在菱形的边上，且与顶点不重合，若，则的度数为 度． 【答案】10或170/170或10 【思路引导】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握知识并能够分类讨论是解题的关键．分点E在上时和点在上时两种情况讨论即可． 【规范解答】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 当点E在上时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在上时， ∵， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：10或170． 6．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【规范解答】解：∵菱形，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 7．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，正五边形的两条对角线相交于点，试猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】菱形，证明见解析 【思路引导】本题考查了正五边形的性质、平行四边形及菱形的判定，解题的关键是利用正五边形内角和与边的关系，结合角度计算推导平行关系，再依据判定定理证明． 先根据正五边形性质得出边与角的关系，计算相关角度，推导对边平行证明是平行四边形，再结合邻边相等证明是菱形． 【规范解答】证明：∵五边形是正五边形， ∴， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形． 8．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定及性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 由点O为的中点得到，由得到，，证得，得到，进而推出四边形是平行四边形，再根据即可得证． 【规范解答】证明：∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边与等边中，点，分别在、边上，连接，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接、、、，当时，请直接写出图中面积等于面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路引导】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的三角形的面积相等，掌握并灵活运用这些知识是解题的关键． （1）先证是等边三角形，利用等边三角形的性质证明即可； （2）利用等高的三角形的面积的比等于底边之比可得，，再根据菱形的性质和等边三角形的性质证，可得，根据平行线间的距离处处相等可得，据此求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 综上分析可得，面积等于面积3倍的三角形有：，，，． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点是上的点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）菱形的邻边相等，对角线平分一组对角，据此可得，再证明，即可证明； （2）由菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则可得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且O为中点， ∴， ∴． 培优拔高 11．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点．若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路引导】本题考查作图——基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理； 连接，设交于点O，证明四边形是菱形，再利用勾股定理求出即可． 【规范解答】解：连接，设交于点O． ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴， 故选：C． 12．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在菱形中，对角线，E，F分别为边上的点，把四边形沿EF翻折，得四边形，与交于点G，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 延长交于点，连接，则是等边三角形，那么，由翻折，得到，再运用两次外角定理即可求解． 【规范解答】解：延长交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∵翻折， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 13．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在平行四边形 中，以点 为圆心， 的长为半径作弧交 于点 ，分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点 ，交于点，若， ， 则的长为（    ） A．10 B．5 C．12 D．15 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边行的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边行的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 14．（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）中国结寓意团圆、美满，在我们甘肃，很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居．小南家就有一个菱形中国结装饰，这个中国结的纺织花纹融合了甘肃传统图案特色，像是敦煌壁画中的某些元素等．图示为其简化示意图，测得，，于点H，则的长为（   ）． A．8 B．9 C．9.6 D．10 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理． 根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得的长，再根据，即可求出． 【规范解答】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：C． 15．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在菱形中，，E是上一点，M、N分别是的中点，且，则菱形的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，连接，由三角形中位线定理可得，再由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此根据菱形周长计算公式求解即可． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，菱形中，，，交于O，点M在线段上，且，点P为上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，过点作于，与的交点为点，由菱形的性质并结合题意可得为等边三角形，则，从而可得，进而可得，由垂线段最短可得，此时得到最小值，再由直角三角形的性质并结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于，与的交点为点， ， ∵菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，由垂线段最短可得，此时得到最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路引导】（1）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，求出，，根据等腰三角形的判定得出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积． 【规范解答】（1）解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形； ∴，， ， ∴ ， 四边形的面积为． 【考点剖析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 18．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线，即为的垂直平分线． （2）先利用垂直平分线的性质得到且，再由得出内错角相等，通过角边角定理证明三角形全等，得到，结合证明四边形是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形来证明． 【规范解答】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，     ∵， ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 【考点剖析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定及性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法以及菱形的判定定理是解题的关键． 19．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． (1)求证：； (2)连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)补全图形见解答过程；，理由见解答过程 【思路引导】（1）先证明和都是等边三角形得，则，再根据及三角形外角性质得，由此即可得出结论； （2）依题意补全图形即可；延长到，使，连接，并在延长线上取一点，使，连接，则，证明和全等得，进而得，再证明和全等得，进而可证明是等边三角形，则，进而得 ，由此可证明和全等，则，据此即可得出线段之间的数量关系． 【规范解答】（1）证明：如图1所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且是的外角， ∴， ∴； （2）解：依题意补全图形，如图2所示： 线段之间的数量关系是：，理由如下： 延长到，使，连接，并在的延长线上取一点，使，连接，如图3所示： ∴， ∵点是线段中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【就考点剖析】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 学科网（北京）股份有限公司 $$专题1.1 菱形的性质与判定 (知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题) 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01:菱形的定义: 1 知识点梳理02:菱形的性质 2 知识点梳理03:菱形的面积 2 知识点梳理04:菱形的判定 2 优选题型 考点讲练 2 考点1:利用菱形的性质求角度 2 考点2:利用菱形的性质求线段长 3 考点3:利用菱形的性质求面积 4 考点4:利用菱形的性质证明 5 考点5:添一个条件使四边形是菱形 6 考点6:证明四边形是菱形 7 考点7:根据菱形的性质与判定求角度 8 考点8:根据菱形的性质与判定求线段长 9 考点9:根据菱形的性质与判定求面积 10 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01:菱形的定义: (1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形必须满足两个条件:一是四边形必须是平行四边形;二是邻边相等.不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形. (2)菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形,即有一组邻边相等的平行四边形.菱形的定义既是菱形的性质,也是菱形的判定方法. 知识点梳理02:菱形的性质 (1)菱形具有平行四边形的所有性质. (2)菱形的四条边都相等. (3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. (4)菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴. 【注意】菱形的两条对角线不是对称轴,对角线所在直线才是菱形的对称轴.因为对称轴是直线,对角线是线段.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等. 知识点梳理03:菱形的面积 (1)菱形的面积=底 高. (2)菱形的面积=两条对角线乘积的一半. 知识点梳理04:菱形的判定 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (3)四条边都相等的四边形是菱形. (4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 【注意】上述菱形的判定方法中,(1)和(2)是以平行四边形为基础的,(3)和(4)是以四边形为基础的. 考点1:利用菱形的性质求角度 【典例精讲】(24-25八年级下 浙江杭州 阶段练习)如图,四边形是菱形,,求: (1)的度数. (2)若,求线段和的长. 【变式训练】(2025 宁夏银川 一模)如图,已知是菱形,是对角线,且,分别以点A,B为圆心,以大于的长为半径作弧交于两点,过此两点的直线交边于点E(作图痕迹如图所示),连接,则的度数为 . 考点2:利用菱形的性质求线段长 【典例精讲】(2025 福建南平 三模)如图,点是半圆的圆心,直径. (1)分别在半圆上取点和点(点在点右侧),顺次连接点,,,,使得以这四点为顶点的四边形是菱形.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)求(1)中所作菱形的面积. 【变式训练】(2025 贵州贵阳 三模)如图,在中,.分别以为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于两点,过作直线交于点,连接,以为圆心,的长为半径画弧,交直线于点,连接. (1)求证:四边形是菱形; (2)求四边形的周长. 考点3:利用菱形的性质求面积 【典例精讲】(2025 贵州铜仁 三模)如图,四边形的对角线与相交于点,,.有下列条件:;. (1)从中任选一个作为条件,求证:四边形是菱形; (2)在(1)的条件下,若,,求四边形的面积. 【变式训练】(2025 贵州黔东南 二模)如图,在中,平分交于点E,点F在上,,连接. (1)试判断四边形是我们学过的什么特殊四边形?说明理由; (2)连接交于点O,若,且,求的面积. 考点4:利用菱形的性质证明 【典例精讲】(24-25九年级上 贵州六盘水 期末)如图,四边形的对角线与相交于点,有下列条件:,②. (1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形是菱形; (2)在(1)的条件下,若,求四边形的周长. 【变式训练】(2025 浙江杭州 二模)老师布置了一道思考题:“尺规作图:过直线外一点P作这条直线的平行线,”小亮的作法如下:如图,在直线上任取一点C,以点C为圆心,的长为半径画弧交于点D,再分别以点P,D为圆心,的长为半径画弧,两弧交于点E,作直线,则. (1)请判断小亮的作法是否正确,并说明理由. (2)连接,交点为,若,,求点P到直线的距离. 考点5:添一个条件使四边形是菱形 【典例精讲】(2025 陕西汉中 二模)如图,点分别在的边上,连接,连接相交于点,请你从以下三个选项:①;②;③中选择一个合适的选项作为补充条件,使得四边形是菱形. (1)你选择的补充条件是_;(填序号) (2)根据你选择的补充条件,写出四边形是菱形的证明过程. 【变式训练】(22-23九年级上 河南郑州 期末)如图,在平行四边形中,对角线,相交于点O,点E,F在上,且. (1)求证:; (2)不添加辅助线,请你补充一个条件,使得四边形是菱形;并给予证明. 考点6:证明四边形是菱形 【典例精讲】(24-25九年级上 陕西西安 期末)如图,中,D是的中点,过点D作交于点E,过点A作交于点,连接、. (1)求证:四边形是菱形. (2)若,,,求的长. 【变式训练】(24-25九年级上 贵州遵义 期中)如图,在四边形中,. (1)请用尺规在图①中作图,在四边形内求作一点,使点到边,,的距离均相等.(保留作图痕迹,不写作法) (2)如图②,在()的条件下,过点作,若、、三点在同一条直线上,试判断四边形的形状并说明理由. 考点7:根据菱形的性质与判定求角度 【典例精讲】(23-24八年级下 湖北黄石 期末)如图,在四边形中,、分别是、的中点,、分别是、的中点,,,,则的大小是( ) A. B. C. D. 【变式训练】(23-24八年级下 湖南益阳 期中)如图,四边形为平行四边形,对角线的垂直平分线分别交于点, (1)求证:四边形是菱形; (2)若,求的度数. 考点8:根据菱形的性质与判定求线段长 【典例精讲】(2025 贵州黔东南 二模)【新视角 结合尺规作图】如图,小明在中,进行了如下尺规作图: ①以点B为圆心,以的长为半径作弧交边于点E; ②分别以点A,E为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧交于点P; ③作射线交于点F. (1)判断的形状,并说明理由; (2)若,求四边形的周长. 【变式训练】(2025 四川绵阳 一模)如图,在中,E,F分别为边上的点,,连接,与交于点O. (1)求证:与相互平分. (2)若,,,,求的长. 考点9:根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】(2025 广东惠州 一模)如图,在平行四边形中,是对角线. (1)在边上确定一点,将沿翻折后,点的对应点恰好落在边上;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,连接、,若,,判断四边形的形状,并求其面积. 【变式训练】(2023 黑龙江鸡西 模拟预测)在平面直角坐标系中,边长为4的菱形的顶点,在轴上,在轴上,如图,已知,. (1)求点的坐标 (2)动点从点出发,以每秒1个单位速度沿射线运动,过点作轴于,直线交直线于点,设的面积为,点的运动时间为秒,当点在轴上方时,求与的关系式,直接写出的取值范围. (3)在(2)的条件下,连接,当点在第一象限,为等腰三角形时,作的平分线交射线于点,此时是否存在点,使以点,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点的坐标,若不存在,说明理由. 1.(2025 宁夏 中考真题)如图,点在直线外. ①在直线上任取一点,连接; ②以点为圆心,长为半径画弧,交直线于点; ③分别以点和点为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧在内交于点,作射线; ④以点为圆心,长为半径画弧,交射线于点; ⑤连接. (1)由②得与的数量关系是_;由③得到的结论是_. (2)求证:四边形是菱形. 2.(2025 贵州 中考真题)如图,在中,为对角线上的中点,连接,且,垂足为.延长至,使,连接,,且交于点. (1)求证:是菱形; (2)若,求的面积. 3.(2025 青海 中考真题)如图,在菱形中,,,分别为,的中点,且,则菱形的面积为 . 4.(2024 黑龙江哈尔滨 中考真题)四边形的对角线,相交于点O,,,. (1)如图1,求证:四边形是菱形; (2)如图2,,于点H,交于点E,连接,点G在上,连接交于点F,若,在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段(线段除外). 5.(2025 黑龙江大庆 中考真题)如图.在四边形中,,对角线与相交于点.点B,点D关于所在直线对称. (1)求证:四边形是菱形; (2)过点D作的垂线交延长线于点E.若,,求线段长. 基础夯实 1.(2020 河北 模拟预测)如图,在菱形中,,,则( ) A. B. C. D. 2.(24-25九年级上 贵州黔东南 阶段练习)如图所示,在菱形中,于点C.若,则的度数为( ) A. B. C. D. 3.(24-25九年级上 河南郑州 阶段练习)如图,在菱形中,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 4.(24-25九年级上 广东茂名 期末)中国结寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.圆圆家有一个菱形中国结装饰,将该中国结简化成菱形,测得 ,则该菱形的边长为 . 5.(24-25九年级上 黑龙江哈尔滨 阶段练习)已知菱形的一个内角,对角线相交于点O,点E在菱形的边上,且与顶点不重合,若,则的度数为 度. 6.(2025 福建 中考真题)如图,菱形的对角线相交于点O,过点O且与边分别相交于点E,F.若,则与的面积之和为 . 7.(23-24九年级上 广东梅州 期末)如图,正五边形的两条对角线相交于点,试猜想四边形的形状,并证明你的猜想. 8.(24-25九年级上 陕西榆林 期末)如图,在四边形,,连接,点为的中点,连接并延长交于点,,连接.求证:四边形是菱形. 9.(24-25九年级上 黑龙江哈尔滨 阶段练习)在等边与等边中,点,分别在、边上,连接,. (1)如图1,求证:四边形是菱形; (2)如图2,连接、、、,当时,请直接写出图中面积等于面积3倍的所有三角形. 10.(24-25九年级上 陕西榆林 阶段练习)如图,在菱形中,对角线交于点是上的点,连接. (1)求证:; (2)若,求的长. 培优拔高 11.(24-25九年级上 河南郑州 阶段练习)如图,在中,用直尺和圆规作的平分线交于点.若,,则的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 12.(24-25九年级上 辽宁锦州 阶段练习)如图,在菱形中,对角线,E,F分别为边上的点,把四边形沿EF翻折,得四边形,与交于点G,若,则( ) A. B. C. D. 13.(24-25八年级下 宁夏银川 期末)如图,在平行四边形 中,以点 为圆心, 的长为半径作弧交 于点 ,分别以点,为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧相交于点,作射线交于点 ,交于点,若, , 则的长为( ) A.10 B.5 C.12 D.15 14.(24-25八年级下 甘肃陇南 期中)中国结寓意团圆、美满,在我们甘肃,很多家庭都喜欢用中国结来装饰家居.小南家就有一个菱形中国结装饰,这个中国结的纺织花纹融合了甘肃传统图案特色,像是敦煌壁画中的某些元素等.图示为其简化示意图,测得,,于点H,则的长为( ). A.8 B.9 C.9.6 D.10 15.(24-25九年级上 广东河源 期末)如图,在菱形中,,E是上一点,M、N分别是的中点,且,则菱形的周长为 . 16.(24-25九年级上 贵州贵阳 阶段练习)如图,菱形中,,,交于O,点M在线段上,且,点P为上的一个动点,则的最小值是 . 17.(24-25九年级上 云南昆明 期末)如图,,平分,且交于点,平分,且交于点,连接. (1)求证:四边形是菱形. (2)若,,求四边形的面积. 18.(24-25九年级上 广东茂名 期末)如图,在四边形中,,是对角线. (1)用尺规完成以下基本作图:作线段的垂直平分线,分别交于点O,E,F.连接.(只保留作图痕迹) (2)在(1)问所作的图形中,求证:四边形为菱形. 19.(24-25八年级下 北京海淀 期中)如图,菱形中,,点E为边上一点(不与点A、B重合),连接,点F在线段上满足,连接. (1)求证:; (2)连接,点N是线段中点,连接.依题意补全图形,用等式表示线段之间的数量关系,并证明. 学科网(北京)股份有限公司 $$