精品解析：四川省达州市渠县天关中学2024-2025学年七年级下学期第三次（5月）月考数学试题

四川省达州市渠县天关中学2024-2025学年七年级下学期第三次（5月）月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，满分40分） 1. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘除的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意购买一张电影票，座位号是偶数 B. 梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨 C. 解锁手机，提示微信收到了新消息 D. 随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可． 【详解】解：A．任意购买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，因此选项A不符合题意； B．梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨是随机事件，因此选项B不符合题意； C．解锁手机，提示微信收到了新消息是随机事件，因此选项C不符合题意； D．随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6是必然事件，因此选项D符合题意； 故选：D． 4. 下列图形中，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、，则（内错角相等，两直线平行），故本选项符合题意； C、，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如果等式成立，那么m和n的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法，根据多项式乘多项式法则将原式展开，根据对应项系数相等列式即可求出m、n的值是解本题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选B． 6. 现有两根长度分别为和的小棒，再从5根长度分别为，小棒中随机选择一根，能围成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，概率公式，解题的关键是：熟练掌握概率公式的应用． 根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系得， 第三条边的取值范围为大于，小于， 所以符合条件的小棒长为：， 所以，能围成三角形的概率是， 故选：C． 7. 如图，与的面积相等，线段应该是的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，过点A作于E，根据三角形面积计算公式得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴线段应该是的中线， 故选：B． 8. 一辆汽车从A地启动，加速一段时间后保持匀速行驶，接近B地时开始减速，到达B地时恰好停止，如所示的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速的变化情况，进行选择． 【详解】解：汽车经历加速、匀速、减速到达B地， 则符合题意的图象为： 故选：A． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，注意横纵轴表示的意义是解题的关键． 9. 定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件, 再根据全等三角形的判定定理和面积相等的性质得到S、S、、与△ABC的关系, 即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量代换和相互转化的思想. 【详解】解：如图所示, 过点F作FG⊥AM交于点G, 连接PF. 根据正方形的性质可得: AB=BE, BC=BD, ∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90,即∠ABC=∠EBD. 在△ABC和△EBD中, AB=EB，∠ABC=∠EBD, BC=BD 所以△ABC≌△EBD(SAS),故S=,同理可证,△KME≌△TPF, △FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90, 所以四边形AQFG是矩形, 则QF//AG, 又因为QP//AC, 所以点Q、P, F三点共线, 故S+S=, S=. 因为∠QAF+∠CAT=90,∠CAT+∠CBA=90,所以∠QAF=∠CBA, 在△AQF和△ACB中, 因为 ∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB 所以△AQF≌△ACB(ASA), 同理可证△AQF ≌△BCA,故 S1﹣S2+S3+S4== 3 4 =6, 故本题正确答案为B. 【点睛】本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质. 二、填空题（每小题4分，满分20分） 11. 已知，则x的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先将化为，再根据同底数幂的乘法运算得到，再解方程即可． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：8． 12. 如图，，被直线所截，且，平分．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，由两直线平行，同旁内角互补可得，再由角平分线的定义可得，最后再由平行线的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 一个不透明的袋子里只装有红球、黄球，总共20个，这些球除颜色外形状大小都相同．芳芳每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回袋子，通过多次重复试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球大约有__________个． 【答案】5 【解析】 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： ， 解得：， ∴袋子中红球的个数最有可能是5个， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 如图，把 △ABC 的中线 CD 延长到 E，使 DE=CD，连接 AE，若 AC=4 且 △BCD 的周长比 △ACD 的周长大1 ，则 AE= ________________． 【答案】5 【解析】 【详解】分析：先利用“SAS”证明△ADE≌△BDE得到AE=BC，再利用△BCD的周长比△ACD的周长大1得到BC=AC+1=5，所以AE=5． 详解：∵CD为△ABC的中线， ∴AD=BD， 在△ADE和△BDE中 , ∴△ADE≌△BDE， ∴AE=BC， ∵△BCD的周长比△ACD的周长大1， ∴CD+BD+BC=AC+AD+CD+1， ∴BC=AC+1=4+1=5， ∴AE=5． 故答案为5． 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 15. 如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、等边对等角，由折叠的性质可得，证明，得出，由等边对等角可得，再由邻补角的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16. 计算： （1）； （2） （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算除法，最后计算加减； （2）根据同底数幂相乘以及幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可得解； （3）先根据平方差公式与完全平方公式去括号，再合并同类项即可得解； （4）根据平方差公式与完全平方公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 17. 先化简，再求值：， 其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，涉及完全平方公式及运用；平方差公式及应用，多项式除以单项式等知识，求代数式的值．利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值． 【详解】解：原式= = =， 当，时， 原式=． 18. 如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求： （1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？ （2）若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式、三角形的三边关系； （1）利用概率公式求解即可； （2）设，，小明再转动一次，转出的数字为c，根据三角形的三边关系求得，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字， ∴转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是； 【小问2详解】 解：设，，小明再转动一次，转出的数字为c， 由三角形的三边关系得：， 即， ∴， ∴或5或6或7或8， ∴这三条线段能构成三角形的概率为． 19. 如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． （1）利用线段中点的定义得到，再证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）的结论得到，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是______；（用文字表达） （2）无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分； （4）求图中a，b的值． 【答案】（1）时间 （2）5 （3）25 （4）a表示的数是2，b表示的数是15 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，结合题意准确识图是解题的关键． （1）根据图象信息得出自变量与函数即可； （2）根据图象信息可得无人机在75米高的上空停留的时间； （3）根据“速度路程时间”计算即可； （4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可； 【小问1详解】 解：横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间， 故答案为：时间； 【小问2详解】 解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）， 故答案为：5； 【小问3详解】 解：在上升或下降过程中，无人机的速度为：（米/分）， 故答案为：25； 【小问4详解】 解：图中a表示的数是（分钟）；b表示的数是（分钟）， 即a表示的数是2，b表示的数是15． 21. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵平分， ， 在和中， ， ∴； （3） 证明：∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据图形，找准等量关系，证明出全等三角形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求得； （2）首先根据垂直的定义及角平分线的定义可证得，，再根据定理，即可证得结论； （3）首先根据全等三角形的性质及角平分线的定义，即可证得，再根据定理，可证得，，据此即可证得结论． 【小问1详解】 解：中，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，，点A在直线上，如图，分别与直线相交于B、C，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作与的角平分线交于点G，求的度数； （3）如图3，作与的角平分线交于点H，请问的值是否为定值，若不是，请说明原因． 【答案】（1） 证明： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定及性质、直角三角形两锐角互余知识，解决本题的关键是熟练掌握知识点，找到角的关系，列出等式求解. （1）由垂直定义可得，然后根据同角的余角相等可得从而判定两直线平行. （2）根据角平分线的性质和直角三角形两个锐角互余，可得出，再利用三角形内角和即可求解. （3）设则 ，再结合角平分线的定义和平行线的性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ， 同理， ， ∴； 【小问3详解】 解：的值是为定值， 设，则， ∵平分， ， ， 同理， ． 23. 对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可得到一些数学等式，在整式乘法的学习中，我们常借助几何图形对等式进行直观解释．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形． （1）将其中2块小长方形置于一边长为的正方形框内，摆放如图2所示．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为____________； （2）如图3，将4块小长方形拼成一个“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为____________； （3）应用（2）中的结论解决下列问题： ①若，则____________； ②如图4，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，一元二次方程的解法，正方形的性质，熟练掌握完全平方式是解答关键． （1）根据正方形和矩形的面积公式来求解； （2）根据正方形和矩形的面积公式来求解； （3）①利用（2）的结果来求解；②根据题意得到，解方程求出的值，进而得到两个小正方形的边长，再利用面积公式求解． 【小问1详解】 解：空白正方形的边长为， 方法一：空白部分的面积为：； 方法二：空白部分的面积为：， 所以得到的数字等于为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：空白处正方形的边长为，外面正方形的边长为， 方法一：空白部分面积为， 方法二：， 所以得到的数字等于为：． 故答案为： ． 【小问3详解】 解：①， ， 即， ． 故答案为：． ②由题意可知，， ， 整理得， 解得，（舍去）， ，． 正方形和正方形中 ，， ． 24. （1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点，于点．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，，连接、，且于点，与交于点， ①求证：； ②若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）50 （3）①证明：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②63 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题目条件构造或识别全等三角形，利用全等三角形的对应边、对应角相等关系解决线段证明和面积计算问题． （1）先根据垂直条件得出两个直角，再结合平角和已知角的关系推导一组对应角相等，再证明，进而证明目标线段相等； （2）过两点作垂直构造：“一线三垂直”模型，得到，将实线围成图形的面积转化为规则图形（如梯形、矩形）的面积，代入数据计算； （3）①过两点作垂直构造“一线三垂直”模型，得到， 再证明，从而； ②由（1）的全等结论，推导图形中线段的长度关系，确定目标图形（如）的底和高，代入面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， 同理可得， ∴， ∴实线所围成的图形的面积； （3）①略 ②由①可知，， ， ， ， ， 由（1）得： ， ， ， ， ． 25. “等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得． （1）在题干的基础上， ①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：； ②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； （2）如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值． 【答案】（1） ①证明：∵ ∴ 即 ∴ ②猜想： 理由如下：，作，， ∵ 即 即 ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据，代入数据即可求解； ②作，，根据，代入数据即可求解； （2）作点关于直线的对称点，则，，过作于，过作于，根据求得，进而根据求得，由，可得当，，共线，且时，和最小，最小值为的长，即可求解． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 作点关于直线的对称点， ∴， ∵点在延长线上，则、、、共线， ∴， 过作于，过作于， ∵ ∴ ∴ ∵ 即 ∴ ∵ 当，，共线，且时，和最小，最小值为的长， 此时 【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县天关中学2024-2025学年七年级下学期第三次（5月）月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题4分，满分40分） 1. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意购买一张电影票，座位号是偶数 B. 梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨 C. 解锁手机，提示微信收到了新消息 D. 随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 4. 下列图形中，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果等式成立，那么m和n的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 现有两根长度分别为和的小棒，再从5根长度分别为，小棒中随机选择一根，能围成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与的面积相等，线段应该是的（ ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 不能确定 8. 一辆汽车从A地启动，加速一段时间后保持匀速行驶，接近B地时开始减速，到达B地时恰好停止，如所示的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（　　） A. B. C. D. 9. 定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（     ） A. B. C. D. 10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题（每小题4分，满分20分） 11. 已知，则x的值为______． 12. 如图，，被直线所截，且，平分．若，则的度数为_________． 13. 一个不透明的袋子里只装有红球、黄球，总共20个，这些球除颜色外形状大小都相同．芳芳每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回袋子，通过多次重复试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球大约有__________个． 14. 如图，把 △ABC 的中线 CD 延长到 E，使 DE=CD，连接 AE，若 AC=4 且 △BCD 的周长比 △ACD 的周长大1 ，则 AE= ________________． 15. 如图，在中，将对折，使和在同一直线上，折痕为，延长至点D，使得，连接，若，则_____． 三、解答题（共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16. 计算： （1）； （2） （3）． （4）． 17. 先化简，再求值：， 其中， 18. 如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求： （1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？ （2）若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率． 19. 如图，在中，，D，E分别是的中点，连接相交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）图中的自变量是______；（用文字表达） （2）无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟； （3）在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分； （4）求图中a，b的值． 21. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 22. 如图，，点A在直线上，如图，分别与直线相交于B、C，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作与的角平分线交于点G，求的度数； （3）如图3，作与的角平分线交于点H，请问的值是否为定值，若不是，请说明原因． 23. 对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可得到一些数学等式，在整式乘法的学习中，我们常借助几何图形对等式进行直观解释．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形． （1）将其中2块小长方形置于一边长为的正方形框内，摆放如图2所示．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为____________； （2）如图3，将4块小长方形拼成一个“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为____________； （3）应用（2）中的结论解决下列问题： ①若，则____________； ②如图4，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 24. （1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点，于点．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，，连接、，且于点，与交于点， ①求证：； ②若，，求的面积． 25. “等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得． （1）在题干的基础上， ①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：； ②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； （2）如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $