精品解析：2025年江苏省常州市第四中学九年级中考模拟数学试题

中考模拟卷 注意事项：1．本试卷共28小题，满分为120分． 2．学生在解答过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与π）． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 在0、1、、中，最大的实数是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 长方体 B. 棱锥 C. 圆锥 D. 球体 4. 下列4个图形中，中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 6. 某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（　　）. A. ＋＝4 B. －＝20 C. －＝4 D. －＝20 7. 若抛物线的顶点为，该抛物线与轴的交点位于轴上方，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4 8. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BC∥x轴，AB交y轴于点E，且E是AB的中点．反比例函数（k＞0，x＞0）的图像经过点A，交BC于点D．若CD＝1，则k的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 的立方根是___________． 10. 分解因式：_______． 11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为__________． 12. 数轴上点与表示的点相距个单位长度，则点所表示的数是______． 13. 如图，圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 _____°． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是________． 15. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是______． 16. 如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线交于点G．若，则________． 17. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则______． 18. 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D、E分别是BC、AC边上的动点，且∠ADE＝∠ABC，连接BE，则△AEB的面积的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19. 先化简，再求值： ，其中，． 20. 解方程和不等式组： （1） （2）解不等式组： 21. 如图，中，E、F为对角线上两点，且，连接，． （1）求证：； （2）连接交于点O，求证：与互相平分． 22. 寒假期间观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评分情况，小军同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分共分成四组：，），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：． 上、下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 下午所抽观众的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，_______，________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时段的观众对电影的评分较高？说明理由（写出一条理由即可）； （3）上午有800名观众，下午有1000名观众参加了此次评分调查，估计上、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 23. 在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是平行四边形；②四边形ABCD的对角线相等；③四边形ABCD的对角线互相垂直．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中． （1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件③的概率是______； （2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是菱形的概率． 24. 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A（2，0）、B，与反比例函数（x＞0）的图像交于点C，且AB＝AC，点D在y轴的正半轴上，且OD＝2OB，连接CD． （1）求b、k的值； （2）求△CBD的面积． 26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． （1）若点是点的“k值关联点”，则 且 ； （2）如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 27. 如图，已知中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）求的长； （2）若点F是的中点，求的值； （3）若是等腰三角形，求的长． 28. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． （1）求抛物线与直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考模拟卷 注意事项：1．本试卷共28小题，满分为120分． 2．学生在解答过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与π）． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 在0、1、、中，最大的实数是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小关系，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：∵， 故最大的实数是； 故选D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂，根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 长方体 B. 棱锥 C. 圆锥 D. 球体 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图来判断几何体的形状． 【详解】解：由三视图可知，该几何体长方体， 故选：A． 4. 下列4个图形中，中心对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可．熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：第1个，第2个和第3个图形均为中心对称图形，第4个图形不是中心对称图形，故中心对称图形有3个； 故选C． 5. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理即可求解． 【详解】∵， ∴= 故选B． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质． 6. 某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（　　）. A. ＋＝4 B. －＝20 C. －＝4 D. －＝20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程即可． 【详解】由题意得： －＝4． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 7. 若抛物线的顶点为，该抛物线与轴的交点位于轴上方，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点．依据题意，由抛物线与y轴的交点位于x轴上方，故可判断B；又抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，即，故，，结合，故可判断A、C；由顶点为，从而当时，，故可判断D． 【详解】解：由题意，∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方， ∴，故B错误； 又抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． ∴． ∴，． ∵， ∴，即，故A错误； ∵顶点为， ∴当时，，故D正确； ∵，， ∴，故C错误； 故选：D． 8. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BC∥x轴，AB交y轴于点E，且E是AB的中点．反比例函数（k＞0，x＞0）的图像经过点A，交BC于点D．若CD＝1，则k的值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，设BC与y轴交于点M，则轴，利用平行线分线段成比例及等腰三角形的性质可得 ，再由勾股定理得 ， ，设 ， ，将A、C坐标代入，根据 即可得到关于k的方程，求解即可． 【详解】 过点A作AF⊥BC，垂足为F，设BC与y轴交于点M，则轴 E是AB的中点 即 AB＝AC＝5，BC＝8 由勾股定理得 CD＝1 设 ， 将A、C坐标代入，得 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的性质，平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．熟记提公因式分解因式、平方差公式分解因式等知识是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【详解】300000000的小数点向左移动8位得到3， 所以300000000用科学记数法表示为3×108， 故答案为3×108． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 数轴上点与表示的点相距个单位长度，则点所表示的数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了数轴的应用，有理数的加减运算；根据题意得出两种情况：当点在表示的点的左边时，当点在表示的点的右边时，列出算式求出即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在表示的点的左边时，点所表示的数为； ②当点在表示的点的右边时，点所表示的数为． 故答案为：或． 13. 如图，圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 _____°． 【答案】120 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意知，圆锥底面周长为， ∴圆锥侧面展开图的扇形的弧长为 ∵ 解得 ∴扇形的圆心角的度数为120°． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于找出弧长，半径的值． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，由题意可得，，，再结合旋转的性质即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C， ∴，，， ∵将绕点O按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 16. 如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线交于点G．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据正方形的性质证明，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即，解得∶． 故答案为：3． 18. 如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D、E分别是BC、AC边上的动点，且∠ADE＝∠ABC，连接BE，则△AEB的面积的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AH⊥BC于H，过点E作EK⊥BA交BA的延长线于K．设AE=y，BD=x．利用相似三角形的性质求出y的最小值，可得结论． 【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，过点E作EK⊥BA交BA的延长线于K．设AE=y，BD=x． ∵AB=AC=2，AH⊥BC，∠BAC=120°， ∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=60°， ∴BH=CH=AB•sin60°=， ∴BC=2BH=2， ∴CD=2-x，EC=2-y， 在Rt△AEK中，EK=AE•sin60°=y， ∴S△ABE=AB•EK=×2×y=y， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABC+∠DAB，∠ADE=∠ABD， ∴∠EDC=∠DAB， ∵∠C=∠ABD， ∴△ADB∽△DEC， ∴， ∴， 整理得y=x2-x+2=（x-）2+， ∵＞0， ∴x=时，y的值最小，最小值为， ∴△ABE的面积的最小值=， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20. 解方程和不等式组： （1） （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：去分母可得：， 解得：， 当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解集为． 21. 如图，中，E、F为对角线上两点，且，连接，． （1）求证：； （2）连接交于点O，求证：与互相平分． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接、、． 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴、互相平分． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质得到，，， 根据得到，进而得到，即可得到结论； （2）连接、、，根据得到，，即可得到，进而证明为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 寒假期间观影是个好选择，电影《哪吒之魔童闹海》上映10天突破60亿票房成为中国电影票房榜冠军，为了解大家对电影的评分情况，小军同学从某电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取20名对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析．所有观众的评分均高于8分（电影评分共分成四组：，），下面给出了部分信息： 上午20名观众的评分为：8.1，8.7，8.9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，10，10，10． 下午20名观众的评分在组的数据是：． 上、下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 9.4 9.4 中位数 9.4 众数 9.3 下午所抽观众的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，_______，________； （2）根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时段的观众对电影的评分较高？说明理由（写出一条理由即可）； （3）上午有800名观众，下午有1000名观众参加了此次评分调查，估计上、下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 【答案】（1）9.4，9.15，15 （2）认为该影院上午观众对电影的评分较高，因为上午的众数较高 （3）1150人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数和众数，用样本估计总体； （1）根据众数的定义求出a，再求出下午A组，B组的人数，根据中位数的定义解答，然后用1分别减去A，B，C三组的百分比，可得m； （2）根据众数解答即可； （3）用上下午的总人数分别乘以各自优秀人数的百分比，求和可得答案． 【小问1详解】 解：上午20名观众的评分出现的次数最多，可知； 下午A组有，B组有， ∴下午的第10个数是9.1，第11个数是9.2， ∴； 由扇形统计图可知， ∴. 故答案为：9.4；9.15；15； 【小问2详解】 解：认为该影院上午观众对电影的评分较高． 理由：上午的众数较高； 【小问3详解】 解：． 答：估计上下午参加评分调查认为电影特别优秀的观众一共是1150人． 23. 在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是平行四边形；②四边形ABCD的对角线相等；③四边形ABCD的对角线互相垂直．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中． （1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件③的概率是______； （2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是菱形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）由题意可列表，然后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件③的概率是 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意可列表如下， ① ② ③ ① ①，② ①，③ ② ②，① ②，③ ③ ③，① ③，② 其中所有等可能结果共有6种，其中四边形ABCD一定是菱形有（①，③），（③，①）2种 ∴P（四边形ABCD一定是菱形） ∴四边形ABCD一定是菱形的概率是． 【点睛】本题考查了列举法求概率，菱形的判定．解题的关键在于熟练掌握列举法求概率的计算公式． 24. 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A（2，0）、B，与反比例函数（x＞0）的图像交于点C，且AB＝AC，点D在y轴的正半轴上，且OD＝2OB，连接CD． （1）求b、k的值； （2）求△CBD的面积． 【答案】（1）b＝－1，k＝4 （2）6 【解析】 【分析】（1）由点A（2，0）在一次函数的图象上，代入求得b=-1，过点C作CH⊥x轴，垂足为H，则△AOB≌△AHC，得出C的坐标为（4，1），从而求出k的值； （2）根据三角形的面积公式代入计算即可． 【小问1详解】 把A（2，0）代入，得． ∴b＝－1．∴OB＝1． 过点C作CH⊥x轴，垂足为H． ∵AB＝AC， 又∵∠AOB＝∠CHA，∠BAO＝∠CAH， ∴△AOB≌△AHC． ∴CH＝OB＝1，AH＝AO＝2． ∴C（4，1）． 把x＝4，y＝1代入，得， ∴k＝4． 【小问2详解】 ∵OD＝2OB， 又∵OB＝1， ∴OD＝2， ∴BD＝3， 过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则CE＝4． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及全等三角形的判定与性质，求出C的坐标是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”． （1）若点是点的“k值关联点”，则 且 ； （2）如图，设点是点的“k值关联点”． ①当轴时，求点Q的坐标及k的值； ②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值． 【答案】（1）， （2）①；②，或， 【解析】 【分析】（1）根据“k值关联点”的定义计算即可得解； （2）①根据“k值关联点”的定义计算得出，结合轴，得出，即可求出，从而得解；②由①可得，求出点在直线上，再分两种情况：当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于；当点在点下方时；分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是点的“k值关联点”， ∴， 解得， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵点是点的“k值关联点”， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即； ②由①可得， ∵， ∴点在直线上， 如图，当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于， ∴，， ∵，， ∴， ∴以为圆心，为半径作，直线与交于（与在同侧）， ∵， ∴，此时满足条件， 由可得，， 解得：（此时、不在的同侧，舍去）或， ∴； 如图，当点在点下方时， 同理可得：，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，，或，． 【点睛】本题考查了坐标与图形综合、两点间的距离公式、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 27. 如图，已知中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）求的长； （2）若点F是的中点，求的值； （3）若是等腰三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解； （3）分三种情况：当时，过点作于点；当时，过点作于点；当时，过点作于点；分别利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是等腰三角形， ∴当时，过点作于点， ， 则， ∵，， ∴，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴, 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点作于点， ， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点作于点， ， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，若是等腰三角形，则的长是或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形中位线定理、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 28. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． （1）求抛物线与直线l的函数表达式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 （2）的面积最大值为， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【小问1详解】 解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； 【小问3详解】 解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $