精品解析：2025年浙江省杭州市之江实验中学九年级下学期阶段自查数学试题

杭州市之江实验中学九年级（下）阶段自查 数学试题卷 考生须知： 1、本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2、答题前，必须在答题卷的密封区内填写学校、姓名、班级． 3、所有答案必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4、考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确选项） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 截至2025年2月5日，的全球下载量约为次，数据“”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、因为，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 4. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答． 【详解】解：根据题意，可得，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键． 5. 如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的相关知识，相似多边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，周长比等于相似比．根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为． 故选：C． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何?译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车?设共有x辆车，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 7. 如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积、圆周角定理、中位线定理，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得到，点是的中点，从而得出是的中位线，于是，阴影部分的面积转化为扇形的面积，进而求解． 【详解】连接、，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．   故选：C ． 8. 如图，在中，，，的平分线交于点．下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据直角三角形的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：选项A 在中，，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴，该选项正确． 选项B 在中，， ∴． 又 ∵， ∴，该选项正确． 选项C ，∵，， ∴ ∴，即，该选项正确． 选项D 设， ∵ ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 由勾股定理， ∴， ∴， ，显然，该选项错误． 故选∶D 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质（角所对直角边与斜边的关系、勾股定理）、等腰三角形的判定（等角对等边）以及相似三角形的判定与性质．解题关键在于熟练运用这些性质，对每个选项进行合理推导与判断． 9. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和不等式的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，根据判断即可解答，解题的关键在于熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征与性质． 【详解】解：点和点均在反比例函数是常数，图象上， ，， ， ，即， 当，可得，解得， 当，可得恒成立， 或 故答案为：D 10. 如图，点是等腰中斜边上的一个动点（不与重合）．若已知的长，则一定能求出值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 绕点A逆时针旋转至，连接，利用旋转的性质得出相等的角和边，然后利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，绕点A逆时针旋转至，连接， 则， ， 根据勾股定理得， 即， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，掌握知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 13. 已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：设方程的另一个根为x2 因为一元二次方程x2-3x+m=0的一个根是1． 根据根与系数的关系，1+x2=3，得x2=3-1=2． 故答案是：2． 14. 如图，是的切线，为切点，若的度数是，且，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，根据切线的性质求出，，再求出，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵的度数是， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 之江实验九年级各班老师精心为同学们制作了“考神附体”，“之江必胜”两类鼓励性卡片，某班的抽奖箱中准备了“考神附体”20张，“之江必胜”30张，每张卡片抽中的概率相等且抽出后不放回，若前面30位同学已抽出“之江必胜”18张，则第31位抽奖的小江抽中“之江必胜”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先算出剩余“之江必胜”卡片数量和剩余总卡片数量，再根据概率公式计算第31位同学抽中“之江必胜”的概率．本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式（其中是事件包含的基本事件个数，是基本事件总数 ）是解题的关键． 【详解】解：前面位同学抽出张“之江必胜”后，剩余“之江必胜”数量为张，剩余总卡片数量为张． ∴第位同学抽中“之江必胜”的概率． 故答案为：． 16. 如图，在中，，点为中点，，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长至E，使，连接，证明，推出，再证明，求得，据此计算即可求解. 【详解】解：延长至E，使，连接，设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，又， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，证明是解题的关键. 三、解答题（共8小题，72分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值和立方根，异分母分式加减运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值和立方根，然后计算加减； （2）先通分，然后计算减法，然后约分化简即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 涵涵解方程过程如下： 解：去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为涵涵的解法是否正确？若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】不正确， 正确的解答过程如下： ， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入，得， ∴分式方程的解为． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后再进行检验即可． 【详解】略 19. 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． （1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，四边相等的四边形是菱形 （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识． （1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，再利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 20. 学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 8.76 8.76 中位数 9 a 众数 b 10 方差 1.06 1.38 （1）根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）； （3）已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）8，9 （2）八年级 （3）两个年级成绩为优秀的学生共有1152人． 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级C中，可以确定的值；先求得八年级等级C的人数，根据最多的数据是众数，可以确定的值；再补全条形图即可． （2）根据平均分相同，方差越小，越稳定解答． （3）用分别用八、九年级的人数乘以各自的优秀率，然后相加即可得到答案． 【小问1详解】 解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 九年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由条形统计图可知；从小到大排序后的第名同学的成绩在等级C中， 故九年级中位数， 由题可知：八年级等级C人数为：（人）， 等级B的人数最多， 八年级众数， 补全条形统计图如下： 故答案为：8，9； 【小问2详解】 解：八、九年级平均分相同，而八年级中位数大于九年级中位数，八年级方差小于九年级方差， 八年级成绩更好，更稳定； 故答案为：八年级； 【小问3详解】 解：（人）． ∴两个年级成绩为优秀的学生共有1152人． 21. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． （1）求点A的坐标和反比例函数表达式． （2）若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案； （2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把的坐标代入， ， 解得， ∴． 又∵点是反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：∵点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3， ∴或， 当时，， 当时，， 由图像可知， 若点在该反比例函数图像上，且它到 y轴距离小于3，n的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法． 22. 综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： （1）操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； （2）迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； （3）拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图3，过点C作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； 【解析】 【分析】（1）设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，利用正方形的性质证明四边形和四边形都是矩形，再利用矩形的性质证明，即可求解； （2）设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，证明，可得，即可求解； （3）过点C作交的延长线于点F，先证，得到，再证，得到，即可得证． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 【小问2详解】 如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N， ， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 略 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 23. 抛物线（a，b，c是常数，）． （1）若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； （3）若，，和是抛物线上的两点，对于都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、， 一元二次方程（a，b，c是常数，）的两根为k、， ，， ，， ． ； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、，得到一元二次方程（a，b，c是常数，）的两根为k、，利用一元二次方程的根与系数的关系定理得到，，代入化简即可得出结论； （3）利用抛物线上点的坐标的特征得到，依据题意得到不等式，利用分类讨论的思想方法结合不等式的性质得到关于a的不等式，解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：若抛物线的图象经过， ． ， 该抛物线的图象不经过点C． 该抛物线的图象经过，， ，解得：， 该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， 是抛物线上的点， ， 对于都有， ， ． ． ①当时，则， ， ， ， ． ②当时，则， ， ， ， ， ． 综上，a的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二次函数的联系，一元二次方程根与系数的关系，分类讨论的思想方法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 24. 如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图2，连接，若的半径为4，弦，设，，求与之间的函数关系式及的最大值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值是 4 【解析】 【分析】（1）由角平分线得，再利用圆周角定理可得，等量代换即可得解； （2）由题可知平分，平分，设，从而可得，所以，再设，证，利用相似性质建立方程求出值，进而得解； （3）连接，过点作于点，则，作，连接，利用勾股表示，从而得到关于的式子，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∵和的平分线交于点， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵平分平分， ∴设， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【小问3详解】 解：如图，连接，连接交于点， ， ， 垂直平分， ， ， 在中， ， ， 由（2）得，当平分平分时，有， ， 作，连接， 在中，， 在中，， ， ， ， 即， ， ， ∴ y的最大值是 4 ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市之江实验中学九年级（下）阶段自查 数学试题卷 考生须知： 1、本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2、答题前，必须在答题卷的密封区内填写学校、姓名、班级． 3、所有答案必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4、考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确选项） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 截至2025年2月5日，的全球下载量约为次，数据“”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何?译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，空余1车；若每3人共乘一车，余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车?设共有x辆车，可列方程为（） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，的平分线交于点．下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，点是等腰中斜边上的一个动点（不与重合）．若已知的长，则一定能求出值的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 不等式组的解集是__________． 13. 已知关于的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则另一个根为____． 14. 如图，是的切线，为切点，若的度数是，且，则的度数为_________． 15. 之江实验九年级各班老师精心为同学们制作了“考神附体”，“之江必胜”两类鼓励性卡片，某班的抽奖箱中准备了“考神附体”20张，“之江必胜”30张，每张卡片抽中的概率相等且抽出后不放回，若前面30位同学已抽出“之江必胜”18张，则第31位抽奖的小江抽中“之江必胜”的概率是__________． 16. 如图，在中，，点为中点，，则的值为__________． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 涵涵解方程过程如下： 解：去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 经检验是方程的增根，原方程无解． 你认为涵涵的解法是否正确？若不正确，请写出你的解答过程． 19. 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点； ②作直线交于点，连接； ③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接． （1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据； （2）若，，，求四边形的面积． 20. 学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从八、九年级各随机抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 8.76 8.76 中位数 9 a 众数 b 10 方差 1.06 1.38 （1）根据以上信息可以求出：___________，_____，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是_____．（填“八年级”或“九年级”）； （3）已知该校八年级有800人、九年级有1200人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 21. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． （1）求点A的坐标和反比例函数表达式． （2）若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围． 22. 综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： （1）操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； （2）迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； （3）拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 23. 抛物线（a，b，c是常数，）． （1）若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； （3）若，，和是抛物线上的两点，对于都有，求的取值范围． 24. 如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图2，连接，若的半径为4，弦，设，，求与之间的函数关系式及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $