精品解析：云南省临沧市部分学校2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（图片版）

2027届高二开学考试LK数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 2. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 4. 的值为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A. B. C. D. 6. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（ ）（参考数据：） A. 1559 B. 3943 C. 1579 D. 2512 7. 某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在或上的偶函数,且时,.若函数,则满足不等式的实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则存在唯一实数使得 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10. 已知，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（ ） A. 当时， B. 当时，二面角大小为 C. 当异面直线与所成角为时， D. 当点到平面的距离为时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，满足，且，则________． 13. 在中，内角所对的边分别为，已知，，且．若，则的面积为___________． 14. 已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. O是平面直角坐标系的原点，，，记，. （1）求在上的投影向量坐标； （2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标； （3）若向量，满足条件：与互补，求. 16. 已知函数，且. （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值. 17. 在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩中随机抽取了40位考生的成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这40名学生的数学成绩的平均数与上四分位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留1位小数）； （2）为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在分数段的同学中按组（各算一组从样本中分层抽取了6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差． 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 已知函数为偶函数，当时，，（a为常数). （1）当x<0时，求的解析式： (2)设函数在[0，5]上的最大值为,求的表达式； (3)对于（2)中的，试求满足的所有实数m的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二开学考试LK数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出复数，再根据纯虚数和共轭复数概念，复数的模长公式逐项判断即可. 【详解】复数在复平面上对应的点为， A选项，由复数的几何意义可知，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C错误； D选项，，则是纯虚数，D正确. 故选：D. 2. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集、并集、补集求解. 【详解】因为， 所以，， ， 因为，所以， 故选：B 3. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的方差的性质可判断A，B，C；由百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等， 但不一定为0，故选项A错误； 对于B，数据，，…，的平均数， 数据的平均数为，故选项B错误； 对于C，数据，，…，的方差为， 数据的方差为，故选项C正确； 对于D，数据，，…，的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于或等于90，故选项D错误. 故选：C. 4. 的值为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用三角恒等变换化简，对降次，结合二倍角公式及两角差的正弦公式化简可得结果． 【详解】： ， 故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、两角差的正弦公式及二倍角公式，考查计算能力，属于基础题． 5. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C． 【考点】古典概型 【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的． 6. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（ ）（参考数据：） A. 1559 B. 3943 C. 1579 D. 2512 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可． 【详解】由题意得：， 则，， 故选：C 7. 某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合圆台和球的结构特征根据圆台的轴截面图，利用勾股定理用表示圆台的高，再利用圆台体积建立的方程，解出再求出球的半径即可得球的体积. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为， 因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切， 则圆台内切球的球心O在的中点处， 设球O与母线切于M点， 所以，且，， 则， 同理，所以， 过A作，垂足为G， 则， 所以， ，即圆台的高为， 该圆台的体积为， 解得， 则球的直径，半径为， 则球的体积为. 故选：B. 8. 已知函数是定义在或上的偶函数,且时,.若函数,则满足不等式的实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得关于对称,且当时,为增函数,由可得,利用函数的对称性只需即可求解. 【详解】当时,，即函数在为增函数， 所以在为增函数， 令，令， 所以，由对勾函数的单调性可知在为增函数， 所以在为增函数， 由题可知函数关于对称, 且当时,为增函数, 而由不等式可得,,从而﹐ 得实数a的取值范围是. 故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则存在唯一实数使得 C. 两个非零向量，若，则与共线且反向 D. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的概念依次判断即可. 【详解】A. 取，尽管，但不一定成立，故A错误； B. 若，对于非零向量，当时，则不存在任意实数使得，故B错误； C. 由，两边平方 可得，从而，则与共线且反向，故C正确； D.当与的夹角为锐角，则，即， 则，解得， 但当时，与的夹角为零角，不满足题意， 所以的取值范围是，故D错误； 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查向量共线的问题，属于简单题. 10. 已知，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式转化变形，然后对选项逐一判断，即可证明. 【详解】对于A，由，利用基本不等式，可得， 解得，又（当且仅当时，等号成立）， 而，所以，所以，故A正确； 对于B，由，利用基本不等式， 由得， 则（当且仅当时，等号成立），解得，即，故B错误； 对于C，， 又，即， 由B选项知，所以，故C正确； 对于D，由配方得， 则，，可解得， 又因题设中，所以，故D正确， 故选：ACD. 11. 如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（ ） A. 当时， B. 当时，二面角大小为 C. 当异面直线与所成角为时， D. 当点到平面的距离为时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，通过计算即可证，对于B，根据题意可得，就是二面角的平面角，计算即可得到二面角，对于C，设，作出异面直线夹角，再利用余弦定理结合条件列方程可得；对于D，根据锥体外接球球心的作法，可作球心，且即可判断. 【详解】 对于A，连接，平面，平面， ，即， 又，所以， 则，为的中点，所以，故A正确； 对于B，设中点为，连接， 平面，平面， ，又，，， 又为中点，所以， 又，所以，， 平面平面，就是二面角的平面角， ，即二面角的为，故B错误； 对于C，设中点为，连接，， 设时，， 中，，， ， ， 解得，即，故C正确； 对于D，设的外心为，过作平面的垂线，球心在垂线上， 又平面，所以， 又，所以在的垂直平分线上，则，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据和可构造方程组求得，由此可计算得到结果. 【详解】设，，； ，，又， ，解得：或， 或，. 故答案为：. 13. 在中，内角所对的边分别为，已知，，且．若，则的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系，结合正弦定理边角互化可得，进而根据余弦定理求解，即可由面积公式求解. 【详解】由可得, 由正弦定理可得, 即，则， 由于，故，由于,则， 由余弦定理可得， 故，则， 故三角形的面积为, 故答案为： 14. 已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是__________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】由可得函数的图象关于点对称，结合偶函数可得是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答. 【详解】由恒成立知，函数的图象关于点对称， 又是偶函数，由得， 则有，即，因此，是周期为4的周期函数， 对于①，在中，当时，，则，①正确； 对于②，是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，而的图象关于点对称， 所以在上是减函数，②不正确； 对于③，函数的图象关于点对称，③不正确； 对于④，由①②的信息知，在上单调递减，由是偶函数知，在上单调递增， 由周期是4知，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最小值，④正确； 对于⑤，由④的信息知，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，⑤不正确. 故答案为：①④ 【点睛】方法点睛：函数的定义域为，，存在常数，使得，则函数图象关于点对称. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. O是平面直角坐标系的原点，，，记，. （1）求在上的投影向量坐标； （2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标； （3）若向量，满足条件：与互补，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，，即可求出，再根据求出在上的投影向量； （2）设点，依题意可得，根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可； （3）首先求出，依题意可得，即可得到方程，从而求出； 【小问1详解】 解：因为，，所以，，所以， ，， 所以在上的投影向量为； 【小问2详解】 解：设点，为平行四边形，则有，，，所以，解得，故. 【小问3详解】 解：因为，又与互补，所以 ，即，推得 ，解得或，显然时，不符合题意，故. 16. 已知函数，且. （1）求的单调递减区间； （2）若，求的值. 【答案】(1) 单调递减区间为； (2) . 【解析】 【分析】（1）根据题意求出函数的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出，然后由可得结果． 【详解】（1） ． ∵， ∴， ∴的最大值为1，最小值为． 又，且， ∴函数的最小正周期为， ∴， ∴． 由， 得， ∴的单调递减区间为． （2）由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵且， ∴， ∴． ∴ ． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解． 17. 在一次区域的统考中，为了了解学生数学学科成绩的情况，从所有考生的成绩中随机抽取了40位考生的成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这40名学生的数学成绩的平均数与上四分位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留1位小数）； （2）为了进一步了解70分以下的学生的数学学习情况，调查方从成绩在分数段的同学中按组（各算一组从样本中分层抽取了6个人进行深入地学习交流，学习交流完后再从这6个人中随机抽取2个人进行再测试，求这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差． 【答案】（1）平均数约为75分，上四分位数约为83.3分； （2）． （3）平均数为88；方差为10 【解析】 【分析】（1）借助平均数与上四分位数定义计算即可得； （2）结合分层抽样定义可得抽取6人中成绩在及的人数，再借助列举法计算即可得； （3）借助分层抽样的平均数与方差公式计算即可得. 【小问1详解】 设平均数为，上四分位数为； 则， 上四分位数满足方程，． 这40名学生的数学成绩的平均数约为75分，上四分位数约为83.3分； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，分数在的人数有4人，分数在的人数有8人， 分层抽样的抽样比为， 分数在的学生中抽取2人，分数在的学生中抽取4人， 将抽取的这6个人编号：1，2，3，4，5，6，其中1，2是成绩在的两个学生， 则这两个人的所有可能情况有：、、、、、、、 、、、、、、、，共15种可能； 其中至少有一个人在之前的统考中成绩位于的情况有：、、、、 、、、、，共9种可能； 这两个人中至少有一个人在之前的统考中成绩位于的概率为； 【小问3详解】 在内有人，在内有人， 在内的平均成绩， 估计在内数据的原始成绩的方差为： . 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为、分别为棱，的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理证明平面，平面，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值. （3）法一：设点到平面的距离为，三棱锥体积为，利用向量法求得点到平面距离，即得点到平面距离，利用等面积法求得点到棱的距离，进而求出的面积及，利用导数法求得其最大值； 法二：由等积法可知，设，利用导数法求得其最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意中平面得两两垂直， 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则因为， 所以， 所以． 设平面的一个法向量， 则， 不妨设，则，即：， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 法一：设点到平面（也即平面）的距离为， 三棱锥体积为，则， 由（2）可知平面的一个法向量， 点到平面距离， 因为，所以点到平面距离． ， 所以，即为直角三角形，所以， 所以点到棱的距离为， 又因为，所以，且点到边的距离为， 所以的面积为． 所以，其中． 所以，所以， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 法二：三棱锥体积为，则， 因为，所以，， 所以， 所以， 则， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 已知函数为偶函数，当时，，（a为常数). （1）当x<0时，求的解析式： (2)设函数在[0，5]上的最大值为,求的表达式； (3)对于（2)中的，试求满足的所有实数m的取值集合. 【答案】(1) f(x)＝x2－2ax＋1；（2） ;(3){m| 或 }． 【解析】 【分析】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1,再根据函数的奇偶性化简即得函数的解析式.(2)对a分两种情况讨论，利用二次函数的图像和性质即得的表达式.(3)由题得 或，解不等式组即得解. 【详解】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x2－2ax＋1. 又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x2－2ax＋1. （2）当x[0，5]，f(x)＝x2＋2ax＋1，对称轴x＝－a， ①当－a≥ ，即a≤－时，g(a)＝f(0)＝1； ②当－a＜，即a＞－时，g(a)＝f(5)＝10a＋26． 综合以上 . （3）由（2）知， 当a≤－时，g(a)为常函数，当a＞－时，g(a)为一次函数且为增函数． 因为g(8m)＝g( )，所以有 或，解得或， 即m的取值集合为{m|或}． 【点睛】本题主要考查奇偶函数的解析式的求法,考查函数的最值的求法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $