第1章一元二次方程 单元练习卷-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程精选题练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•嘉定区校级月考）下列方程有实数根的是（　　） A．x2﹣x+1＝0 B．x7+1＝0 C． D．0 2．（2025春•纳雍县校级月考）将多项式x2﹣6x进行配方，正确的是（　　） A．（x﹣3）2﹣9 B．（x﹣3）2+9 C．（x﹣6）2﹣9 D．（x﹣6）2+9 3．（2025•裕华区校级二模）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2025•鹤壁一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4 5．（2025•凉州区一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 6．（2025•江阳区校级模拟）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 7．（2024秋•馆陶县期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（　　） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 8．（2025春•嵊州市期末）某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为760m2．若设人行小道的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（41﹣2x）（20﹣x）＝760 B．（41﹣x）（20﹣x）＝760 C．（41﹣x）（20﹣2x）＝760 D．（41﹣2x）（20﹣2x）＝760 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•桥西区期末）已知实数x1，x2是方程x2﹣1＝0的两根，则x1•x2＝　 　 ． 10．（2025春•香坊区校级期末）已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝　 　 ． 11．（2025春•仓山区校级月考）福州三坊七巷是全国著名的五A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则可列方程为　 　 ． 12．（2025春•鼓楼区校级月考）已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根为a、b，且a+3b＝3，则m的值是　 　 ． 13．（2025春•船营区校级期末）将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 　 ． 14．（2025春•鼓楼区校级期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是 　 　 ． 15．（2025春•舟山期末）定义：对于任意实数a，b，c，d，有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．已知关于x的方程[x，m]*[x+5，5]＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ． 16．（2025春•西湖区校级月考）已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则该菱形的面积为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•宝安区校级模拟）解下列方程： （1）（x+3）2＝5； （2）2x2﹣3x+1＝0． 18．（2025春•姑苏区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+16＝0， （1）若方程的一个根是1，求方程的另一个根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k的值． 19．（2025春•姑苏区期末）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为　 　 （元），平均每天可售出　 　 件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 20．（2025春•桥东区期末）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，如图所示． （1）若设正方形的边长为x m，则栽种鲜花区域（阴影部分）的面积为 　 　 m2（用含x的代数式表示，要求结果最简）； （2）如果剩余空地面积为12m2，求正方形的边长x的值． 21．（2025春•环翠区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+3x1•x2m？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 22．（2025春•雨花区校级期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 　 　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②求方程的两个根． 23．（2025春•雨花区校级期末）综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算． 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点，…，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+nn（n+1）．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是n（n+1）． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）若三角点阵中前n行的点数和是55，求出n的值． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、⋯、2n，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明道理． 第1章一元二次方程精选题练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D C A C B 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•嘉定区校级月考）下列方程有实数根的是（　　） A．x2﹣x+1＝0 B．x7+1＝0 C． D．0 【解答】解：选项A：x2﹣x+1＝0， 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），其判别式Δ＝b2﹣4ac． 在方程x2﹣x+1＝0中，a＝1，b＝﹣1，c＝1． ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0， ∴此方程无实数根，不符合题意； 选项B：x7+1＝0， 移项可得x7＝﹣1． ∵（﹣1）7＝﹣1， ∴x＝﹣1是方程x7+1＝0的实数根，符合题意； 选项C： 移项可得． ∵二次根式， ∴不成立，此方程无实数根，不符合题意； 选项D：， 方程变形为， 即， ． 此方程化简后x﹣3＝0时x＝3，不满足分母不为0的条件， ∴此方程无解，即无实数根，不符合题意； 故选：B． 2．（2025春•纳雍县校级月考）将多项式x2﹣6x进行配方，正确的是（　　） A．（x﹣3）2﹣9 B．（x﹣3）2+9 C．（x﹣6）2﹣9 D．（x﹣6）2+9 【解答】解：原式＝x2﹣6x+9﹣9 ＝（x﹣3）2﹣9， 故选：A． 3．（2025•裕华区校级二模）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【解答】解：设常数项为c， 根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0， 解得c≤9， 所以c的最大值为9． 故选：C． 4．（2025•鹤壁一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣4 【解答】解：由题意可知：Δ＝（﹣4）2+4×1×c＝0， ∴4c＝﹣16， 解得c＝﹣4． 故选：D． 5．（2025•凉州区一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【解答】解：∵关于x的一元二次方程 kx2﹣4x﹣2＝0有实数根， ∴Δ≥0且k≠0，即Δ＝（﹣4）2﹣4k×（﹣2）＝16+8k≥0且k≠0， 解得k≥﹣2且k≠0， 故选：C． 6．（2025•江阳区校级模拟）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4， ∴m2+4m＝3， ∴m2+5m+n+2024 ＝m2+4m+m+n+2024 ＝3﹣4+2024 ＝2023． 故选：A． 7．（2024秋•馆陶县期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（　　） A．每顶帐篷单价为x元 B．降价后平均每天可出售（200﹣x）顶 C．每顶帐篷单价应降价x元 D．降价后每顶帐篷利润为元 【解答】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶， ∴所列方程中（200﹣x）表示每顶帐篷的利润，（604）表示平均每天售出帐篷的数量， ∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数． 故选：C． 8．（2025春•嵊州市期末）某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为760m2．若设人行小道的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（41﹣2x）（20﹣x）＝760 B．（41﹣x）（20﹣x）＝760 C．（41﹣x）（20﹣2x）＝760 D．（41﹣2x）（20﹣2x）＝760 【解答】解：根据题意得，（41﹣x）（20﹣x）＝760， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2025春•桥西区期末）已知实数x1，x2是方程x2﹣1＝0的两根，则x1•x2＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵x2﹣1＝0， ∴x2＝1， ∴x1＝1，x2＝﹣1， ∴x1•x2＝1×（﹣1）＝﹣1， 故答案为：﹣1． 10．（2025春•香坊区校级期末）已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝　1　 ． 【解答】解：把x＝1代入x2+2mx﹣3＝0得1+2m﹣3＝0，解得m＝1． 故答案为：1． 11．（2025春•仓山区校级月考）福州三坊七巷是全国著名的五A级景区，随着福州市的知名度提高，从2022年到2024年五一节接待旅客逐年增长，其中2022年五一节接待旅客约27.87万人次，2024年五一节接待旅客约87.08万次，设旅客接待人数的年平均增长率为x，则可列方程为　27.87（1+x）2＝87.08　 ． 【解答】解：由题意可得， 27.87（1+x）2＝87.08， 故答案为：27.87（1+x）2＝87.08． 12．（2025春•鼓楼区校级月考）已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根为a、b，且a+3b＝3，则m的值是　　 ． 【解答】解：∵a和b是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b2， ∵a+3b＝3， ∴2b＝1， ∴b， ∴a， ∴a×b＝m． 故答案为：． 13．（2025春•船营区校级期末）将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　﹣3　 ． 【解答】解：∵一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，二次项的系数是2， ∴化成的一般形式为2x2﹣3x﹣4＝0， ∴一次项系数为﹣3， 故答案为：﹣3． 14．（2025春•鼓楼区校级期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是 　13　 ． 【解答】解：设参加会议有x人， 依题意得：x（x﹣1）＝78， 整理得：x2﹣x﹣156＝0 解得x1＝13，x2＝﹣12，（舍去）． 答：参加这次会议的有13人， 故答案为13． 15．（2025春•舟山期末）定义：对于任意实数a，b，c，d，有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．已知关于x的方程[x，m]*[x+5，5]＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m　 ． 【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]＝0， ∴x（x+5）﹣5m＝0，即x2+5x﹣5m＝0， ∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]＝0有两个不相等的实数根， ∴25+20m＞0， 解得m； 故答案为：m． 16．（2025春•西湖区校级月考）已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则该菱形的面积为　4　 ． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0，a＝1，b＝﹣6，c＝8， ∴x1x28， ∴Sx1x28＝4． 故答案为：4． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•宝安区校级模拟）解下列方程： （1）（x+3）2＝5； （2）2x2﹣3x+1＝0． 【解答】解：（1）原方程直接开平方得， 解得：，； （2）2x2﹣3x+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0， ∴， ∴x1＝1，． 18．（2025春•姑苏区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+16＝0， （1）若方程的一个根是1，求方程的另一个根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k的值． 【解答】解：（1）设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1×t＝16， 解得t＝16， 即方程的另一个根为16； （2）根据题意得Δ＝k2﹣4×16＝0， 解得k1＝8，k2＝﹣8， 即k的值为8或﹣8． 19．（2025春•姑苏区期末）2025年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕．某经销商销售以“苏超”为主题的T恤衫，平均每天可售出40件．每件盈利30元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件．设每件T恤衫降价x元． （1）降价后每件T恤衫的利润为　（30﹣x）　 （元），平均每天可售出　（40+4x）　 件（用含x的代数式表示）； （2）若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 【解答】解：（1）依题意得：降价x元后，每件衬衫的利润为（30﹣x）元，平均每天的销售量为（40+4x）件． 故答案为：（30﹣x）；（40+4x）． （2）依题意得：（30﹣x）（40+4x）＝1500， 解得：x1＝5，x2＝15， 又∵要尽快减少库存、增加盈利， ∴x＝15． 答：每件商品应降价15元． 20．（2025春•桥东区期末）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，如图所示． （1）若设正方形的边长为x m，则栽种鲜花区域（阴影部分）的面积为 　（3x﹣2）　 m2（用含x的代数式表示，要求结果最简）； （2）如果剩余空地面积为12m2，求正方形的边长x的值． 【解答】解：（1）设正方形的边长为x m，则栽种鲜花区域（阴影部分）的长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m， ∴栽种鲜花区域（阴影部分）的面积为：x2﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（3x﹣2）（m2）， 故答案为：（3x﹣2）； （2）根据题意得：（x﹣1）（x﹣2）＝12， 整理得：x2﹣3x﹣10＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）， 答：正方形的边长x的值为5m． 21．（2025春•环翠区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+3x1•x2m？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0有实数根， ∴m﹣2≠0，且Δ＝9﹣4（m﹣2）≥0． ∴m且m≠2． （2）由题意，∵一元二次方程为（m﹣2）x2﹣3x+1＝0， ∴x1+x2，x1x2． 又∵x1+x2+3x1•x2m， ∴3m． ∴m＝5或﹣3． 又∵结合（1）可得m且m≠2， ∴m＝﹣3． 22．（2025春•雨花区校级期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是 　②④　 （填序号）． ①x2+x＝6；②x2+3x+2＝0；③x2；④x2﹣5x＝﹣6． （2）若方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1，x2是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②求方程的两个根． 【解答】解：（1）①解方程x2+x＝6得x1＝2，x2＝﹣3， ∵x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5， ∴方程x2+x＝6不是“邻根方程”； ②解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵x1﹣x2＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴方程x2+3x+2＝0是“邻根方程”； ③解方程x2得x1＝x2， ∵x1﹣x20， ∴方程x2不是“邻根方程”； ④解方程x2﹣5x＝﹣6得x1＝3，x2＝2， ∵x1﹣x2＝3﹣2＝1， ∴方程x2﹣5x＝﹣6是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）①∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣k+1，x1﹣x2＝1， ∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， ∴12＝（﹣2）2﹣4（﹣k+1）， 解得k； ②∵方程x2+2x﹣k+1＝0是“邻根方程”，x1、x2是方程的两根， ∴x1﹣x2＝1，x1+x2＝﹣2， 解得x1，x2． 23．（2025春•雨花区校级期末）综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算． 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点，…，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+nn（n+1）．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是n（n+1）． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）若三角点阵中前n行的点数和是55，求出n的值． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、⋯、2n，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明道理． 【解答】解：（1）由题意若三角点阵中前n行的点数和是55， 得，即n2+n﹣110＝0， ∴（n+11）（n﹣10）＝0， ∴n1＝﹣11（舍去），n2＝10， ∴n的值为10． （2）前n行所有点数的和为2+4+6+⋯+2（n﹣2）+2（n﹣1）+2n ＝2[1+2+3+⋯+（n﹣2）+（n﹣1）+n] ＝n（n+1）． （3）不能， 假设能为120，则n（n+1）＝120，即n2+n﹣120＝0， ∴． ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$