21.3实际问题与一元二次方程（与图形有关的问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程（与图形有关的问题）跟踪练习 一、单选题 1．从一块正方形的木板上锯掉宽的长方形木条（长为正方形边长），剩下的面积是，则原来这块木板的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长80米，宽50米）场地，被3条宽度相等的绿化带分成总面积为2000平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一面积为的长方形鸡场，它的一边靠墙（墙长），另三边用总长为的竹篱笆围成，其中一边开有的门．设鸡场垂直于墙的一边为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 4．如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若x满足方程，则修建的示意图是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一试验园地是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．如图，某校准备对校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，则原正方形空地的边长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长为，宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为，则镶嵌的装饰部分的宽度为（   ） A． B． C． D． 8．如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．3 9．如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 10．如图，某校有一块长为，宽为的长方形“劳动实践基地”，为满足各班种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（图中阴影部分），将“劳动实践基地”分成了20个种植区域（图中空白部分），其中种植区域面积为．设石板小路的宽为，根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是给定矩形的“倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为 ． 12．已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 13．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 14．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米． 15．如图，在宽为，长的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，若设路宽为，则可列方程为： ． 三、解答题 16．在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度． 17．新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 18．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙．另外三边用篱笆围成，已知墙长42，篱笆长80．设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形面积为． (1)求y与x，S与x的函数关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为840？如果能，求出x的值；如果不能，说明理由． 19．你知道用几何图形也可以解一元二次方程吗？以为例，大致过程如下： (1)将横线上的内容补充完整 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为_______； 第四步：计算大正方形面积用x表示为______； 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列方程得，两边开方可求得符合题意的方程的解为：________． (2)请利用上述的思考过程，解方程． 20．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.3实际问题与一元二次方程（与图形有关的问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C D C A D C 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是找出等量关系，正确列出一元二次方程． 设原来的正方形木板的边长为，利用余下木板的面积正方形木板的面积长方形木板的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值进一步即可得出结论． 【详解】解：设原来的正方形木板的边长为， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 则原来这块木板的面积是 故选：B． 2．C 【详解】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由各边之间的关系，可得出被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形， 再根据绿化带分为总面积为2000平方米的活动场所，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：长方形场地的长为80米，宽为50米，绿化带的宽度为米， 被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形， 由题意得：， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可求解． 【详解】解：设鸡场垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 根据题意得：， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．假设四个选项中的草坪部分的面积均为，由此可分别列出相应的方程，化简后再与题干中的方程对比即可求得答案． 【详解】解：A、根据题意可得：， 整理，得：，故A选项不符合题意； B、根据题意可得：， 整理，得：，故B选项不符合题意； C、根据题意可得：， 整理，得：，故C选项不符合题意； D、根据题意可得：， 整理，得：，故D选项符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，难度一般，理解题意列出方程是关键．把白色部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：把白色部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米， ∵种植面积为平方米， ∴可列方程为． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设原正方形空地的边长为，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原正方形空地的边长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得：，（舍）， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设镶嵌的装饰部分的宽度为，则装饰后的画面的长为，宽为，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设镶嵌的装饰部分的宽度为，则装饰后的画面的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故选：． 8．A 【分析】本题主要考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用．已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图： 图1中的正方形面积为16， 正方形的边长为4， ∴直角三角形①中的长直角边为4， ， 解得：（已舍去负值）， ， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，列出一元二次方程，是解题的关键． 根据题意，空白部分的面积占到总面积的，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：． 故选D． 10．C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则20个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 则根据题意，可列方程为． 故选：C． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x的方程的根的判别式一定大于等于零，得到关于k的不等式，进而求出k的范围，于是得到结论． 【详解】解：∵现有一个长为3，宽为2的矩形， ∴它的周长，面积， ∴它的“k倍”矩形的面积，周长， 设它的“k倍”矩形的长为x，则宽为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍， ∴即：， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，不等式的应用．根据题意得到矩形周长为12，面积为，设矩形的一边长为，则另一边为，则，即，根据方程有实数根列出不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为， 则， 整理得：， 由题意得原方程有实数根， ， ． 又， ， 即的取值范围为：． 13．1 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 14．6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答． 设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答． 【详解】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意，得， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意， 答：生态园垂直于墙的边长为6米． 15． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，如果若设路宽为，耕地的长应该为，宽应该为；那么根据耕地的面积为，即可得出方程． 【详解】解：设路宽为， 则耕地的长应该为，宽应该为； 根据面积公式可得：， 故答案为：． 16．空白区域的宽度为． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设空白区域的宽度为，然后根据矩形面积可列出方程进行求解． 【详解】解：设空白区域的宽度为，由题意得： 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：空白区域的宽度为． 17．(1)安全区域的宽度为1米 (2)每次降价的百分率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为x米，根据篮球场及安全区域的总面积为，列出方程，解方程即可； （2）设每次降价的百分率为a，根据原价为45万元，连续两次降价后为万元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安全区域的宽度为x米，由题意得： ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：安全区域的宽度为1米； （2）解：设每次降价的百分率为a，由题意得： ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 18．(1)，；， (2)围成的矩形花圃面积不能为840．理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； （1）根据及矩形的面积公式即可求解； （2）令，得一元二次方程，利用判别式的意义判断此方程无实数解，即可作答． 【详解】（1）篱笆长80， ， ， ， 由解得， ， 矩形面积，． （2）不能，理由如下： 令，即， 整理得， 此时， 一元二次方程没有实数根， 围成的矩形花圃面积不能为840． 19．(1)3；；或 (2)或 【分析】本题考查了列代数式、利用平方根解方程，理解题意是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）仿照（1）中的方法解方程即可． 【详解】（1）解：小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴大正方形的面积用x表示为， ， ， ， 解得：或． 故答案为：3；；或． （2）解：第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图3所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图4所示．小正方形的边长为； 第四步：计算大正方形面积用x表示为； 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列方程得，两边开方可求得符合题意的方程的解为：或． 20．(1) (2)篱笆的长为10米； (3)矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． （1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形围栏面积为270平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【详解】（1）解：设栅栏长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴米， 故答案为：； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （3）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到270平方米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$