模块检测卷(2)-【学考一本通】2026年广西高中数学学业水平合格性考试

广西普通高中学业水平合格性考试 模块检测卷(二) [范围:必修第二册] (时间:90分钟 满分:100分) 一、单项选择题(本大题共26小题,每小题2分,共52分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,错选、多选或未选均不得分.) 1.给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|=|b|,则a=b;③在四边形ABCD 中,若AB→=DC→,则四边形ABCD 是平行四边形;④平行四边形ABCD 中,一定有AB→=DC→; ⑤若m=n,n=k,则m=k;⑥若a∥b,b∥c,则a∥c.其中不正确的命题的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图,在△ABC 中,M 是边BC 的中点,P 是AM 上一点,且BP→=13BA+ mBC→,则m= ( ) A.12 B. 1 3 C. 1 4 D. 2 5 3.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中有两解的是 ( ) A.b=1,A=45°,C=60° B.a=1,c=2,B=60° C.a=3,b=1,B=120° D.a=3,b=4,A=45° 4.△ABC中∠A=60°,若S△ABC= 3 23 且2sinB=3sinC,则△ABC的周长为 ( ) A.10+ 7 B.12 C.5+ 7 D.5+2 7 5.已知复数z= 21-i+ 1 1+i (i为虚数单位),则复数z在复平面上对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.若复数z满足z-1z =2-i ,则z= ( ) A.-1+i B.-1-i C.-12+ 1 2i D.- 1 2- 1 2i 7.如图所示,梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观 图,A'D'=2B'C'=2,A'B'=1,则平面图形ABCD 中对角线AC 的长度 为 ( ) A.5 B.3 C.2 D.5 8.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为π且半径为2的扇形,则该圆锥的体积为 ( ) A.3π3 B. π 3 C. 2 3π 3 D. 2π 3 9.如图所示是一个无盖的瓶子,该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成,圆柱的 底面圆的半径为1,圆台的下底面圆的半径为2,圆柱和圆台的高相等,若该瓶子 的侧面积为(3 2+2)π,则瓶子的体积为 ( ) A.10π3 B.4π C. 14π 3 D. 16π 3 —9— 10.在四面体ABCD 中,已知点E,F 分别为棱AB,CD 中点,且EF⊥AB,EF⊥CD,若AB= CD=2,EF=2,则该四面体外接球半径为 ( ) A.2 B.3 C.2 2 D.2 3 11.在圆台O1O2 中,下底面半径为上底面半径的4倍,高为4,体积为28π,则圆台的母线与下底 面所成角的正切值为 ( ) A.43 B. 3 4 C. 4 5 D. 3 5 12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,直线AB1 与直线BD ( ) A.异面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直 第12题图 第13题图 13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为DB,A1C1 的中点,则直线A1M 和BN 夹 角的余弦值为 ( ) A.-23 B.- 1 3 C. 2 3 D. 1 3 14.采用简单随机抽样的方法,从含有20个个体的总体中抽取1个容量为4的样本,则某个个体 被抽到的概率为 ( ) A.14 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 20 15.管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内随机捞出 70条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是 ( ) A.2800 B.1800 C.1400 D.1200 16.某养猪场定购了一批仔猪,从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位:斤),经数据处理得到如 图1的频率分布直方图,其中体重最轻的14头仔猪的体重的频数分布表如图2,为了将这批 仔猪分栏喂养,需计算频率分布直方图中的一些数据,其中a+b的值为 ( ) 图1 体重 22 24 26 27 28 29 31 频数 1 1 2 3 3 2 2 图2 A.0.144 B.0.152 C.0.76 D.0.076 17.有一组数据24,29,x,25,22,x+1,20,24,28,25.若该组数据的中位数与众数相等,则平均数 为 ( ) A.24.4 B.25.8 C.24.4或25.8 D.24.4或24.8 18.已知1,x1,x2,x3,x4 这5个数的平均数为3,方差为2,则x1,x2,x3,x4 这4个数的方差为 ( ) A.1 B.54 C. 7 4 D.2 —01— 19.在12件同类产品中,有10件正品和2件次品,从中任意抽出3件.其中为必然事件的是 ( ) A.3件都是正品 B.至少有1件是次品 C.3件都是次品 D.至少有1件是正品 20.现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入一个盒子 中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片,则一张为“1”,一张为“2”的概率是 ( ) A.23 B. 1 3 C. 2 9 D. 1 9 21.从一副混合后的扑克牌(不含大小王)中,随机抽取1张,事件A 为“抽得红桃K”,事件B 为 “抽得黑桃”,则P(A∪B)= ( ) A.726 B. 11 26 C. 15 26 D. 19 26 22.给出下列四个命题: ①设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品;②做100次抛硬币 的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51100 ;③随机事件发生的频率 就是这个随机事件发生的概率;④抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点 的频率是9 50. 其中正确命题有 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 23.小刚参与一种答题游戏,需要解答A,B,C 三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a,a, 1 2 ,且各题答对与否互不影响,若他恰好能答对两道题的概率为1 4 ,则他三道题都答错的概率 为 ( ) A.12 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 24.已知a=0.53.1,b=log0.90.3,c=log13 1 2 ,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 25.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E,F,G 分别是CC1,BD,A1B1 的中点,则直线 C1G与EF 所成角的余弦值为 ( ) A.32 B. 6 3 C. 5 5 D. 30 10 26.袋中有5张卡片,分别写有数字1,2,3,4,5,有放回的摸出两张卡片.事件 M=“第一次摸得 偶数”,N=“第二次摸得2”,Q=“两次摸得数字之和大于8”,R=“两次摸得数字之和是6”, 则 ( ) A.M 与Q 相互独立 B.N 与R 相互独立 C.N 与Q 相互独立 D.Q 与R 相互独立 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题满分3分,共6分.在每小题给出的四个选项中,有多项 是符合题目要求的,全部选对得3分,部分选对得2分,未选或有选错的得0分.) 27.下图中在立方体中作两条线段,线段的端点要么是立方体的顶点,要么是棱的中点,则这两条 线段位于同一平面的立方体是 ( ) A. B. C. D. —11— 28.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=“两次都击中飞机”,B=“两次都 没击中飞机”,C=“恰有一枚炮弹击中飞机”,D=“至少有一枚炮弹击中飞机”,下列关系正确 的是 ( ) A.A⊆D B.B∩D=⌀ C.A∪C=D D.A∪B=B∪D 三、填空题(本大题共4小题,每小题满分3分,共12分.) 29.在△ABC中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知(c-b)sinC=(a+b)(sinA-sinB). 则A= . 30.以下命题中(其中a,b表示直线,α表示平面),写出所有错误命题的编号 . ①若a∥b,b⊂α,则a∥α ②若a∥α,b∥α,则a∥b ③若a∥b,b∥α,则a∥α ④若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则a∥b 31.某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店,平台一有1万人给出评分,综合好评率为 96%,平台二有2万人给出评分,综合好评率为93%,则这家体育器材店的总体综合好评率为 . 32.某中职学校为了解全校学生国庆小长假期间阅读古典名著的时间的 情况,抽查了1000名学生,将他们的阅读时间进行分组:[2,4),[4, 6),[6,8),[8,10),[10,12].抽样结果绘成的频率分布直方图如图所 示.则实数a= .这1000名学生阅读古典名著的时间不少 于8小时的人数为 . 四、解答与证明题(本大题共3小题,每小题满分10分,共30分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) 33.已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a. (1)求|a+b|; (2)求a-b与a的夹角. 34.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 及G 分别为棱 BB1、DD1 和CC1 的中点. (1)求证:C1F∥平面DEG; (2)若 M 为棱CD 的中点,求证:D1M⊥平面DEG. 35.某教育集团高一期末考试,从全集团的政治成绩中随机取100 名学生的原始成绩(满分100分)进行分析,其频率分布直方图 如图所示: (1)求图中a的值; (2)若采用分层抽样的方法,从原始成绩在[50,60)和[60,70) 内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况,再从中选取2人 进行个案分析,求这2人中恰有一人原始成绩在[50,60)内的 概率; (3)已知落在[80,90)的平均成绩x=84,方差s21=6,落在[90,100]的平均成绩y=98,方差 s22=12,求落在[80,100]的平均成绩z,并估计落在[80,100]的成绩的方差s2. —21— 题意;将(3,1),(5,2)代 入y=loga(x+b),得 1=loga(3+b) 2=loga(5+b) ,解 得 a=2b=-1 ,得 y=log2(x- 1),当x=9时,y=log28=3,当x=17时,y= log216=4,故可用③来描述x,y之间的关系. (2)由log2(x-1)=6,则x=65.∵年利润率为 6 65 <10%,∴该企业要考虑转型. 35.【答案】 (1)f(x)=2sin2x+3π4 (2)kπ-π8 ,kπ+3π8 (k∈Z) (3)[- 2,2] 【解析】 (1)由 图 象 可 知 A=2,T2 = 3π 8 - -π8 ,则T=π,所以2πω=π,得ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π), 因为f(x)的图象过点 -π8 ,2 , 所以2sin -π4+φ =2,得-π4+φ=π2+2kπ, k∈Z,得φ= 3π 4+2kπ ,k∈Z, 因为|φ|<π,所以φ= 3π 4 , 所以f(x)=2sin2x+3π4 ; (2)由π2+2kπ≤2x+ 3π 4≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z,得 -π4+2kπ≤2x≤ 3π 4+2kπ ,k∈Z, 所以-π8+kπ≤x≤ 3π 8+kπ ,k∈Z, 所以f(x)的递减区间为 kπ-π8 ,kπ+3π8 (k∈Z); (3)由x∈ -3π8 ,π 4 ,得2x∈ -3π4,π2 , 所以2x+3π4∈ 0 ,5π 4 , 所以sin5π4≤sin2x+ 3π 4 ≤sinπ2,即- 22≤sin 2x+3π4 ≤1, 所以- 2≤2sin2x+3π4 ≤2, 所以f(x)的值域为 - 2,2 . 广西普通高中学业水平合格性考试 模块检测卷(二) 1.B ①两个向量相等是指大小相等,方向相同,则它 们的起点和终点不一定相同,故错误; ②若|a|=|b|,方向不同,则a=b不一定成立; ③在四边形ABCD 中,若AB→=DC→,则AB∥DC 且 AB=DC,所以四边形ABCD 是平行四边形,正确; ④平行四边形 ABCD 中,一定有AB→=DC→,正确; ⑤若m=n,n=k,则 m=k,正确;⑥a∥b,b∥c,则 a∥c,取b=0时,a与c 不一定共线,错误.其中不 正确的命题的个数为3.故选B. 2.B 设AP→=λAM→,因为 M 是边BC 的中点,所以 BM→=12BC →,所以AM→=BM→-BA→=12BC →-BA→, BP→=BA→+AP→=BA→+λAM→=BA→+12λBC →- λBA→=(1-λ)BA→+12λBC →,又BP→=13BA →+ mBC→,所以 1-λ=13 1 2λ=m 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得m=13. 故选B. 3.D A项是角角边类型的三角形,有唯一解;B项解 两边夹一角类型的三角形,是唯一解;C项是两边 一对角类型的三角形,角B 为钝角,也是三角形的 最大角,对应三角形最大边,但是b<a,故该三角形 无解;D项是两边一 对 角 类 型 的 三 角 形, asinA= b sinB ,4 sinB= 3 2 2 ,sinB=2 23 > 2 2=sin45° ,B 有 两个解,此三角形有两解.故选D. 4.C 由题意S=12bcsinA= 3 4bc= 3 3 2 ,bc=6,又 2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c,联立解得 b=3,c=2, a= b2+c2-2bccosA= 32+22-2×3×2cos60° = 7,所以a+b+c=5+ 7.故选C. 5.D 因为z= 21-i+ 1 1+i ,所以z= 21-i+ 1 1+i= 2(1+i) (1-i)(1+i)+ 1-i (1+i)(1-i)=1+i+ 1-i 2 = 3 2+ i 2 ,所以z=32- 1 2i ,所以复数z在复平面上对应 的点的坐标为 3 2 ,-12 ,复数z在复平面上对应 的点位于第四象限.故选D. 6.C 已知z-1z =2-i ,等式两边同时乘以z得到z- 1=z(2-i).将右边展开z-1=2z-iz,移项可得 z(1-2+i)=1,即z= 1-1+i= -1-i (-1+i)(-1-i). 且(-1+i)(-1-i)=(-1)2+12=2.所以z= -1-i 2 =- 1 2- 1 2i. 则z=-12+ 1 2i. 故选C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46— 7.A 由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD,如 图, 由斜二测法则知AB=2A'B'=2,BC=B'C'=1, 所以AC= AB2+BC2= 4+1= 5.故选A. 8.A 设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l,高为h, 则l=2, 由题意得,2πr=πl,解得r=1, ∴h= l2-r2= 3,∴圆锥的体积为13πr 2h=13π ×12× 3= 3π3 . 故选A. 9.A 设圆柱和圆台的高为h,圆台的母线为l,则l= h2+1.瓶子的侧面积S=2πh+πl×(1+2)=2πh +3π× h2+1=(3 2+2)π,解得h=1.瓶子的体 积V=13×1× (π+4π+ 4π2)+π×12×1=73π+ π=103π. 故选A. 10.A 根据长方体的面对角线特点,由对棱 AB= CD=2,且对棱中点E,F 分别满足EF⊥AB,EF ⊥CD,则可构造长方体使得四面体 ABCD 的顶 点与长方体的顶点重合,由长方体的外接球即为 四面体的外接球,如下图所示: 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则b2+c2= AB2=4,a=EF=2,所 以 外 接 球 的 半 径 R= a2+b2+c2 2 = 4+22 2 = 2 ,即四面体 ABCD 的 外接球半径为 2.故选A. 11.A 由题意得,圆台的高h=4,体积V=28π,设上 底面半径为r,则下底面半径为4r.圆台的体积 V=13π× [r2+(4r)2+4r2]×h=13π×21r 2×4= 28πr2=28π,解得r=1. 作出圆台的轴截面,如图, 则O1C=1,O2B=4,O1O2=4,∠CBO2 为母线CB 与下底面所成的角.过点C 作CM⊥O2B 于点M, 则CM=O1O2=4,O2M=O1C=1,所 以 MB= O2B-O2M=3,所以tan∠CBO2= CM MB= 4 3. 故选A. 12.A 方法一:由图形可知,直线AB1 与直线BD 不 同在任何一个平面,这两条直线为异面直线. 方法二:(反证法)假设直线AB1 与直线BD 不异 面,则直线AB1 与直线BD 共面,设直线 AB1 与 直线BD 确定的平面α,又A,B1,B 不共线,所以 确定平面AB1B,所以平面α与平面AB1B 重合, 从而可得 D∈平面 AB1B,与 D∉平面 AB1B 矛 盾,所以直线AB1 与直线BD 异面.故选A. 13.C 连接 AC,CN,由正 方体的性质,知 M 也是 AC 的 中 点,且 A1C1∥ AC,即 A1N ∥CM,又 A1N=CM = 1 2AC ,故 A1MCN 为平行四边形, 则A1M∥NC,所以直线 A1M 和BN 夹角,即为 直线 NC 和 BN 夹 角,若 正 方 体 棱 长 为2,则 NC=BN= 6,BC=2, 所以cos∠BNC=NC 2+BN2-BC2 2NC·BN = 8 2×6= 2 3 , 即直线A1M 和BN 夹角余弦值为 2 3. 故选C. 14.B 由于每个个体被抽到的概率相等,所以每个个 体被抽到的概率是4 20= 1 5. 故选B. 15.C 设估计该池塘内鱼的总条数为n,由题意,得 从池塘内捞出70条鱼,其中有标记的有2条,所 有池塘中有标记的鱼的概率为:2 70= 1 35 ,又因为池 塘内具有标记的鱼一共有40条鱼,所以40n= 1 35 , 解得n=35×40=1400,即估 计 该 池 塘 内 共 有 1400条鱼.故选C. 16.B 由题意得c+d=12100× 1 5=0.024 ,且[2(c+ d)+a+b]×5=1,所以2×0.024+a+b=0.2, 所以a+b=0.152.故选B. 17.D 将已知数据从小到大排列为20,22,24,24, 25,25,28,29.因为该组数据的中位数与众数相 等,所以众数只能是24和25中的一个.因为每组 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56— 数据的中位数是唯一的,所以该组数据的众数也 是唯一确定的.又该组数据中除24,25外其他数 据均只出现一次,且x 与x+1不可能相等,故众 数只能是24和25中的一个.若中位数与众数均 为24,则x+1=24,x=23,此时平均数为110× (20+22+23+24+24+24+25+25+28+29)= 24.4;若中位数与众数均为25,则x=25,此时平 均数为1 10× (20+22+24+24+25+25+25+26 +28+29)=24.8,故该组数据的平均数为24.4 或24.8.故选D. 18.B ∵1,x1,x2,x3,x4 这5个数的平均数为3,方 差为2,∴ x1+x2+x3+x4+1 5 =3 ,即x1+x2+x3 +x4=14,∴x1,x2,x3,x4 这4个数的平均数为 x= x1+x2+x3+x4 4 = 7 2 , ∴ x12+x22+x32+x42+12 5 -3 2=2,即x12+x22 +x32+x42=54, ∴x1,x2,x3,x4 这4个数的方差为S2= 1 4 (x12+x22 +x32+x42)-x2= 1 4×54- 7 2 2 =54. 故选B. 19.D 12件同类产品中,有10件正品和2件次品, 从中任意抽出3件,次品的个数可能为0,1,2,正 品的个数分别为3,2,1,因此只有“至少有1件正 品”一定会发生,它是必然事件,ABC三个选项中 的事件都有可能不发生.故选D. 20.C 从盒子中依次有放回地取出两张卡片,取出的 所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2, 2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种.满足一张 为“1”,一张为“2”的取法为(1,2),(2,1),共2种 情况,所以所求的概率P=29. 故选C. 21.A 一副混合后的扑克牌(不含大小王)共有52 张,则事件A 的概率为P(A)=152 ,一副扑克牌有 13张黑桃,则事件B 的概率为P(B)=1352= 1 4 ,而 事件A 与B 互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)= 1 52+ 1 4= 7 26 ,所以P(A∪B)=726. 故选A. 22.D 对于①,实验中,出现的某种事件的频率总在 一个固定的值的附近波动,并不是一个确定的值, 一批产品次品率为0.05,则从中任取200件,次品 的件数在10件左右,而不一定是10件,①错误; 对于②,100次并不是无穷多次,只能说明这100 次试验出现正面朝上的频率为51 100 ,故②错误;对 于③,根据定义,随机事件的频率只是概率的近似 值,它并不等于概率,③错误;对于④,频率估计概 率,频率为出现的次数与重复试验的次数的比值, 抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则 出现1点的频率是18100= 9 50 ,④正确.故选D. 23.C 记小刚解答 A,B,C 三道题正确分别为事件 D,E,F,且D,E,F 相互独立,且P(D)=P(E)= a,P(F)=12. 恰好能答对两道题为事件 DEF+ DEF+DEF,且DEF,DEF,DEF 两两互斥,所 以P(DEF+DEF+DEF)=P(DEF)+P(DE F)+P(DEF)=P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P (F)+P(D)P(E)P(F)=a×a× 1-12 +a× (1-a)×12+ (1-a)×a×12= 1 4 ,整理得(1- a)2=12 ,他三道题都答错为事件DEF, 故P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=(1-a)2 1-12 =12(1-a)2=14.故选C. 24.D 因为y=0.5x 在 R 上单调递减,则0.53.1< 0.51=12 ,即a<12 ;又 因 为 y=log0.9x 在(0, +∞)上单调递减,则log0.90.3>log0.90.9=1,即 b>1;可得c=log13 1 2=log32 ,且y=log3x 在(0, +∞)上单调递增,则12=log3 3<log32<log3 =1,即12<c<1. 综上所述:a<c<b.故选D. 25.D 令 K,I 分别是DD1,BB1 的中 点,H 是 KI 中 点,连 接 C1H,GH,由正四棱柱的性质 及题设,易知 HF∥EC1 且 HF =EC1,则 HFEC1 为平行四边 形,所以C1H∥EF,直线 C1G 与EF 所成角即为直线C1G 与 C1H 所成 角,即∠GC1H,若 AA1=2AB=4,则 C1G= 5,C1H = 6,GH = 5,cos∠GC1H = C1G2+C1H2-GH2 2C1G·C1H =5+6-5 2× 30 = 3010. 故选D. 26.B 有放回摸出两张卡片的样本空间:Ω={11, 12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,32,33,34,35, 41,42,43,44,45,51,52,53,54,55},共25个结 果,事件 M={21,22,23,24,25,41,42,43,44, 45},共10个 结 果,P(M)=1025= 2 5 ,事 件 N= {12,22,32,42,52},共5个结果,P(N)=525= 1 5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —66— 事件Q={45,54,55},共3个结果,P(Q)=325 ,事 件R={15,24,33,42,51},共5个结果,P(R)= 5 25= 1 5 ,对于A,P(MQ)=125 ,P(M)P(Q)=25× 3 25= 6 125 ,P(MQ)≠P(M)P(Q),事件 M 与Q 不 相互独立,A错误;对于B,P(NR)=125 ,P(N)P (R)=15× 1 5= 1 25 ,P(NR)=P(N)P(R),事件 N 与R 相 互 独 立,B正 确;对 于 C,P(NQ)=0, P(N)P(Q)=15× 3 25= 3 125 ,P(NQ)≠(N) P(Q),事件 N 与Q 不相互独立,C错误;P(QR) =0,P(Q)P(R)=325× 1 5= 3 125 ,P(QR)≠P(Q) P(R),事件Q 与R 不相互独立,D错误.故选B. 27.BD 对于选项 A,如图所示: ,两条 线段不平行,可知其不共面;对于选项B,如图所 示: ,两条线是平行的,因而是在同一 个平面;对于选项C,如图所示: ,不 能作出一个平面,因而是不共面的,对于选项D, 如图所示: ,两条线平行,是共面的. 故选BD. 28.ABC “恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第 二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一枚 炮弹击中”包含两种情况:恰有一枚炮弹击中,两 枚炮弹都击中.故 A⊆D ,A∪C=D.故 A、C正 确;因为事件B,D 为互斥事件,所以B∩D=⌀. 故B正确;对于D:A∪B=“两个飞机都击中或者 都没击中”,B∪D 为必然事件,这两者不相等.故 D错误.故选ABC. 29.【答案】 π3 【解析】 因为(c-b)sinC=(a+b)(sinA-sin B),由正弦定理得(c-b)c=(a+b)(a-b),整理 可得c2+b2-a2=bc,则cosA=c 2+b2-a2 2bc = bc 2bc =12 ,且0<A<π,故A=π3. 故答案为:π 3. 30.【答案】 ①②③ 【解析】 对于①,若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α, 故①错误;对于②,若a∥α,b∥α,则a∥b或a 与b 异面或a与b 相交;故②错误;对于③,若a∥b, b∥α,则a∥α或a⊂α,故③错误;对于④,根据直 线与平面平行的性质定理可知,“若a∥α,a⊂β, α∩β=b,则a∥b”是正确的.故答案为①②③. 31.【答案】 94% 【解析】 这家体育器材店的总体综合好评率为13 ×96%+23×93%=94%. 故答案为:94%. 32.【答案】 0.14 380 【解析】 根据频率分布直方图的几何意义,坐标 系内的所有矩形的高度之和乘以组距为定值1, 所以(0.04+0.05+0.12+a+0.15)×2=1,得 a=0.14,阅读时间不少于8小时的人数为(0.05 +0.14)×2×1000=380.故答案为:0.14,380. 33.【答案】 (1)5 (2)45° 【解析】 (1)因为向量a=(-1,3),b=(x,2),所 以a-2b=(-1-2x,-1),由(a-2b)⊥a得1+ 2x-3=0,解得x=1,所以b=(1,2). 又a+b=(0,5),所以|a+b|= 02+52=5. (2)设向量a-b与向量a 的夹角为θ, 因为a=(-1,3),a-b=(-2,1),则cosθ= (a-b)·a |a-b|·|a|= 5 10× 5 = 22 , 又0°≤θ≤180°,所以θ=45°, 即向量a-b与向量a 的夹角是45°. 34.【答案】 (1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E, F,G 分别为棱BB1,DD1 和CC1 的中点,DF∥ C1G,且DE=C1G,则四边形DGC1F 是平行四边 形,C1F∥DG,而 DG⊂平 面 DEG,C1F⊄平 面 DEG,所以C1F∥平面DEG. (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥平面 CDD1C1,D1M⊂面CDD1C1,则BC⊥D1M,由E, G 是 正 方 形 BCC1B1 边 BB1,CC1 的 中 点,得 BC∥EG,则D1M⊥EG, M 为 棱 CD 的 中 点,在 正 方 形 CDD1C1 中, tan∠DD1M= DM DD1 =12= CG CD=tan∠CDG , 则 ∠DD1M =CDG,即 ∠D1MD + ∠CDG = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —76— ∠D1MD+∠DD1M= π 2 ,则D1M⊥DG, 又EG∩DG=G,EG,DG⊂平面DEG,所以 D1M ⊥平面DEG. 35.【答案】 (1)0.03 (2)815 (3)z=88;s2=3347 【解析】 (1)由题可知(0.005+0.01+0.02+a+ 0.025+0.01)×10=1,解得a=0.03;(2)由原始 分在[50,60)和[60,70)中的频率之比为0.01∶ 0.02=1∶2,故抽取的6人中,原始分在[50,60) 中的有2人,记为A,B,在[60,70)中的有4人,记 为a,b,c,d,则从6人中抽取2人,所有可能的结 果有:(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B, a),(B,b),(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d), (b,c),(b,d),(c,d),共15个基本事件,其中抽取 这2人中恰有一人原始成绩在[50,60)内的结果 有:(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b), (B,c),(B,d),共8个基本事件,所以抽取这2人 中恰有一人原始成绩在[50,60)内的概率P=815 ; (3)z=25x+10y35 = 25×84+10×98 35 =88 , s2= 25(s21+x 2)+10(s22+y 2) 35 z 2 =25 (6+842)+10(12+982) 35 -88 2=3347 . 广西普通高中学业水平合格性考试 仿真模拟卷(一) 1.B 由集合A={x|x<2或x≥4},得∁RA={x|2≤ x<4},又集合B={x|a≤x≤a+1}且(∁RA)∩B= ⌀,则a+1<2或a≥4,即a<1或a≥4.故选B. 2.B 由a3<8得a<2,由|a-1|<1解得0<a<2, a<2推不出0<a<2,0<a<2可推出a<2,故 “a3<8”是“|a-1|<1”的必要不充分条件.故选B. 3.C 因为zi3=1- 5i,所以z=1- 5i i3 =1- 5i-i = (1- 5i)i -i·i =5+i ,所以|z|= (5)2+1=6.故选C. 4.B 由正数x,y满足4x+y=4,得1x+ 1 y= 1 4 (4x +y)(1x + 1 y )= 14 y x+ 4x y +5 ≥ 14 2 yx ·4x y +5 =94,当 且 仅 当yx =4xy ,即 x= 2 3 ,y=43 时取等号,所以1 x+ 1 y 的最小值为9 4. 故 选B. 5.C 不等式2x+13-x<0 等价于(2x+1)(3-x)<0, 即(2x+1)(x-3)>0, 解得x>3或x<-12 ,所以不等式2x+1 3-x<0 的解 集为 x x<-12 或x>3 .故选C. 6.A 由函数f(x)=2x2-mx+1的对称轴是x= m 4 ,因为函数在区间[-1,+∞)上是增函数,所以 m 4≤-1 ,解得m≤-4,又因为f(1)=3-m,因此 3-m≥7,所以f(1)的取值范围是[7,+∞).故选 A. 7.C 函 数 f(x)=x3 的 定 义 域 为 R,f(-x)= (-x)3=-x3-f(x),f(x)不是偶函数,A不是; 函数f(x)=|x-1|的定义域为 R,f(-x)=|-x -1|=|x+1|≠f(x),f(x)不是偶函数,B不是; 函数f(x)=1的定义域为 R,f(-x)=1=f(x), f(x)是偶函数,C是;函数f(x)= xx2+1 的定义域 为R,f(-x)= -x(-x)2+1 =-f(x),f(x)不是偶 函数,D不是.故选C. 8.C 依题意,a=30.6>30=1,c=log2 1 3<log21=0 , 0<(13 )0.6<(13 )0=1,因此a>b>c.故选C. 9.A 若函数f(x)=2x-2x-a 存在1个零点位于 (1,2)内,f(x)=2x-2x-a 单调递增,又因为零点 存在定理,∴f(1)=21-21-a<0 ,且f(2)=22- 2 2-a>0 ,∴0<a<3.故选A. 10.D 因为y=sinx 为奇函数,所以 A错误;y= cos2x为偶函数,且周期为π,当x∈ 0,π2 时, 2x∈(0,π),而函数y=cosx 在(0,π)上单调递 减,所以函数y=cos2x在 0,π2 上单调递减,所 以B错误;因为y=sin2x 为奇函数,所以C错 误;因为f(-x)=12 sin (-x)=12|-sinx|= 1 2|sinx|=f (x),所以y=12|sinx| 为偶函数; 因为y=12|sinx| 的图象是由y=12sinx 在x 轴 下方的图象翻折上去、x 轴上方的图象保持不变 得到的,所以函数y=12|sinx| 的周期为π,当 x∈ 0,π2 时,sinx>0,此时y=12sinx,而y= 1 2sinx 在(0,π2 )上单调递增,故D符合.故选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —86—