专题03 直线和圆的位置关系（专项训练）数学人教版九年级上册

专题03 直线和圆的位置关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1 题型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 5 题型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 11 题型四、切线的性质和判定的综合应用 17 题型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 24 题型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 2．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 3．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 4．如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    题型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂直”. 5.如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 6.如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 7.如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8.如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 题型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的半径，简称“作垂直，证半径”. 9.如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 10.如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明． 11.如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 12.如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 题型四、切线的性质和判定的综合应用 13．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切；； (2)若正方形的边长为，则的半径_______． 14．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 15．如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接； (1)判断与的位置关系并说明理由． (2)若的半径为，，求的长． 16．如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 题型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 17．如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为 ． 18．如图，是的内切圆，，则的大小是 ；的半径是 ． 19．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 20．如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 题型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 21．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 22．如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 一、单选题 1．已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 4．如图，是的直径，是的切线，为切点，，垂足为，连接．若，且，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 5．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 二、填空题 6．如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 7．如图，⊙是的内切圆，，则 ． 8．如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于 ． 9．如图，正方形的边长为，若经过，两点的与直线相切，则的半径为 ． 10．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 三、解答题 11．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 12．如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 13．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 14．如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 16．如图，已知是的直径，弦，垂足为，连接，以为邻边作，连接与交于点，，． (1)求证：是的切线； (2)求的半径； (3)求的长． 17．如图，是的直径，是的两条弦，且与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弦的长； (3)在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线． 18．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线和圆的位置关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1 题型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 5 题型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 11 题型四、切线的性质和判定的综合应用 17 题型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 24 题型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出，利用等面积法求出当圆与相切时，；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是，进而求解即可． 【详解】解：过C作于D， 在中， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴当圆与时相切时，； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是， 综上所述：若此圆与线段只有一个交点，r的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 2．在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 【答案】或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【详解】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 3．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作于E，找到两个临界状态，一个是恰好与相切时，此时点D是切点，得到半径为，另一个是经过点A时，则，建立方程求解即可． 【详解】解：作于E，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时，，此时与相切， ∴， 当经过点A时，    设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注意分情况讨论是解题的关键． 4．如图，，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画圆，若的边与有两个公共点，则r的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本量主要考查了直线与圆的位置关系，当和射线相切时，边与有一个公共点，此为临界点，r取最小值；当经过点A时，r取最大值．由此可得结论． 【详解】解：当与相切时，如图，   ， 又∵，且， 是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴； 当经过点A时，如图，    此时r取最大值，最大值为4， 综上可知，若的边与有两个公共点，则r的取值范围． 故答案为：． 题型二、切线的证明：有切点，连半径，证垂直 已知直线与圆有公共点，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂直”. 5.如图所示，已知是圆O的直径，圆O过的中点D，且．   (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆O的半径为 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理可得出，再利用平行线的性质就可证明是圆O的切线． （2）利用特殊角度，根据直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，由两直线平行同位角相等，可得出，从而求得，得到是等边三角形，即可求圆O的半径． 【详解】（1）证明：连接，   ∵D是的中点，O为的中点， ∴． 又∵， ∴ ∴ ∴， ∵为圆O的半径， ∴是圆O的切线． （2）解：连接， ∵是圆O的直径， ∴ ∴是直角三角形． ∵，， ∴ ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， 即圆O的半径为 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，熟练掌握证明某线是圆的切线的常用方法：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 6.如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7.如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如答图，连接， ∵为直径， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴． ∵，，， ∴ ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴是的切线． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 解得． 8.如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若点为的中点，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识． （1）连接，则，得到，结合平分可推出，根据平行线的性质并结合，交的延长线于点，即可证明； （2）连接，则，由圆周角定理和角平分线的定义可推出是等边三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，则，   ， 平分， ， ， ，                ， ，交AE的延长线于点， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接，则，    由（1）知， ， ， 点为的中点， ， ，         是等边三角形， ，，            由（1）知是的切线， ， ，       ， ， ． 题型三、切线的证明：无切点，作垂直，证半径 当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆的半径，简称“作垂直，证半径”. 9.如图，是等腰直角三角形，，O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了判定直线是圆的切线的判定、切线的性质定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可证明结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求出的长，勾股定理求出，如图：连接，过点O作于点H，根据等面积法可得，勾股定理求出，最后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D， ∴， ∵是等腰直角三角形，，O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， 如图：连接，过点O作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴. 10.如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)四边形的形状是正方形，证明见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）连接，，过点O作于E，根据，点O为边中点，可得平分，根据角平分线的性质，得到，即证明为的半径，点在圆上，结合，根据切线的判定定理即可得证； （2）由，，可得，，得到四边形是矩形，又，即证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：如图，连接，，过点O作于E． ，，点O为边中点， 平分， 与相切于点D， 为的半径，且， 平分，，， ， 为的半径，点在圆上， 又， 是的切线． （2）四边形的形状是正方形． 证明：，， ， 又， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 11.如图，为正方形对角线上一点，与以为圆心，长为半径的相切于点． (1)求证：与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为． 【分析】此题综合了正方形的性质和圆的切线的性质和判定． （1）根据正方形的性质得到是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明； （2）根据正方形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质得到是圆的半径的倍，从而根据对角线的长列方程求解． 【详解】（1）证明：连接，过作于； 与相切， ， 四边形是正方形， 平分， ， 与相切； （2）解：四边形为正方形， ，，， ，， ， ； 又， ， ． 12.如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四、切线的性质和判定的综合应用 13．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切；； (2)若正方形的边长为，则的半径_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键． （1）如图所示，连接，过点作于点，则，可证，得，结合切线的判定方法即可求证； （2）根据题意可证四边形是正方形，设，则，在中，运用勾股定理可得，则，根据正方形的性质可得，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵与切于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的半径，且点是半径的外端点，， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵正方形的边长为，即 ∴， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 14．如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 15．如图，内接于，是直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接； (1)判断与的位置关系并说明理由． (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)是的切线；理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂径定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，由得到，，进而得到，证明，得到，根据切线的性质得到，从而，得证结论； （2）根据勾股定理求出，由，得到，得到，根据的面积求出，即可解答． 【详解】（1）解：是的切线；理由如下： 连接， ∵， ∴，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 是的切线， ， ， ， 是的切线； （2）解：的半径为，，， ， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 解得：， ． 16．如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可证，且，可得，即是的切线； （2）由同弧所对的圆周角相等，可得，由余角的性质可得； （3）由题意可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 是的切线； （2）证明：是的直径， ， ， 由（1）可知是的切线， ， ， ， ， ， 又， ； （3）解：如图，连接， 是半圆弧的中点， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 题型五、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 17．如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，连接，勾股定理求出的长，等积法求出内切圆的半径长即可． 【详解】解：设内切圆的圆心为，连接， 则：，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；即：内切圆的半径长度为1． 故答案为：1． 18．如图，是的内切圆，，则的大小是 ；的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心及半径，是的内切圆，即O是的内心，求得，然后利用三角形内角和定理求解即可，如图所示，设、、与的切点分别为、、，内切圆半径为，证明，结合，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵是的内切圆，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 如图所示，设、、与的切点分别为、、，内切圆半径为， ∴，    在，，，， ∴， 在四边形中，，， 四边形是正方形， ∴， 由切线长定理，得：，， ∴， ∴． 故答案为： 19．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，过点O作于点M，于点N，于点P，连接，由弦心距和垂径定理得出，，推出小是的内切圆，四边形是正方形，得，，，是等腰直角三角形，则，，设，求出，，然后在，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接， ∵弦， ∴，， ∴小是的内切圆，四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴设， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 20．如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和． （1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）解：连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得：； （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 题型六、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 21．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 22．如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    一、单选题 1．已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 2．如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 3．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（    ） A． B． C． D．与的交点是中点 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：A、， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； B、， ， ， ， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； C、， 是直角三角形，， ， 点B在上， 是的半径， 是切线； D、与的交点是中点， 不能证出， 因此不能判定是切线； 故选：D． 4．如图，是的直径，是的切线，为切点，，垂足为，连接．若，且，则的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的直径所对圆周角是直角，切线的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 是的直径，是的切线，为切点，，连接，，得，，可知，，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 根据题意得，， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 二、填空题 6．如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵、为的切线，， ∴； ∵、为的切线， ∴； ∵， ∴． 故答案为：2． 7．如图，⊙是的内切圆，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 8．如图，、分别切于A、B，并与的切线分别相交于C、D，已知，则的周长等于 ． 【答案】/24厘米 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟记切线长定理是解决问题的关键．设切线与切于点，如图所示，由切线长定理可得，数形结合，表示出三角形的周长，代值求解即可得到答案． 【详解】解：设切线与切于点，如图所示： ∴由切线长定理可得， ， ， 故答案为：． 9．如图，正方形的边长为，若经过，两点的与直线相切，则的半径为 ． 【答案】 【分析】设与直线相切于点，连接并且延长交于点，连接、，由正方形的性质和切线的性质，可得四边形是矩形，由矩形的性质和同圆半径相等，可得与之间的关系，由垂径定理可得，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：设与直线相切于点，连接并且延长交于点，连接、， 四边形是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、切线的性质、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 10．如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，  点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8099 ， 故答案为：，． 三、解答题 11．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的内心是角平分线的交点，可得结论； （2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可． 【详解】（1）解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ， ， ， 在中，； （2）解：是的内切圆， ，，， 设，，， 又，，， ， 解得， ． 12．如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形．熟练掌握证明切线的方法并使用面积相等法是解决本题的关键． （1）根据平行线的判定可得，再根据垂直即可证明； （2）先根据边长结合勾股定理可求解的长度，再由面积相等法即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的半径， ∴是半圆O的切线． （2）解：∵，， ∴，， ∵在中，，. ∴， ， 即， 解得． 13．如图，是的直径，，分别切于点、，分别交，于点、，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径是6． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径． （1）过点作于点，先根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质可得，由是的半径，且，即可作出判断； （2）过点D作于点F，先根据切线的性质得到从而可证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得从而可得的长，再根据切线的性质求得的长，在中，根据勾股定理即可求得的长，进而即可得解． 【详解】（1）解：证明：过点作于点， 切于点A， ， 又平分， ， 为的半径， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：过点D作于点F， ，分别切于点A，B， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，，分别切于点A，B，E， ， ， 在中， ， ， ， 即的半径是6． 14．如图，在中，，过中点作与相切于点，交于点E，F，交于点M，N． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，．由圆切线的定义得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出．再由等腰三角形三线合一即可得出答案． （2）过点作于点，连接．设的半径为，则．先由勾股定理定理得出，再由垂径定理得出，再根据矩形的判定和性质得出，再根据勾股定理得出， 再利用垂径定理求值即可． 【详解】（1）解：连接，． 与相切， ． 在中，， ． ． （2）解：过点作于点，连接． 设的半径为，则． ， ． 在中， ， ． ． 解得：． 为的弦， ． ， 四边形为矩形． ． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了圆切线的定义，垂径定理，三线合一，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 15．如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义，即可求解； （2）由等腰三角形的判定与性质，以及三角形外角性质得，由同弧所对的圆周角相等得，结合平行线的性质得，即可得证； （3）由正弦函数得，， ，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）解：的半径为5， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆的基本性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，一般角的正弦函数等；掌握切线的判定方法，能熟练利用，勾股定理，一般角的正弦函数进行求解是解题的关键． 16．如图，已知是的直径，弦，垂足为，连接，以为邻边作，连接与交于点，，． (1)求证：是的切线； (2)求的半径； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而由可得，即可求证； （）连接，设，则，在中利用勾股定理解答即可求解； （）过点作交的延长线于点，证明，可得，，即得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：连接，设，则， ∵， ∴，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为； （3）解：过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，切线的判定，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 17．如图，是的直径，是的两条弦，且与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求弦的长； (3)在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键； （1）可证，则由定理可证明结论； （2）连接，根据垂径定理可得，根据全等三角形的性质可得，从而证明是等边三角形，由直角三角形的性质即可求解； （3）根据是等边三角形，可得，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：是的直径， ． ， ； （2）解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 18．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先根据坐标可得：的半径为1，如图1，过点O作于M，根据勾股定理和面积法可得，即可得结论； （2）如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F，证明，得，，可得，并结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵点， ∴，即的半径为1， 如图1，过点O作于M， 当时，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切； （2）解：如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点D，E在直线上， ∴， 把①代入②得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$