2025-2026学年人教版数学八年级上册全套提优小卷汇总

提优小卷 (1)与三角形有关的线段和角 一、选择题 1.新情境 生活应用(★☆)小强利用所学知识，制作了如图所示的三脚架来固定相框的位置，这样做的数学原理是 ( ) A.三角形的内角和为180° B.两点之间，线段最短 C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短 2.(2023河北中考,5,☆)四边形ABCD各边的长如图所示，当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.(2025山西吕梁联考,4,★☆)如图,为估计池塘两端A，B的距离，小方在池塘一侧的平地上选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,则A、B两端的距离不可能是 ( ) A.25米 B.15米 C.10米 D.6米 4.(★☆)已知△ABC 的三个内角的度数之比为3：4：5，则此三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 5.如图,BD 是△ABC 的中线,G 是 BD上一点,且BG=2GD,连接AG,若△ABC 的面积为6，则图中阴影部分的面积是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 6.新情境 生活应用(2025河南许昌期末改编，4，)一路灯的平面示意图如图，已知∠MAC=50°,∠ACB=20°,则∠CBA 的度数为 . 7.(2024浙江绍兴联考,16,)若实数m,n满足等式 且m，n恰好是等腰三角形ABC 的两条边的长，则△ABC 的周长是 . 8.(★★☆)如图,已知△ABC 的周长为24 cm,AB= 6 cm,BC 边上的中线 AD = 5 cm,△ABD 的周长为 16 cm,则 AC 的长为 cm. 9.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,则AB 边上的高为 . 10.(2024广东茂名电白期末，16，)我们给出定义：若三角形中一个内角α的度数是另一个内角度数的三分之一，则我们称这个三角形是“分角三角形”，其中α称为“分角”.已知一个“分角三角形”中有一个内角的度数为60°，那么这个“分角三角形”中“分角”α的度数是 . 三、解答题 11.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C 在小正方形的顶点上. (1)画出△ABC的边 BC上的高AD. (2)画出△ABC的边AC上的中线 BE. (3)求△ABE的面积. 12.如图,△ABC,△CDE 均为直角三角形,且∠B=45°,∠D=30°,CF 平分∠DCE. (1)求证:CF∥AB. (2)求∠DFC的度数. 13.如图,A,B 分别是∠MON 的两边OM,ON 上的动点(点 A,B 都不与点 O重合). (1)如图①,当∠MON=58°时,△AOB 的外角∠NBA,∠MAB 的平分线交于点C,求∠ACB的度数. (2)如图②,当∠MON=n°时,∠OAB,∠OBA 的平分线交于点 C,求∠ACB的度数(用含n的式子表示). 14.(2025 山东东营期中改编,21,★★☆)如图,在△ABC 中,BE 是角平分线,点 D 在边 AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O. (1)若CD是△ABC的中线,BC=13,AC=12,则△BCD 与△ACD 的周长差为 (2)若∠ABC=64°,CD 是△ABC 的高,求∠BOC 的度数. (3)若∠A=80°,CD 是△ABC 的角平分线,求∠BOC 的度数. 提优小卷 (2) 全等三角形及判定 (SSS、SAS) 一、选择题 1.(2024辽宁抚顺望花期末，5，★☆)下列选项中的图形，和如图所示的图形全等的是 ( ) 2.(★☆)如图,点 B、E、C、F 在同一直线上,BE=CF,AB=DE,若△ABC≌△DEF,则需要添加的条件是 ( ) A. BC=EF B.∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥DF 3.(2025 广东广州荔湾期末,8,★☆)两个全等三角形如图所示，图中的字母表示三角形的边，则∠1的度数是 ( ) A.40° B.64° C.76° D.86° 4.(2024四川绵阳期末,4,★☆)如图,已知△ABE≌△ACD,∠B 和∠C 是对应角,AB 和AC是对应边,BD=1.1 cm,CD=3.3c m,则DE的长度为 ( ) A.2.1 cm B.2.2cm C.2.3c m D.3c m 5.如图,BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=62°,∠BDE=75°,则∠AFD 的度数为( ) A.30° B.32° C.33° D.35° 二、填空题 6.(★☆)若四个全等的正方形面积之和是25，则每个正方形的边长为 . 7.(2024河南驻马店西平期末,11,★☆)如图,已知△ABC≌△DCB,若AC=10,BE=7,则 DE的长为 . 8.(★☆)如图,已知AC平分∠BAD,若添加一个条件后能够运用“SAS”判定△ABC≌△ADC,则这个条件是 . 9.新素养 几何直观 (2025 广东湛江期末,19,)如图,AB=4cm,BC=6cm,∠B=∠C,如果点P 在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向 C 点运动，同时，点Q从C 点出发沿射线 CD运动.若经过ts,△ABP 与△CQP全等，则t的值是 . 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题 10.(2024湖北黄冈期末,18,★☆)如图,△ABC≌△CDE,点 C,A,D在同一条直线上. (1)求证:AB∥CE. (2)当CE=7,AB=12时,求线段AD的长. 11.(★☆)(1)如图①,求x的值. (2)如图②,已知△ABE≌△ACD.若 BE=6,DE=2,求BC的长. 12.(★☆)如图,四边形 ABCD 中,AB=BC=2CD,AB∥CD,∠C=90°,E是BC的中点,AE 与 BD 相交于点 F,连接DE. (1)求证:△ABE≌△BCD. (2)判断线段 AE 与 BD 的数量关系及位置关系，并说明理由. 13.如图,在△ABC中,AB=17,BC=15,点 D 为边 CB 的中点,动点 P 从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA 运动,点 Q 在边AC 上,设点 P 运动的时间为t(t>0)秒. (1)用含t 的式子表示线段AP 的长. (2)当∠B=∠A,点 P 在线段 BA上时,若△BPD和△AQP 全等,求t 的值. 提优小卷 (3)全等三角形的判定(ASA、AAS、HL) 一、选择题 1.(2024 浙江台州玉环期末,4,★☆)如图,在△ABC和△ADC 中,AB=AD,下列条件中添加后不能使△ABC≌△ADC 的是( ) A.∠BAC=∠DAC B.∠BCA=∠DCA C.∠ABC=∠ADC=90° D. BC=DC 2.如图,AC⊥BD 于P，AP=CP，添加下列一个条件，能利用“HL”判定△ABP≌△CDP 的是 ( ) A. AB∥CD B.∠B 与∠C互余 C. BP=DP D. AB=CD 3.(★☆)已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与△ABC 全等的是 ( ) A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.只有丙 4.(2024安徽阜阳临泉期末,10,)如图,△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F，下列结论不正确的是 ( ) A. DE=DF B. BD=CD C. AD=2DE D. AD⊥BC 5.(2024江苏泰州高港期末,6,★★★)如图,在边长一定的等腰直角△ABC 中，点 D 为斜边AC的中点，点E 是边AB上一动点，连接DE，过点D作 DF⊥DE 交BC 边于点 F,在点 E 运动的过程中，关于四边形BEDF，下列说法正确的是 ( ) A.面积不变，周长不变 B.面积不变，周长改变 C.面积改变，周长不变 D.面积改变，周长改变 二、填空题 6.(☆☆)如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC，分别过点B，C作过点A 的直线的垂线BD,CE,若BD=13 cm,CE=8cm,则DE= cm. 7.(2025河北邢台期末,16,★☆)如图,点 P 的坐标为(2，2)，点A 在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动,且 PA=PB. (1)点 P到x轴的距离是 . (2)若点A(8,0),则点 B 的坐标为 . 8.如图,点A,B,C,D在同一条直线上，点E，F分别在直线 AB 的两侧,且 AE = BF,∠A =∠B,∠ACE=∠BDF.已知AB=8,AC=2,则CD= . 三、解答题 9.(2024 江苏徐州 期末, 18, ★☆) 如图, 在Rt△ABC中,∠B=90°,BC⊥CD 于点 C,DE⊥AC 于点 E,AB=CE,求证:△CED≌△ABC. 10.如图,已知 △ABC 中,AB = CB,∠ABC=90°,在平面直角坐标系中,A(0,3),B(1,0),求点 C 的坐标. 11.(2024河南周口鹿邑期末,17,★☆)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于点E,DF⊥AC 于点 F,CF=AE,BC=DA.求证:Rt△ABE≌Rt△CDF. 12.(2025福建福州现代中学期中节选，25，)在平面直角坐标系中,A(0,2),P(3,3),连接PA,PB⊥PA交x轴于点 B. (1)如图①,求点 B 的坐标. (2)如图②,若点 A 运动到点 A₁ 位置,点B运动到点 B₁ 位置,仍保持 PA₁⊥PB₁,求( 的值. 提优小卷 (4) 角平分线的性质与判定 一、选择题 1.新考法 操作实践 (2025 江苏扬州中学文昌教育集团期末，7，★☆)甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC，如图所示，现要在道路AB边上建一个休息点 M，使它到AC和BC 两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置. A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.(2024山东潍坊期末,2,★☆)如图,OF 平分∠AOB,FM⊥OA于点M,且FM=3,N是射线 OB 上的一点，则FN的长度不可能是( ) A.2 B. C.4.5 D.10 3.新考法 操作实践 (2025 海南海口期末,4,☆)小明同学只用两个完全相同的直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一个直尺的一边放在射线 OB 上，另一个直尺的一边放在射线 OA 上，并且与第一个直尺交于点 P,小明说:“射线 OP 就是∠BOA 的平分线.”他这样做的依据是 ( ) A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 C.三角形的三条高交于一点 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 4.(★☆)如图,在△ABC中,若DE⊥AB,DF⊥AC,连接AD,则对于∠1 和∠2 的大小关系，下列说法正确的是 ( ) A.∠1和∠2一定相等 B.∠1和∠2一定不相等 C.当BD=CD时,∠1和∠2相等 D.当DE=DF时,∠1和∠2相等 5.(2024 安徽合肥肥东期末,7,★★☆)如图,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB 于点 E,S△ABC=35,DE=4,AB=10,则AC的长是 ( ) A.7.5 B.8 C.15 D.16 二、填空题 6.新素养 几何直观 (2025 福建厦门期末,12,)把两个同样大小的含30°角的直角三角尺(记作△ABC,△BCD)按如图所示的方式进行摆放，其中点 M 是AB与CD的交点，则可以得到结论：MA 的长度等于点 M到 BC 的距离.请用你学过的数学知识解释这个结论： . 7.( ) 如图,在△ABC中,点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等，∠BOC=130°,则∠A 的度数为 °. 8.如图,∠B=∠C=90°,E 是 BC 的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,则∠EAB= 度. 9.如图，P为△ABC三条角平分线的交点,PH、PN、PM 分别垂直于 BC、AC、AB,垂足分别为 H、N、M.已知△ABC 的周长为15cm,PH = 3 cm,则 △ABC 的面 积为 cm². 10.( )如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC,BA: CA=7:9,AD 与 BE相交于点 O,若△OAE 的面积比△BOD 的面积大 a,则△ABC 的面积是 .(用含a的式子表示) 三、解答题 11.新考向 尺规作图 如图，在直线 MN上求作一点 P,使点 P 到射线 OA,OB 的距离相等.(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程) 12.如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,且∠BAD 与∠C 互补.求证:AD=CD. 学科网（北京）股份有限公司 13.(2025 湖南长沙望城期末,22,★☆)如图,在 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE 于点 E,点 F在AC上,且BD=DF. (1)求证:(CF=EB. (2)试判断AB与AF，EB 之间存在的数量关系，并说明理由. 14.如图,在△ABC 中,点 D 在边 BC 的延长线上，点F 在边 BA 的延长线上，∠ACB=108°,∠ABC 的平分线交AD于点E,过点 E 作 EH ⊥BD,垂足为 H,且 (1)求 的度数. (2)请判断AE 是否平分∠CAF,并说明理由. (3)若AC+CD=10,AB=5,且 求 的面积. 提优小卷 (5) 轴对称与线段的垂直平分线 一、选择题 1.下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是轴对称图形的是 ( ) 2.(★☆)如图,AD 与 BC 交于点O,△ABO 和△CDO关于直线 PQ 对称,点A,B 的对称点分别是点 C，D，连接AC.下列结论不一定正确的是 ( ) A. AD⊥BC B. PQ⊥AC C.△ABO≌△CDO D. AB=CD 3.(2024 山东德州陵城期末,7,★☆)如图,在△ABC中,AC 的垂直平分线 MD 交 BC 于点D,交AC 于点M,且△ABD 的周长为11,AM=2,则△ABC的周长是 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16 4.(2024 安徽淮南期末,7,★☆)如图,在△ABC中,∠C=80°,∠B=30°,分别以点A 和点 B为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交 BC 于点 D,连接AD，则∠CAD的度数为 ( ) A.50° B.45° C.40° D.35° 5.(2024湖北襄阳樊城期末,10,★★☆)如图,OP 平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B，下列结论不一定成立的是 ( ) A. PA=PB B. OA=OB C. PO平分∠APB D. AB 垂直平分OP 二、填空题 6.(2025河北廊坊期末,7,★☆)如图,在10×7 的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，E，F，G，H 是△ABC 内部的四个格点，其中到△ABC 三个顶点 的 距离相等的 点 是 7. (2025广东广州期末,11,★☆)如图,AB的垂直平分线分别交AB,AC 于点D,E.若AC=18,AE:EC=2:1,则BE 的长为 . 8.新素养 几何直观 (2024 浙江杭州上城期末，13，★☆)按如图所示的方法折纸，则∠1+∠2= °. 9.如图，线段AB，BC 的垂直平分线相交于点 O,连接OA,OC.若∠AOC=80°,则∠B 的度数为 . 10.新素养 几何直观 (2025 江苏泰州期末,15,)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=α，当斜边 AB 的垂直平分线分别交线段AB,AC 于点 D,E 时,α的取值范围为 三、解答题 11.(2024 陕西咸阳秦都期中,18,★☆)如图,在△ABC 中,∠B=∠C,点 P,Q,R 分别在AB,BC,AC上,且PB=QC,QB=RC.求证:点 Q 在 PR 的垂直平分线上. 12.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线 MN交BC 于点D,连接AD,以点A 为圆心,AD 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点 E，连接AE. (1)使用直尺和圆规完成作图过程(保留作图痕迹). (2)若BC=6,求△ADE的周长. 13.(2024河北沧州肃宁期中,24,)如图,AC 与BD 相交于点O,且AC垂直平分BD,OE⊥AB 于点 E,OF⊥AD 于点 F. (1)求证:∠ABC=∠ADC. (2)若AB=13,DF=6,求AE的长. 提优小卷 (6)轴对称与等腰三角形 一、选择题 1.(2025河南开封期末,9,★☆)如图,方格图中点A，B在格点上，已知点 C 也在格点上，且△ABC 是等腰三角形，AB 为其中的一条腰，那么这样的点 C一共有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.(2024 安徽马鞍山和县期末,8,★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD 为BC边上的高,下列结论不一定正确的是 ( ) A. AB=AC B. AD=BC C. BD=CD D.∠BAD=∠CAD 3.新趋势 新定义(2024 山东聊城冠县期末，5，)定义：若两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”.若点A(1,2)与点 B 的幸福直线是直线x=-2,则点 B的坐标是 ( ) A.(-5,2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(-1,-2) 4.如图,O 是△ABC 内一点,OA=OB=OC,∠BAC=70°,则∠1的度数为 ( ) A.20° B.30° C.35° D.40° 5.如图,∠ABC=∠ACB,BD,CD,AD分别平分△ABC 的内角∠ABC,外角∠ACF,外角∠EAC.以下结论： ①AD∥BC; ②∠ACB=2∠ADB; ④△ABD 和△ACD都是等腰三角形. 其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(2025 福建福州期中改编,8,★☆)检测房梁是否水平，可以采用下面的方法：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这个三角尺的斜边贴在房梁上(示意图如图)，若线绳经过三角尺的直角顶点，则可以确定房梁是水平的.这样做的依据是 . 7.(2025山西晋中榆次一模,12,★☆)如图,小明设计了一个“蝴蝶”形状的平面图形，该图形为轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中,点A,B,D的坐标依次为(-4,4),(-1,1),(4,4),则点 C 的坐标为 . 8.(2025 福建厦门期末,14,★☆)如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC,∠ABC=40°,固定住长木棍AB,转动短木棍AC，得到等腰三角形ABD(BD>AD)，此时B，C，D三点在同一条直线上，则∠CAD 的度数为 . 9.规定：等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫作等腰三角形的“特色值”，记作m.若一个等腰三角形的“特色值”为2，则该等腰三角形底角的度数为 . 10.(2025湖北武汉期末,16,★☆)如图,在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复地轴对称变换，若原来点A 的坐标是(-2，3)，则第2025次变换后点A 的对应点的坐标为 . 三、解答题 11.(2024陕西安康期末,20,★)如图,在平面直角坐标系中，已知△ABC，且A，B，C三点的坐标分别为(-1,3),(-5,1),(-2,-2). (1)请画出△ABC 关于y轴对称的△A'B'C',点A,B,C 的对应点分别为A',B',C'. (2)请写出点 B',C'的坐标. 12.(2024福建南平期末,20,★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,点 D 是BC的中点,过点 D 作DE⊥AB,垂足为E.求证:∠A=2∠BDE. 13.(2025浙江宁波期末节选,23,★)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形. (1)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,DE垂直平分线段 AC 交 AC 于点 D,交 BC于点 E.求证:AE 是△ABC 的一条特异线. (2)若△ABC 是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角，求出所有可能的∠B 的度数. 提优小卷 (7)等边三角形与最短路径问题 一、选择题 1.(2025河南南阳期末,8,★☆)下列三角形中,不是等边三角形的是 ( ) A.有两个角等于 60°的三角形 B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C.有一个角等于60°的等腰三角形 D.在每个顶点处各取一个外角，这三个外角相等的三角形 2.(2025河南安阳期末,9,★☆)如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF 的度数是 ( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 3.(2024河南周口川汇期末,7, )如图,点 P 在∠MON内,点 P 关于 OM,ON 的对称点分别为E,F,若EF=OP,则∠MON的度数是 ( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 4.(2024 江苏南通崇川期末,7, )如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=30°,CD⊥AC 交AB 于点D,CD=1,则AB 的长是 ( ) A.3 B. C.4 D. 5.(2024 河北保定高阳期末,16,☆☆)如图,在△ABC中,AB=6,AC=9,直线EF 垂直平分线段 BC，P是直线 EF 上的任意一点，则△ABP 的周长的最小值是 ( ) A.9 B.15 C.24 D.27 二、填空题 6.(★☆)如图,△ABC 为等边三角形,以 BC 边所在直线为x轴，以过点B 且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，若点A 的坐标为(3,3 ),则△ABC的面积为 . 7.已知△ABC 是等腰三角形,若∠A=60°,则△ABC有 条对称轴. 8.(2024山东东营期末,16,★☆)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC 的垂直平分线交 AB 于点E,交 BC 于点 D,CE 恰好平分∠ACB,若BE=4,则AE的长为 . 9.(2024山东德州临邑期末,7,★☆)如图,在边长为4 的正三角形ABC 中,E,F,G 分别为AB,AC,BC的中点,点 P 为线段 EF上的一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是 . 10.新素养 几何直观如图，直线a，b交于点O,∠α=60°,点A 是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点 O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB 的度数为 . 三、解答题 11.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠1 和∠2都是△ABC 的外角,且∠1 = ∠2.证明：△ABC是等边三角形. 12.(2025 江苏扬州市梅岭中学教育集团月考，24，7)如图,在△ABC中,BD 是高,D 是AC的中点，点E在 BC 的延长线上，ED 的延长线交AB 于点 F,且EF⊥AB,∠E=30°. (1)求证:△ABC 是等边三角形. (2)请判断线段AD与CE 的数量关系，并说明理由. 13.新考法 探究与运用 )已知在等边三角形ABC 中,点 E 在 AB 上(不与点 A,B重合)，点D 在线段 CB 的延长线上，且ED=EC. 【特殊情况，探索结论】 (1)如图①,当点 E 为AB 的中点时,判断线段AE 与DB的大小关系，请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”). 【一般情况，验证结论】 (2)如图②,当点 E 为 AB 边上任意一点时，请你判断线段AE 与 DB 的大小关系，并说明理由. 【拓展结论，设计新题】 (3)已知△ABC 是等边三角形,点 E 在直线AB 上,点 D 在线段 CB 的延长线上,且ED=EC,若△ABC 的边长为1,AE=2,求 CD的长. 提优小卷 (8) 幂的运算法则 一、选择题 1.(☆☆)在等式a²·(-a)·( )=a¹¹中，括号内的式子可以是 ( ) A. a⁸ B.(-a)⁸ C.-a⁸ D.(-a)⁹ 2.若 则m+n= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.若 则m的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 4.下列计算正确的是 ( ) 5.已知a,b,c均为正整数,且满足2°× ,则a+b+c的值不可能是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题 6.(2024陕西汉中宁强期末,9,★☆)计算: 7.已知a=16⁷,b=8⁹,c=4¹³,则a,b,c的大小关系是 . 8.(2024广东广州期末,14,★☆)已知 2,则aᵐ⁻ ²ⁿ|的值为 . 9.计算: 10.已知3x+4y-2=0,则 11.(2025河北沧州一模,15,★☆)如图,在甲、乙、丙三个袋子中分别装有球 29 个、29 个、5个，先从甲袋中取出2ˣ个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2*+2³)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2’个球放入甲袋，此时三个袋子中球的个数相同，则2*⁺的值为 . 三、解答题 12.计算: 13.(★☆)若 且a≠1,m、n是正整数)，则m=n. 利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果 求x的值. (2)如果 求a 的值. 学科网（北京）股份有限公司 14.(★★)“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用分别可表示为 (ab)"(m,n都是正整数). (1)已知 比较a,b,c的大 小，并用“<”连接 起 来： (2)若 求 的值. (3)计算: 15.(2024福建龙岩永定期末,24,★☆)数学兴趣小组的同学们从书中学到了很多有趣的数学知识，其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣.根据 ，知道a，n可以求出b的值，如果知道a，b可以求出n的值吗?他们为此进行了研究，规定：若 则f(a,b)=n.例如: 则f(3,27)=3. (1)填空:f(2,4)= ,f(4,64)= (2)计算:f(-3,81)-f(5,125). (3)若f(a,-32)=5,f(4,b)=3,求f(a,b). 学科网（北京）股份有限公司 提优小卷(9)整式的乘法 一、选择题 1.计算( 的结果是( ) 2.计算: ( ) B.-2x⁴y⁵ C.2x³y⁶ 3.若( (m,n均为实数)，则 ( ) A. m=1,n=2 B. m=1,n=-2 C. m=5,n=-2 D. m=5,n=2 4.小亮在计算( 时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是 ( ) D.无法计算 5.(2024湖北襄阳老河口期末，6，★☆)三角形的面积是 它的一条高是3a，这条高对应的底边长是 ( ) 6.已知一个长方形，当它的长增加6cm，宽减少2cm时，面积保持不变；当它的长减少3cm，宽增加2cm 时，面积仍保持不变.这个长方形的面积为 ( ) 二、填空题 7.(★☆)计算: 8.如图①，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图②所示的无盖纸盒，若纸盒的容积为4a²b，则图②中纸盒底部长方形的周长为 . 9.若 则式子 的值为 . 10.已知多项式 ax-b与多项式 8的乘积的展开式中不含x的二次项，且常数项为-8，则a+b的值为 . 三、解答题 11.先化简,再求值: 2y)(x-2y)]÷(2x),其中.x=3,y=-5. 12.(2024河南周口鹿邑期末,21,★☆)甲、乙两人计算同一道整式乘法题:(x+a)(2x+b),甲把a前面的符号抄成了“-”，得到的结果是 乙漏抄了2x的系数，得到的结果是 (1)求a,b的值. (2)请计算这道题的正确结果. 13.如图，一个小长方形的长为a+b，宽为a，把6个这样的小长方形放入大长方形内. (1)大长方形的宽m= ,长n= (长和宽都用含a，b的式子表示). (2)求大长方形中阴影部分的面积(用含a，b的式子表示). (3)若b=2a，大长方形的面积为S₁，大长方形中阴影部分的面积为 S₂，求S₂S₁的值. 14.阅读材料: 【材料1】将关于x的式子用符号f(x)来表示，当x=a时，该式子的值就表示为f(a).例如: 当x=-2时，该式子的值为 (-2)+4=20. 【材料2】当一个式子f(x)除以(x-a)时,所得的余数为f(a).例如：当 2时,用f(x)除以(x-3),所得的余数为 根据以上材料回答下列问题： (1)已知 则f(-2)= ,f(x)除以(x-6)所得的余数为 . (2)已知 若f(x)除以(x-1)所得的余数为3,f(x)除以(x+1)所得的余数为7，求 的值. (3)若 1)²,求. 除以 所得的余数. 提优小卷 (10)乘法公式 一、选择题 1.(2024江西赣州期末，3，★☆)下列各式使用乘法公式不正确的是 ( ) A.(-a+b)(-a-b)=a²-b² B.(x+2)(x-2)=x²-4 2.(2024重庆城口期末,8,☆☆)若a+b=5, ab=1,则 的值为 ( ) A.1 B.9 C.16 D.21 3.(2024四川绵阳期末,9,)若 是完全平方式，则k的值为 ( ) A.-5或5 B.-10或10 C.-20或10 D.-20或20 4.(2024河南洛阳新安期末，10，)观察下列式子： 则 ( ) 5.(2024四川广安邻水期末,10,)如图,点 D、C、H、G均在长方形ABJI的边上,点 E、F 在CD上,若正方形 ABCD 的面积等于 15,图中阴影部分的面积为6，则正方形 EFGH的面积等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 6.(★☆) 计算: 2 023²-2 024×2 022 = 7.(2024河南郑州期末,11,★☆)已知 m-n=3, 则 mn的值是 . 8.(★☆)若正方形的边长增加3cm，其面积增加27 cm²,则原正方形的边长是 cm. 9.如图，边长为 m+1的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为1，其邻边长为5，则m= . 10.新趋势 传统文化 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了(a+b)”(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律： 利用上述规律计算： 三、解答题 11.(2023 四川南充中考,17,★☆)先化简,再求值：(a-2)(a+2)-(a+2)²,其中 12.已知 (1)化简A. (2)若( 求A的值. 13.(2024湖北黄石阳新期末,18,★☆)已知x+y=3, xy=2. (1)求((7-x)(7-y)的值. (2)求( 的值. 14.新考法 探究与运用我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如，由图①可以得到 (1)若x-y=4, xy=5,求 的值. (2)若x(3-x)=2,求 的值. (3)将两个全等的特制直角三角尺(Rt△AOB和 Rt△COD)按图②所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C在同一直线上，连接AC，BD.若 求一个直角三角尺的面积. 提优小卷 (11)因式分解 一、选择题 1.(2023山西太原期末,3,★☆)下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是 ( ) 2.运用公式 直接对整式 进行因式分解，则公式中的a可以是 ( ) A.3x B.9x C.3x² D.9x² 3.(2024山东临沂河东期末,9,★☆)若多项式. kx-8有一个因式是(x-2),则k的值为( ) A.-2 B.4 C.2 D.-4 4.(2025吉林长春期末，7，)若 个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”.下列正整数中为“好数”的是 ( ) A.205 B.250 C.502 D.520 二、填空题 5.因式分解: 6.(2024河南周口鹿邑期末,13,★☆)已知a、b是△ABC的两边长，且满足 则△ABC 的形状是 . 7.已知x-y=1, xy=3,则 的值是 8.(★☆)若A=5x-2,B=5x+2,则. 的值为 . 9.(2024福建泉州晋江期末,16,★☆)新定义:对于任意实数x，都有 若f(1)=5,f(2)=12,则将 因式分解的结果为 . 三、解答题 10.因式分解: ( . 11.(2024山东滨州无棣期末,24,★☆)通过学习,我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解.下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程. 甲： (先分成两组) =x(x+y)-2(x+y) =(x+y)(x-2). (先分成两组) =(a+b-1)(a-b+1). 这两位同学分解因式的方法叫作分组分解法，根据上述信息，解决下列问题. (1)分解因式： (2) 分解因式： 12.新趋势 材料阅读 (2025 山西晋中期末,24,)阅读材料：书中提到 和 这样的式子叫作完全平方式.有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解. 举例说明. 例1，分解因式： (x-3). 例2，求式子 的最小值. ∴当x=1时，式子 有最小值-4. 结合以上材料解决下面的问题. (1)若二次三项式 恰好是完全平方式，则k的值是 . (2)分解因式： (3)当x为何值时，式子 有最小值?最小值是多少? 13.新趋势 材料阅读(★★)阅读下面的材料.把等式 的左右两边交换，得到 a)(x+b)，也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如 2=(x+1)(x+2),所以在解方程 2=0时,可以把方程变形为(x+1)(x+2)=0,所以x+1=0或x+2=0,解得 根据以上材料解决下列问题. (1)分解因式： (2)解方程: (3)若 求x与y的关系式. 提优小卷 (12) 分式的有关概念及基本性质 一、选择题 1.(2024 湖北黄石阳新期末,2,★☆) 中，分式有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.(2025广东广州期末,2,★☆)若使分式 有意义，则x的取值范围是 ( ) A. x≠2 B. x≠-2 C. x≠0 D. x=2 3.要使分式 的值为0，只需( ) A. x=±3 B. x=3 C. x=-3 D.以上答案都不对 4.(2025山东淄博期末,6,★☆)在分式 中，如果a，b都扩大为原来的2倍，那么分式的值将 ( ) A.扩大为原来的2倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的 5.下列各式中，正确的是 ( ) 二、填空题 6.(2024山西长治期末,12,★☆)分式 的最简公分母为 . 7.(★☆)化简: 8.(2024山东济南钢城期末,12,★ )已知 则分式 的值为 . 9.(2024上海浦东新区期末,14,★ )如果分式 的值为正整数，那么所有满足条件的整数x的值的和为 . 10.若 则 三、解答题 11.已知分式 解决下列问题. (1)若该分式无意义，求x的值. (2)若该分式的值是0，求x的值. 12.若a,b,c,d均不为0,且式子 成立，则称a，b，c，d成比例.如式子 成立，则2，4，5，10这四个数成比例. (1)若 则 (2)当a,b,c,d成比例,即 成立时， 成立吗?并说明理由. 13.新趋势 材料阅读 (2025 江苏宿迁期末,25,)阅读下面的解题过程. 已知 求 的值. 解：由 可知,x≠0, 所以 即 所以 故 的值为 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知 求 的值. 14.新趋势 新定义如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”. (1)下列分式： 其中是“和谐分式”的是 (填序号). (2)已知a为正整数，且 为“和谐分式”，求a的值. (3)从下面三个整式 m-n中，任意选择2个整式分别作为分子、分母构造一个分式，要求构造的分式是“和谐分式”，请直接写出所有满足要求的分式. 学科网（北京）股份有限公司 提优小卷 (13)分式的运算与整数指数幂 一、选择题 1.(★☆) 的值是 ( ) B.3 C.-3 D. 2.若a,b互为倒数,则 的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 3.若a+b=6, ab=4,则 的值是( ) A.6 B.7 C.4 D. 4.(2025山东东营期末,7,★☆)已知 则 ( ) A. M+N=1 B. M-N=1 C. M·N=1 二、填空题 5.(2023 江苏泰州中考改编，8，★☆)难溶电解质的沉淀溶解平衡存在平衡常数，称为溶度积常数，简称溶度积.25℃下 CaCO₃的溶度积为0.000 000 003 4,数据0.000 000 003 4 可以用科学记数法表示为 . 6.计算: 7.(2024 四川成都青羊期末,11,★☆) 化简: 8.(2024湖南株洲攸县期末,17,★☆)若 则分式 9.(★☆)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，“丰收1号”小麦试验田的小麦收获了300kg，“丰收2号”小麦试验田的小麦收获了200 kg，则“丰收1号”小麦的单位面积产量是“丰收2号”小麦的单位面积产量的 倍. 10.对于两个正数p和q，已知 H和p，q 之间满足 当A=3,G=2时,H的值为 . 三、解答题 11.计算 12.(★☆)先化简,再求值: 其中a=1. 13.(2024山东淄博淄川期末,25,★☆)某人沿一条河流顺流游了l m，然后又沿原路逆流游回出发点.已知此人在静水中的游速为x m/h,水流速度为 n m/h.设此人来回一趟所用时间为t h. (1)用含x,n,l的式子表示t. (2)用含t,x,n的式子表示l. 14.(2024江西宜春高安期末,22,★★☆)定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”.如 则 是“美好分式”. (1)下列分式中，属于“美好分式”的是 (填序号). (2)将“美好分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式. (3)判断 的化简结果是不是“美好分式”，并说明理由. 提优小卷(14) 分式方程及其应用 一、选择题 1.若 与 互为相反数，则x的值为( ) A.1 B.-1 C.-2 D.-3 2.(2024山东烟台期中,4,★☆)关于x的分式方程 去分母后，得到的是 ( ) A. x-3=k B. x-3=-k C. x-3(x-1)=k D. x-3(x-1)=-k 3.若关于x的分式方程 的解为x=6,则m的值是 ( ) A.0 B.3 C.3/2 D.1 4.(2025湖北荆门期末,16,★★)已知关于x的分式方程 对于该方程的解，甲、乙两人的说法如下. 甲：“若方程的解是负数，则m<5.” 乙：“当m>5时，方程的解是正数.” 关于甲、乙两人的说法，正确的是 A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 5.易错题( )若关于x的分式方程 无解，则a的值是 ( ) A.3或2 B.1 C.1或3 D.1或2 二、填空题 6.分式方程 的解为 . 7.(★☆)若x=5是关于x 的分式方程 的解，则a的值为 . 8.(2024广东珠海香洲期末,14,★☆)如果1一x比1/2x大1,那么x= . 9.(★☆)步行已成为人们喜爱的健身方式之一.已知小琼走11 500步与小刚走9 000步消耗的热量相同.当两人均消耗1 千卡热量时，小琼走的步数比小刚多15，设小刚每消耗1千卡热量需要走 x步，则根据题意可列方程为 . 10.(2024重庆城口期末,17,★★★)若三角形的三边长分别为3，4，|a|，且关于x的分式方程 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 . 三、解答题 11.(★☆)解分式方程: 12.(2025 安徽亳州期末,21,★☆)为创建花园式学校，改善学校的学习环境，在学校团委的倡议下，八(1)班的同学们计划购买绿萝和吊兰这两种花卉来美化教室.已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300 元购买吊兰的盆数相同.求绿萝和吊兰的单价各是多少元. 13.(2024江西赣州南康期末,20,☆☆)已知关于x的方程 (1)若m=4,求方程的解. (2)若该方程无解，试求m的值. 14.(2024河北邯郸武安期末,25,★☆)【探索】 (1)如果 那么n= . (2)如果 那么n= . 【总结】 (3)如果 其中a，b，c均为常数),那么n= . 【应用】 (3) 若 的值为整数，求满足条件的整数x的值. 专题小卷 (1) 三角形三边关系的六种常见类型 类型一 判断三条线段能否组成三角形 1.(2023 湖南长沙中考,4,★ )下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ( ) A.1,3,4 B.2,2,9 C.4,4,4 D.3,3,6 2.(★☆)小颖用四根长度分别为2cm,3cm,4 cm，5cm 的小棒摆三角形，那么她所摆成的三角形的周长不可能是 ( ) A.9 cm B.10cm C.1 1 cm D.12 cm 3.(2024河北石家庄长安一模，4，★ )若使用如图所示的a，b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是 ( ) A. a,b都可以 B. a,b都不可以 C.只有a可以 D.只有b可以 类型二 求三角形的边长或边长的取值范围 4.(2024吉林四平双辽期末，1，★ )若一个三角形的三边长分别为2、6、a，则a的值可以是( ) A.3 B.4 C.7 D.8 5.(2025湖北恩施州期末,6,★ )如图,△ABC 被木板遮住了一部分，其中AB=7，则AC+BC的值不可能是 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7 6.( ) 平面内,将长分别为1,1,3,x的线段首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是 ( ) A.1 B.3 C.5 D.7 7.(2023江苏徐州中考，9，★☆)若一个三角形的三边长均为整数，且其中两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 (写出一个即可). 类型三 求等腰三角形的边长或周长 8.(2024河南新乡期末，3，★☆)已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 9.(2024 湖南常德澧县期末,4,★ )若等腰三角形中有两边的长分别为5 和8，则这个三角形的周长为 ( ) A.18 B.21 C.16或21 D.18或21 类型四 化简含绝对值的式子 10.已知三角形的三边长分别为2，a-1,4,则化简|a-3|-|a-7|的结果为 11.易错题已知△ABC 的三边长分别为a、b、c,化简|b-a-c|-|a+b-c|的结果是 . 类型五 判断三角形形状 12.(★☆)已知a、b、c 为△ABC 的三边长,b、c满足 且x=a为方程|x-4|=2 的解,求△ABC 的周长,并判断△ABC的形状. 类型六 说明线段的不等关系 13.(★☆)如图,已知O是△ABC 内的一点,试证明:AB+AC>OB+OC. 14.某题如下: 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得AB+AD> ,PD+CD> .将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD> ,即AB+ (1)补全上面的步骤. (2)仿照以上的方法，请你利用图②，过P作直线分别交 AB,AC 于 M,N,证明:AB+AC>PB+PC. 专题小卷 (2) 与三角形角平分线相关的求角度模型 类型一 两内角平分线 1.(2024 山东临沂河东期末,6,★☆)如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,∠BFC=130°,则∠A 的度数为 ( ) A.80° B.70° C.60° D.45° 2.如图,已知点 O 是△ABC 内一点,AO、CO 分别平分∠BAC、∠BCA,若∠B=64°,则∠O= ( ) A.116° B.122° C.136° D.152° 3.(★☆)如图,在△ABC 中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD 与 CE 交于点 P,其中∠A=50°,则∠BPE 的度数为 ( ) A.50° B.55° C.60° D.65° 类型二 一内角平分线、一外角平分线 4.(★☆)如图,BE平分∠ABC,CE平分△ABC的外角∠ACD,如果∠ABC=40°,∠ACD=100°,则∠A+∠E= ( ) A.40° B.90° C.100° D.140° 5.(2025江苏徐州期末,8,)如图,已知△ABC的内角∠A=α，分别作内角∠ABC 与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A₁；分别作∠A₁BC 和∠A₁CD 的平分线,两条平分线交于点A₂;……以此类推,则∠A₂₀₂₅的度数是 ( ) B.2²024α 类型三 两外角平分线 6.如图,BO、CO 分别是△ABC 两个外角∠CBD 和∠BCE 的平分线,则∠BOC 与∠A 的关系是 . 类型四 角平分线求角综合问题 7.(2024黑龙江牡丹江宁安期末,7,★☆)如图,在△ABC中,BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB,且∠BIC = 140°,BM,CM 分别平分△ABC的外角∠DBC,∠ECB,则∠BMC 的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 8.(2024 重庆綦江期末,9,★☆)如图,在△ABC中,BO,CO 分别平分∠ABC,∠ACB,且交于点 O,CE平分△ABC 的外角∠ACD,BO的延长线交 CE 于点 E，则以下结论：①∠E ②∠BOC=3∠E;③∠BOC=90°+∠A;④∠BOC=90°+∠E.其中正确的是( ) A.①②③ B.①③④ C.①④ D.①②④ 9.新素养 模型观念 )综合与探究：小新在学习过程中，对课本中的一道习题进行了一定的变式，让我们一起来看一下吧！在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P. (1)如图①,如果∠A =80°,求∠BPC 的度数. (2)如图②,若∠A =60°,△ABC 的外角∠MBC,∠NCB 的平分线交于点 Q,求∠Q 的度数. (3)如图③，在(2)的条件下，延长线段BP,QC交于点 E,在△BQE中,是否存在一个内角等于另一个内角的2倍?若存在，请直接写出∠A 的度数；若不存在，请说明理由. 专题小卷 (3) 求不规则多边形中的角度和 类型一 运用“A字形”结论求角度和 1.(★☆)如图,EF 与△ABC 的边 BC,AC 分别相交于点E,F,则∠1+∠2与∠3+∠4的大小关系为 ( ) A.∠1+∠2>∠3+∠4 B.∠1+∠2<∠3+∠4 C.∠1+∠2=∠3+∠4 D.大小关系取决于∠C 的度数 2.(2025河北邢台期中,9,★)如图,∠A=40°,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为( ) A.540° B.500° C.460° D.420° 类型二 运用“飞镖形”结论求角度和 3.如图,∠1+∠2+∠3+∠4的度数为( ) A.100° B.180° C.360° D.无法确定 4.如图,若∠ADC=117°,则∠A+∠B+∠C 的度数为 . 5.新考法 探究与运用【探究】 如图①,求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C. 【应用】 (1)如图②，我们设计了一把帆布折椅，它的侧面示意图如图所示，∠A=28°，∠D= 12°,∠ABC = 64°, ∠BCD = 46°,求∠AED 的度数. (2)如图③,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求∠A+∠C+∠D+∠F的度数. 类型三 运用“8字形”结论求角度和 6.(★☆)如图,AB 和 CD 相交于点 O,则下列结论不正确的是 ( ) A.∠1=∠2 B.∠1=∠A+∠C C.∠2>∠D D.∠A+∠D=∠B+∠C 7.(2025 河南郑州期末,15,★★☆)如图,在四边形ABOC 中,∠BAC 与∠BOC 的平分线相交于点 P,若∠B = 16°,∠C = 42°,则∠P= °. 8.解答下列问题. (1)如图①,线段AB 与 CD 相交于点 Q,连接AD,BC.证明:∠A+∠D=∠B+∠C. (2)在(1)的条件下,作AP 平分∠DAB,交DC 于点M,交∠BCD的平分线于点 P,PC交AB 于点 N,如图②.若∠B+∠D=80°,求∠P 的大小. (3)如图③，在平面直角坐标系中，GH∥x轴,点 J 为线段 OG(不与O、G重合)上一动点，过点 J 作 GO的垂线交x轴于点 E,交直线 GH 于点 F,∠EOJ 的平分线与∠GFJ的平分线相交于点 L，当点J运动时,∠OLF= . 学科网（北京）股份有限公司 专题小卷(4)全等三角形中常见的解题模型 学科网（北京）股份有限公司 类型- 一线三等角模型 1.(2024 浙江湖州长兴期末,9,★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=12,点E在边AC上,若∠DAE=∠DEA,∠ADE=∠B,CD=3BD,则CE 等于 ( ) A.3 B.4 C. D.6 2.(2024北京西城期末,7,★★)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,0),B(3,b)(b>0),AC⊥AB且AC=AB,则点 C 的横坐标为 ( ) A.-b-1 B.1-b C. b-2 D.2-b 3.(2025 四川泸州期末,25,)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=50°,点 D 在线段 BC(点 D 不与B、C重合)上运动,连接AD,作∠ADE=50°,DE 交线段AC 于点 E. (1)若DC=2,求证:△ABD≌△DCE. (2)在点 D 的运动过程中,△ADE 的形状 可以是等腰三角形吗?若可以，请求出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由. 类型二 对角互补模型 几何画板 4.(2024 河南驻马店上蔡期末,10,★☆)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC,O 是 AB的中点,点 D 在 AC 上,点 E 在 BC 上,且∠DOE=90°.则下列结论:①OA=OB=OC;②CD=BE;③△ODE 是等腰直角三角形;④四边形 CDOE 的面积等于△ABC 的面积的一半.其中正确的是 ( ) A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 类型三 手拉手模型 5.已知:如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC= ∠DAE = 90°,AB =AC,AD = AE.C，D，E 三点在同一条直线上，连接 CD，BD,BE.以下四个结论: ①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°. 其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2024湖北武汉汉阳期末,18,★ )如图,分别以△ABC的边AB，AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE,连接CD,BE.求证:CD=BE. 类型四 半角模型 7.( )【问题发现】如图①,在正方形ABCD(四边相等，四个内角均为90°)中，E、F分别在边 BC、CD 上,且∠EAF=45°,连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类.在解决“半角模型”问题时的大致思路：巧妙地通过作辅助线构造△AGB，使得△AGB≌△AFD，进而求出∠GAE 的度数，最后证明△AGE≌△AFE,即可得出结论.请补充辅助线的作法，并写出完整的证明过程. (1)延长CB 到点 G,使 BG= ,连接AG. (2)求证:EF=BE+DF. 【问题应用】如图②,在四边形ABCD 中,AB=AD = 4 cm,∠B = ∠D = 90°, ∠BAD =120°,以A 为顶点的∠EAF=60°,AE、AF 分别交BC、CD 于点 E、F,且 EF=5cm ,则五边形ABEFD的周长= . 专题小卷(5) 角平分线模型 类型一 角平分线垂两边模型 1.如图,AD 平分∠BAC交BC 于点 D,DE⊥AB 于 E,S△ABC=15,DE=3,AC=4,则AB的长是 ( ) A.1 B.3 C.5 D.6 2.在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=6,CD 是△ABC 的角平分线,则 S△ACD : 3.(2024山东菏泽巨野期末,19,★☆)如图所示,已知PA=PB,∠1+∠2=180°,求证:OP 平分∠AOB. 4.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,∠D=90°,AE、BE 分别平分∠DAB、∠CBA. (1)求证:AE⊥BE. (2)求证:DE=CE. (3)若AE=7,BE=12,求四边形ABCD 的面积. 类型二 角平分线+垂线——-延长法 5.(2024 广东广州荔湾期末,10,★★★)如图,在△AOB中,OA=OB,∠AOB=90°,BD 平分∠ABO 交AO 于点 D,AE⊥BD 交 BD 的延长线于点E.则下列结论:①∠EAD=22.5°;②BD=2AE;③若 AE=6,则.S△ABD = 16;④AB=OB+OD; 其中正确的结论有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 学科网（北京）股份有限公司 类型三 截长补短构 SAS 型全等 6.(2024 山东聊城阳谷期末,26,★☆)如图,在△ABC 中,∠A =100°,∠ABC=40°,BD 是△ABC的角平分线,延长 BD 至E,使 DE=DA.求证:BC=AB+CE. 7.(2025 广东广州期末,20,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE 相交于点 P. (1)求∠CPD 的度数. (2)若AE=3,CD=5,求线段AC 的长. 8.如图所示,已知B(-2,0),C(2,0),点A 为y轴正半轴上的一点，点D 为第二象限内一动点，点E 在 BD 的延长线上，CD交AB于点 F,且∠BDC=∠BAC. (1)求证:∠ABD=∠ACD. (2)求证:DA平分∠CDE. (3)若在 D 点运动的过程中，始终有 CD=AD+BD,在此过程中,∠BAC 的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数. 专题小卷 (6) 与等腰三角形有关的辅助线 类型一 利用“三线合一”作辅助线 1.如图,D 为△ABC 内一点,CD 平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若 AC=8,BC=4,则BD的长为 ( ) A.1 B. C.2 D. 2.(★☆)如图,在△ABC中,CA=CB,D 是 AB的中点,∠CED=∠CFD=90°,CE=CF.求证:∠ADF=∠BDE. 3.(2025河南新乡期末,23,★☆)如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于点 D,E 是AD上一点,且EA=EC.求证:EB⊥AB. 类型二 截长补短法 4.(2024广东惠州惠东期中,23,★) 阅读材料. 小明遇到这样一个问题： 如图①,在 △ABC 中, AD 平分∠BAC,∠ABC=2∠C.求证:AC=AB+BD. 小明思考后发现，可以通过“截长”和“补短”两种不同的方法解决问题. 方法一：如图②，在AC上截取AE，使得AE=AB,连接DE,可以证得△ABD≌△AED,并得到等腰三角形EDC，进而解决问题. 方法二:如图③,延长AB 到点 E,使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形 EDB，并可以证得△AED≌△ACD,进而解决问题. (1)根据上述材料，任选一种方法证明AC=AB+BD. (2)如图④,在△BCD中,E是BC上一点,EA=ED,∠DCB=2∠B,DE⊥BC,垂足为 E,探究 DC,CE,BE 之间的数量关系，并证明. 类型三 平行线法 5.如图,在△ABC中,CA=CB,D 在AC的延长线上,E在 BC上,且CD=CE.求证:DE⊥AB. 6.( )如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠A=45°,BD⊥AC,点 P 为边 AB 上一点(不与点A、点B重合),PM⊥BC,垂足为M,且 PM 与 BD 交于点 N.请猜想 PN 与BM之间的数量关系，并证明. 类型四 补形法 7.(2024天津宁河期末,11,★☆ )如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC 内部的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若 BE=5,ED=2,则BC的长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8.如图,已知△ABC,过点 C 作∠BAC的平分线AD的垂线,垂足为 D,作 DE∥AB交AC 于点 E.求证:AE=CE. 类型五 倍长中线法 9. 一题多解 如图,在△ABC 中,AD 为底边 BC上的中线,E为AB 上一点,AD,CE交于点 F,且AE=EF.求证:AB=CF. 专题小卷 (7)与等腰三角形有关的多解问题 类型一 腰或底不明时的多解 1.解决下列问题. (1)若等腰三角形的周长为10，底边长为4，求它的腰长. (2)若等腰三角形的周长为10，腰长为4，求它的底边长. (3)若等腰三角形的周长为12，一边长为5，求它另外两边的长. 2.(2024甘肃武威期末改编,16,☆k )一等腰三角形的底边长为15 cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，求这个三角形的周长. 3.(2024河南新乡期末改编，15，★)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC 的垂直平分线 DE交AC于点 D,交直线AB 于点 E,连接CE,如果∠AEC=80°,求∠B 的度数. 4. (2024 河北廊坊安次期末改编,16, ★ ☆ )已知△ABC 是等腰三角形,BC 边上的高AD 恰好等于 BC长的一半，求∠BAC 的度数. 类型二 角不明时的多解 5.(2024重庆沙坪坝期中，7，★☆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数是 ( ) A.20°或120° B.30°或120° C.20°或100° D.30°或100° 6.定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值k被称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰△ABC 中,∠A=75°,则它的“特征值”k= . 类型三 三角形形状不明时的多解 7.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，求这个等腰三角形顶角的度数. 类型四 已知一边求三角形个数的问题 8.在平面直角坐标系中,已知A(4,1),O(0,0).在坐标轴上确定一点 P,使得△AOP为等腰三角形，则满足条件的点 P有 A.4个 B.6个 C.8个 D.7个 8. 在平面直角坐标系中，已知A(-1，0),B(1,1),若在坐标轴上取点 C,使△ABC 为等腰三角形，求满足条件的点 C的个数. 专题小卷(8) 最短路径问题常见题型 类型一 一动两定型 1.(★☆)如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点 P 处建一个服务中心，使PA+PB的值最小.下面四种选址方案符合要求的是 ( ) 2.(2024 山东滨州邹平期末,11,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,且△ABC的面积是24,AC 的垂直平分线 EF 分别交AC,AB于点 E,F,若点 D为BC边的中点,点 M 为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 3.(2025 河北邢台南宫期中,9,★★☆)如图,在等边三角形ABC 中,AD 平分∠BAC,在AB,CB上分别取点 M,N,使AM=BN=4,DN=2,在AD 上有一动点 P,则 PM+PN 的最小值为 ( ) A.7 B.8 C.10 D.12 4.(2024江苏泰州靖江期末,20,★☆)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1.已知△ABC的三个顶点均在格点上，且A、B两点的坐标分别为(-5,-1)、(-3,-4). (1)在网格中画出平面直角坐标系，并直接写出点C 的坐标. (2)已知点 P 在x轴上,且 PA=PC,则点 P的坐标为 . (3)若点 Q 在x轴上,且使得 QA+QC 的值最小，求点 Q 的坐标. 类型二 一定两动型 5.(2025四川德阳中江期末,9,☆☆)如图,在锐角三角形 ABC 中,AB=6,△ABC 的面积为18,BD平分∠ABC,若E、F 分别是 BD、BC上的动点，则CE+EF 的最小值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.(2024湖北黄石阳新期末改编,9,★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10.如果点 D,E 分别为 BC,AB 上的动点，那么AD+DE的最小值是 ( ) A.8.4 B.9.6 C.10 D.10.8 7.(2024 湖北仙桃期末,9,★☆)如图,∠MON=45°,P 为∠MON 内一点,A 为 OM 上一动点,B 为 ON 上一动点,当△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的度数为 ( ) A.45° B.90° C.100° D.135° 8.已知点 P 在∠MON 内部,如图①,点P 关于射线OM 的对称点是点 G，点P 关于射线 ON 的对称点是点 H,连接 OG、OH、OP. (1)若∠MON=50°,求∠GOH 的度数. (2)如图②,OP=6,当△PAB 的周长的最小值为6时，求∠MON的度数. 专题小卷 (9) 乘法公式的灵活应用 类型一 乘法公式的简单变形 1.已知 a+b =2, ab =1,则 2.已知 则 的值为 3.(2024山东济宁嘉祥期末,12,☆☆ )已知 1=0,则 类型二 应用乘法公式求值 4.若 则 的值为( ) A.1 B. C. D.9 5.(2025四川泸州联考,11,★ )已知m+n=2,则 的值是 ( ) A.2 B.6 C.4 D.8 6.先化简，再求值： 2b)+b(2a-b),其中 类型三 巧用乘法公式简便运算 7.(2024福建漳州期末,9,)若 则k的值是 ( ) A.100 B.198 C.200 D.205 8.计算: (3)99×101×10001. 类型四 整体应用公式 9.(2024广东东莞期末,9,★)已知2m-n=3, 则 mn的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 类型五 连续运用公式 9. 计算:[(x+3)(x-3)]². 类型六 逆向运用公式 11.(2024湖北武汉洪山期末,7,☆☆)△ABC 的三边长a,b,c满足 则△ABC是 ( ) A.等边三角形 B.腰长和底边长不相等的等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 类型七 灵活应用乘法公式解决规律探究性问题 12.仔细观察，探索规律. = (其中 n为正整数,且n≥2); ②(2-1)×(2+1)= ; (2)根据上述规律求 +2+1的个位上的数字. (3)根据上述规律，计算 类型八 乘法公式与图形面积结合 13.如图,S₁,S₂分别表示边长为x,y的正方形的面积，且A，B，C三点在同一条直线上，若 则图中阴影部分的面积为 ( ) A.16 B.12 C.8 D.4 14.两个边长分别为a 和b 的正方形按如图①所示的方式放置，其未重叠部分(阴影部分)的面积为 S₁.再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形(如图②)，两个小正方形重叠部分(阴影部分)的面积为S₂. (1)用含a,b的式子分别表示S₁,S₂. (2)若a-b=8, ab=13,求 的值. (3)如图③，阴影部分的面积为 S₃，用含a，b的式子表示S₃，并求出当 36时S₃的值. 专题小卷(10) 因式分解的特殊方法 类型一 十字相乘法 1.分解因式:2x²-10x+12= . 2.(2024北京东城期末，26，)利用多项式的乘法法则推导得出：((ax+b)(cx+d)= acx²+(ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx²+(ad+ bc)x+ bd=(ax+b)(cx+d).通过观察可把 看作以x为未知数，a，b，c，d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数ac与常数项 bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图①，这种分解的方法叫作十字相乘法.例如，将二次三项式 的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图②，则2x²+11x+12=(x+4)(2x+3). 根据上述材料，解决下列问题. (1)用十字相乘法分解因式： (2)用十字相乘法分解因式：( (3)结合本题知识，分解因式： 7(x+y)-6. 类型二 分组分解法 3.把 分解因式，正确的分组为 ( ) 4.分解因式:am+ an-bm-bn= . 5.阅读下列材料：把 分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前、后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为 2n=(m²-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2).此种因式分解的方法叫作“分组分解法”.请在这种方法的启发下，解决以下问题. (1)分解因式： (2)分解因式： 类型三 换元法 6.对一些比较复杂的式子进行因式分解时，“换元法”是一种常用的方法，下面是某同学用“换元法”对式子(a+b)(a+b-4)+4进行因式分解的过程. 解:设A=a+b, 则原式=A(A-4)+4……第一步 第二步 第三步 …第四步 请解答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了 法分解因式. (2)请你用“换元法”分解因式： 2(a-b)-1. 类型四 拆、添项法 7.(★☆)下列各式不是 的因式的是 ( ) A. x-1 B. x+1 C.2x-1 D. x-2 8.【学习材料】 拆项添项法：在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法叫作拆项添项法. 例1：分解因式 解： 2xy). 例2：分解因式 解：原式 x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x²+x+6).我们还可以通过拆项对多项式进行变形. 例3：把多项式 写成 B² 的形式. 解：原式 (b-3)². 【知识应用】 请根据以上材料中的方法，解决下列问题. (1)分解因式：:x²+2x-8= (2)分解因式：:x⁴+4= (3)已知 (x,y均为整数，m是常数)，若M 恰好能表示成 的形式，求m 的值. 学科网（北京）股份有限公司 专题小卷(11)分式化简求值的常见类型 类型一 直接代入法求值 1.(2025广东深圳期末,16,★☆)先化简,再求值: 其中x=3. 2.(2023辽宁丹东中考,19,★)先化简,再求值: 其中 (-3)⁰. 类型二 整体代入法求值 3.已知 求 的值. 4.先化简，再求值： 其中 类型三 有条件的化简求值 5. (2025 四川攀枝花期末,18,)已知 求 的值. 类型四 自选值代入求值 6.(2024湖南湘潭期末,20,★☆)先化简,再求值: 从-2，2，4中选一个合适的数作为x的值代入求值. 7.(2024辽宁盘锦大洼期末,17,★☆)先化简,再求值： 请你从-2<x<4的所有整数解中选取一个合适的数作为x的值代入求值. 类型五 运用倒数法求值 8.阅读下列材料，完成下面的任务. 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一.所谓倒数法，即把式子变成其倒数的形式，从而运用约分化简，以达到计算目的. 例：若 求 的值. 解： 任务：已知 (1)求 的值. (2)求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 专题小卷(12)含参的分式方程问题 学科网（北京）股份有限公司 类型一 无解情形 1.(2024山东滨州期末,6,★☆)若关于x的分式方程 无解，则a的值为 A.0 B.1 C.1或5 D.5 2.已知关于x的分式方程 无解，则m的值是 ( ) A.1 B.1或2 C.0或2 D.0或1 3.若关于x的分式方程 无解，求 的值. 4.(2024山东烟台蓬莱期末,19,★☆)已知关于x的分式方程 若方程无解，求a的值. 类型二 由解的正负求参数的取值范围 5.若关于x的分式方程 的解为负数，则m的取值范围为 ( ) A. m<-8 B. m<8且m≠-2 C. m>-8且m≠2 D. m>8 6.(2024江西宜春期末，5，)现定义一种新的运算： 例如： 若关于x的方程x⊕(2x-m)=3的解为非负数,则m的取值范围为 ( ) A. m≤8 B. m≤8且m≠7 C.m≥-2且m≠7 D.m≥-2 7.(2024山东日照岚山期末改编,15,★☆)已知关于x的分式方程 的解为正数，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 8.(2024江西宜春高安期末,18,★☆)已知关于x的分式方程 (1)若这个方程的解是正数，求m的取值范围. (2)若这个方程无解，求m 的值. 类型三 整数解问题 9.(2024福建龙岩期末,10,★★)若m是整数,且关于x的分式方程 有整数解，则m的值是 ( ) A.3或5 B.-3或5 C.-1或3 D.-3或-5 10.(2025安徽合肥期末,14,★)已知-2≤m≤5，若关于x的分式方程 有正整数解，则m的值是 11.如果整数a使得关于x 的不等式组 有解，且使得关于x的分式方程 有正整数解，那么所有满足条件的整数 a 的值之和为 12.已知关于x的分式方程 (1)当方程的解为正整数时，求整数 m的值. (2)当方程的解为正数时，求m 的取值范围. 13. 若数 a 使关于 x 的不等式组 有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程 的解为正数，求所有满足条件的整数a的值之和. 中考新趋势 (1) 新情境问题 1.(2023山东临沂中考，4，★☆)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，如图所示. A，B两处桂花树的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x轴、y轴的平面直角坐标系内，若点 A 的坐标为(-6,2),则点 B 的坐标为 ( ) A.(6,2) B.(-6,-2) C.(2,6) D.(2,-6) 2.(★☆)用螺钉将两端打有孔的5 根木条按如图所示的方法连接，就能构成五角星，但五角星的结构不稳定.如果在图中木条交叉处打孔加装螺钉使其结构稳定，那么至少需要添加的螺钉的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024四川广元中考,12,★☆)2023年 10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒?1阿秒是 10⁻¹⁸秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是 43 阿秒，将43 阿秒用科学记数法表示为 秒. 4.(★☆)由于木质衣架没有柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是 cm. 5.今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用 500 元在甲商店租用服装的数量与用400 元在乙商店租用服装的数量相等. (1)求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元. (2)若租用10套以上服装，甲商店给予每套九折优惠，则该参赛队伍准备租用20套服装，在哪家商店租用服装的费用较少?并说明理由. 中考新趋势(2) 传统文化问题 1.(2023江苏泰州中考，2，★☆)书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是 ( ) 福福图酥 A B C D 2.(★☆)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的肉粽盒数和用6 000 元购进的豆沙粽盒数相同，则豆沙粽每盒的进价为 元. 3.(2023黑龙江大庆中考，17，)我国宋代数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”. 观察“杨辉三角”与等式图，根据图中各式的规律可知， 的展开式中各项系数之和为 . 4.折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统艺术在几何中可以得到新的解读.请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2(或∠1-∠2)与∠A 的数量关系. (1)如图①，在三角形纸片ABC 中，若沿图中虚线 DE 截去∠A,且∠A =60°,则∠1+∠2= . (2)如图②,在三角形纸片 ABC 中,将△ADE 沿 DE 所在直线翻折180°,点 A落在点 A'处,若∠1+∠2=110°,求∠B+∠C的度数. (3)如图③,将三角形纸片ABC 沿 DE 所在直线折叠，使点A 落在点A'处，若∠1=80°, ∠2 = 28°, 则 ∠A 的 度 数 为 中考新趋势(3) 跨学科专题 1. 跨学科 化学(2023 湖南衡阳中考,3,★☆)下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是 ( ) 2.跨学科 生物 (★☆)目前人类已知的地球上体积最小的光合自养生物是原绿球藻，其细胞直径约为500到700纳米.已知1 纳米 米，则数据500纳米用科学记数法表示为 ( ) 米 米 米 米 3.跨学科 语文小明是一位语文古诗词爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：:x-1,a-b,5,x²+1,a,x+1分别对应《木兰诗》，朝，南北，乐府，诗集，民歌.现将 因式分解，其结果呈现的密码信息可能是 ( ) A.乐府诗集《木兰诗》 B.乐府民歌 C.民歌《木兰诗》 D.南北朝民歌《木兰诗》 4.跨学科 生物 生物学指出：一般来说，在输入到某一个营养级的能量中，只有10%~20%的能量能够流到下一个营养级.若在 这条生物链中(Hn表示第n个营养级,n=1,2,…,5),每一个营养级中只有10%的能量能被下一个营养级所利用，要使 H₅获得 10 千焦的能量，则需要 H₁提供的能量为 ( ) A.10⁴千焦 B.10⁵千焦 C.10⁶千焦 D.10⁷千焦 5.跨学科 物理 (★☆)太阳向宇宙空间发射的辐射功率为 千瓦，其中二十亿分之一到达地球的大气层，则到达地球大气层的辐射功率为 千瓦. 6.跨学科 语文(★☆)“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷.例如，处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺.数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是3个两位数乘两位数的“回文等式”： 21×24=42×12, 31×26=62×13, 12×84=48×21. (1)下列选项中能构成“回文等式”的是 .(填字母) A.18×31与13×81 B.46×32与63×24 C.46×96与69×64 D.22×454与454×22 E.31×286与682×13 (2) 请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用所学数学知识证明. 中考新趋势(4)新定义问题 1.(2023重庆中考B卷,18,★☆)对于一个四位自然数 N，若它千位上的数字比个位上的数字大6，百位上的数字比十位上的数字大2,则称 N 为“天真数”.如:四位数7 311,∵7-1=6,3-1=2,∴7311是“天真数”;四位数8421,∵8-1≠6,∴8 421不是“天真数”.最小的“天真数”为 .一个“天真数”M千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d,记P(M)=3(a+b)+c+d,Q(M)=a-5,若 能被10整除，则满足条件的M的最大值为 . 2.【概念认识】 如图①,若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD,BE 叫作∠ABC 的“三分线”,其中,BD 是“邻AB 三分线”,BE是“邻BC三分线”. 【问题解决】 (1) 如图①,若∠ABC = 60°,BD,BE 是∠ABC 的“三分线”,则∠ABE 的度数为 . (2)如图②,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC=48°,若∠ABC 的“三分线” BD 交AC于 点 D,则 ∠BDC 的 度 数 为 (3)如图③,在△ABC 中,BQ,CQ 分别是∠ABC 的“邻CB 三分线”和∠ACB 的“邻BC三分线”,且∠BQC=140°,求∠A 的度数. 【延伸推广】 (3) 在△ABC 中,∠ACD 是△ABC 的外角,∠ABC 的“三分线”所在的直线与∠ACD 的“三分线”所在的直线交于点P.当∠A=m,∠ABC=n时,直接写出∠BPC 的度数.(用含 m,n的式子表示) 数学思想 (1) 整体思想 学科网（北京）股份有限公司 类型一 应用整体思想求角度问题 1.(★☆)如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F. 2.(★☆)如图,一张三角形纸片ABC,点 D、E分别在边 AB、AC 上,将△ABC 沿着 DE 所在直线折叠压平，使点 A 落在点 N 处. (1)若∠B=35°,∠C=60°,求∠A 的度数. (2)若∠A=70°,求∠1+∠2的度数. 类型二 代数运算中整体志愿的应用 3.已知 则 的值为 . 4.(2024江苏苏州中考,19,★☆)先化简,再求值: 其中x=-3. 5.【阅读材料】 分解因式： 解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式= 将“A”还原，原式 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. 【问题解决】 (1)分解因式：1+6(x-y)+9(x-y)². (2)分解因式： (3)证明:若n为正整数,则(2n+1)(n+2)· 的值一定是某个整数的平方. 数学思想 (2)分类讨论思想 类型一 形状不明时分类讨论 1.(★★☆)已知△ABC中,∠A=50°,BD、CE 分别是边AC、AB上的高,BD 所在直线与 CE所在直线相交于点 H，求∠BHC的度数. 2.(★★☆)已知AD是△ABC 的高,∠ABC=40°,∠ACD=60°,BE平分∠ABC交AC 于点 E,求∠BEC的度数. 类型二 角指向不明时分类讨论 3.如图,在△ABC中,∠B=35°,点 D 在BC上,∠BAC=∠ADC,点 E 在AB上. (1)若DE∥AC,求∠ADE 的度数. (2)当∠BED 的度数是多少时,△BDE 是直角三角形? 4.( )如图,AD 是△ABC 的高,BE 为△ABC 的角平分线,AD=CD,∠AEB=80°. (1)求∠ABC 的度数. (2)若点 F 为线段 BC 上任意一点，当△EFC为直角三角形时,求∠BEF 的度数. 数学思想 (3) 方程思想与特殊到一般思想 类型一 三角形中利用方程思想求角度 1.(☆)在一个三角形中，如果一个内角是其相邻外角的2倍，求这个内角的度数. 2.(★☆)如图,在△ABC 中,点 D 在 BA 的延长线上,点 E 在 BC边上,连接DE 交AC 于点 F,已知∠DFC=3∠B=123°,∠C=∠D,求∠BED 的度数. 3.(★☆)在△ABC中,∠B+∠C=2∠A,∠A :∠B=4：5，求三角形各内角的度数. 4.如图,已知在△ABC中,D为BC上一点,DE∥CA 交 AB 于 E,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=84°.求∠EDA 的度数. 类型二 三角形中利用特殊到一般思想求角度 5.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,CE⊥AB. (1)若∠A = 40°,∠B = 72°,求∠DCE 的度数. (2)试探究∠DCE 与∠A,∠B 之间的数量关系. 6.已知 AD 是 △ABC 的角平分线(∠ABC≠∠ACB),过射线AD 上一点 P 作PE⊥AD,交直线 AC 于点 E,交直线 BC 于点 M. (1)如图①,若∠ABC=40°,∠ACB=70°,求∠PMB 的度数. (2)如图②,若∠ABC-∠ACB = 40°,求∠PMB 的度数. (3)试探究∠ABC,∠ACB,∠PMB 之间的数量关系，并加以证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$