第4章图形的相似 单元练习卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第4章图形的相似精选题练习卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•叙州区期末）以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（　　） A．3，8，15，40 B．5，6，5，6 C．2，0.5，0.5，4 D．，，， 2．（2025•盐山县校级模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，若DE＝3，CE＝4，则AB的长为（　　） A． B． C． D．4 3．（2025•泸县校级一模）四边形ABCD的两条对角线相交于点O，下列条件中，不一定能推得△AOB与△COD相似的是（　　） A．∠DAC＝∠DBC B．∠BAC＝∠ACD C． D． 4．（2025•宁江区校级三模）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE交对角线AC于点F，FG∥AD交AB于点G，若FG＝2，则AD的长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（2025•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025•卫滨区校级三模）如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC、BE交于点F，若FG∥BC．若S△AEF：S△BFC＝1：9，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•宝坻区期末）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2） 8．（2025•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，则点A（﹣1，3）的对应点A'的坐标为（　　） A．（6，﹣2） B．（﹣6，2） C．（2，﹣6） D．（﹣2，6） 9．（2025•敦化市一模）如图，在▱ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，连结AM并延长交BC于点E，连结EN并延长交AD于点F，若BM：MN：ND＝1：2：1，则AF：FD的值为（　　） A．7：1 B．8：1 C．9：1 D．10：1 10．（2025春•安阳县期中）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 二．填空题（共7小题） 11．（2024秋•靖江市期末）已知x：y＝2：3，那么（x+y）：y＝　 　 ． 12．（2025春•工业园区校级月考）已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积与△DEF的面积的比值是，AM、DN分别是它们对应边上的中线，且AM＝6，则DN＝　 　 ． 13．（2025•鼓楼区校级模拟）如图，小明和小红在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点．支柱高0.5m．当小明的一端着地时，小红到地面的高度为 　 　 m． 14．（2025•驻马店校级一模）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点A的坐标为（6，4），则点C的坐标为　 　 15．（2025•河东区一模）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2.5米（即CO＝2.5米）远的地上，排球反弹碰到墙上（反弹时入射角等于反射角），如果他跳起击球时的高度是2米（即AC＝2米），排球落地点离墙的距离是8米（即OD＝8米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 　 　 米． 16．（2025•江阳区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AC＝6，BC＝8，点E在CD上，且DE：CE＝1：3，则AE的长为　 　 ． 17．（2024秋•禹城市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P从点A开始沿AB边向点B以2个单位/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4个单位/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过　 　 秒后，△PBQ与△ABC相似． 三．解答题（共6小题） 18．（2024秋•裕安区校级期末）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：AD＝AD：AB． 19．（2025•番禺区校级三模）如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q为CD的中点． 求证：△PCQ∽△QDA． 20．（2024秋•灵武市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点P成位似图形． （1）在图中标出点P的位置，并写出点P的坐标； （2）以坐标原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且使△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1． 21．（2024秋•宿松县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）联结BF，如果点E是BC中点，求证：AE•BF＝2BE•CD． 22．（2025•雁塔区四模）司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度BG为6m，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿BC方向后退，当退行1m到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得DF为1.2m，小华的身高DE为1.6m（忽略头顶到眼睛的距离）．已知AB⊥BF，DE⊥BF，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像AG的高度．（结果保留整数） 23．（2025春•龙凤区校级期末）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD． （1）初步探究， 如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长． 第4章图形的相似精选题练习卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D D C B D B C 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•叙州区期末）以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（　　） A．3，8，15，40 B．5，6，5，6 C．2，0.5，0.5，4 D．，，， 【解答】解：A：3×40＝8×15，故本选项正确； B：5×6＝6×5，故本选项正确； C：2×0.5≠0.5×4，故本选项不正确．符合题意； D：，故本选项正确； 故选：C． 2．（2025•盐山县校级模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC于点E，若DE＝3，CE＝4，则AB的长为（　　） A． B． C． D．4 【解答】解：在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ABD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， ∵DE＝3，CE＝4， ∴BE＝3， ∴BC＝BE+CE＝7， 又∵DE∥AB， ∴△ABC∽△DEC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 3．（2025•泸县校级一模）四边形ABCD的两条对角线相交于点O，下列条件中，不一定能推得△AOB与△COD相似的是（　　） A．∠DAC＝∠DBC B．∠BAC＝∠ACD C． D． 【解答】解：A．∵∠DBC＝∠DAC， ∴∠BOC＝∠AOD， ∴△AOD∽△BOC， ∴， ∴， 又∵∠COD＝∠AOB， ∴△AOB∽△COD，故选项A不符合题意； B．∵∠ACD＝∠BAC，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD，故选项B不符合题意； C．∵∠COD＝∠AOB，， ∴△AOB∽△COD，故选项C不符合题意； D．条件∠AOB＝∠COD，，无法证明△AOB∽△COD，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（2025•宁江区校级三模）如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE交对角线AC于点F，FG∥AD交AB于点G，若FG＝2，则AD的长是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【解答】解：由题意可得：AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵FG∥AD， ∴FG∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴， ∴BC＝3FG＝6， ∴AD＝BC＝6， 故选：D． 5．（2025•哈尔滨模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AD＝3，BD＝4， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴． 故选：D． 6．（2025•卫滨区校级三模）如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC、BE交于点F，若FG∥BC．若S△AEF：S△BFC＝1：9，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝8，AC＝10， ∴AD∥CB，∠D＝90°， ∴CB＝AD6， ∵AE∥CB，S△AEF：S△BFC＝1：9， ∴△AEF∽△BFC， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵FG∥BC， ∴△AFG∽△ACB， ∴， ∴FGCB6， 故选：C． 7．（2025春•宝坻区期末）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　） A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2） 【解答】解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2． A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意； B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意； C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意； D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC＝CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．（2025•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，则点A（﹣1，3）的对应点A'的坐标为（　　） A．（6，﹣2） B．（﹣6，2） C．（2，﹣6） D．（﹣2，6） 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2， ∴点A（﹣1，3）的对应点A'的坐标为（﹣1×2，3×2），即（﹣2，6）． 故选：D． 9．（2025•敦化市一模）如图，在▱ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，连结AM并延长交BC于点E，连结EN并延长交AD于点F，若BM：MN：ND＝1：2：1，则AF：FD的值为（　　） A．7：1 B．8：1 C．9：1 D．10：1 【解答】解：在▱ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，BM：MN：ND＝1：2：1， ∴设BM＝m，MN＝2m，ND＝m， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△ADM∽△EBM，△FDN∽△EBN， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．（2025春•安阳县期中）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【解答】解：∵四边形COED是矩形， ∴CE＝OD， ∵点D的坐标是（1，3）， ∴OD， ∴CE， 故选：C． 二．填空题（共7小题） 11．（2024秋•靖江市期末）已知x：y＝2：3，那么（x+y）：y＝　5：3　 ． 【解答】解：∵x：y＝2：3， ∴设x＝2k，y＝3k， ∴， 故答案为：5：3． 12．（2025春•工业园区校级月考）已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积与△DEF的面积的比值是，AM、DN分别是它们对应边上的中线，且AM＝6，则DN＝　9　 ． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的面积与△DEF的面积的比值是， ∴相似比为， ∵AM、DN分别是它们对应边上的中线，AM＝6， ∴， ∴， ∴DN＝9， 故答案为：9． 13．（2025•鼓楼区校级模拟）如图，小明和小红在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点．支柱高0.5m．当小明的一端着地时，小红到地面的高度为 　1　 m． 【解答】解：如图， 由题意可知，OD∥AC，O是AB的中点， ∴△BOD∽△BAC，BOBA， ∴， ∴AC＝2OD＝2×0.5＝1（m）， 即小红到地面的高度为1m， 故答案为：1． 14．（2025•驻马店校级一模）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点A的坐标为（6，4），则点C的坐标为　　 【解答】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD， 点A的坐标为（6，4）， ∴C（6÷（﹣3），4÷（﹣3）），即， 故答案为：． 15．（2025•河东区一模）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2.5米（即CO＝2.5米）远的地上，排球反弹碰到墙上（反弹时入射角等于反射角），如果他跳起击球时的高度是2米（即AC＝2米），排球落地点离墙的距离是8米（即OD＝8米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是 　6.4　 米． 【解答】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD，AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°， ∴△ACO∽△BDO， ∴， ∴， 解得：BD＝6.4， ∴排球能碰到墙面离地的高度BD的长是6.4米， 故答案为：6.4． 16．（2025•江阳区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AC＝6，BC＝8，点E在CD上，且DE：CE＝1：3，则AE的长为　　 ． 【解答】解：由题意可得：， ， ∵∠CDA＝90°， ，即， ∴， ∵DE：CE＝1：3，且， ∴， ∵在Rt△ACD中，， ∴在Rt△ADE中，． 故答案为：． 17．（2024秋•禹城市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P从点A开始沿AB边向点B以2个单位/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4个单位/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过　2或　 秒后，△PBQ与△ABC相似． 【解答】解：设经过x秒后，△PBQ与△ABC相似， 则BP＝AB﹣AP＝8﹣2x，BQ＝4x， （1）当BP与AB是对应边时，， 即， 解得x＝2； （2）当BP与BC是对应边时，， 即， 解得x． 故经过2或秒后，△PBQ与△ABC相似． 三．解答题（共6小题） 18．（2024秋•裕安区校级期末）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：AD＝AD：AB． 【解答】证明：∵EF∥CD， ∴∠AEF＝∠ACD，∠AFE＝∠ADC， ∴△AEF∽△ACD， ∴①， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠ABC， ∴△ADE∽△ABC， ∴②， 由①②得：， 即AF：AD＝AD：AB． 19．（2025•番禺区校级三模）如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q为CD的中点． 求证：△PCQ∽△QDA． 【解答】证明：∵BP＝3PC，Q为CD的中点， ∴， 又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°， ∴△ADQ∽△QCP． 20．（2024秋•灵武市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点P成位似图形． （1）在图中标出点P的位置，并写出点P的坐标； （2）以坐标原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且使△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2：1． 【解答】解：（1）作图如下： ∴点P的坐标为（0，2）； （2）作图如下： ∴△A2B2C2即为所作． 21．（2024秋•宿松县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）联结BF，如果点E是BC中点，求证：AE•BF＝2BE•CD． 【解答】证明：（1）∵AC2＝CE•CB， ∴． 又∵∠ACB＝∠ECA＝90°， ∴△ACB∽△ECA， ∴∠ABC＝∠EAC． ∵点D是AB的中点， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD． ∵∠CAD+∠ABC＝90°， ∴∠ACD+∠EAC＝90°， ∴∠AFC＝90°， ∴AE⊥CD； （2）如图， ∵AE⊥CD， ∴∠EFC＝90°， ∴∠ACE＝∠EFC． 又∵∠AEC＝∠CEF， ∴△ECF∽△EAC， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∴． ∵∠BEF＝∠AEB， ∴△BEF∽△AEB， ∴， ∴AE•BF＝BE•AB， ∵， ∴AB＝2CD， ∴AE•BF＝2BE•CD． 22．（2025•雁塔区四模）司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度BG为6m，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿BC方向后退，当退行1m到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得DF为1.2m，小华的身高DE为1.6m（忽略头顶到眼睛的距离）．已知AB⊥BF，DE⊥BF，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像AG的高度．（结果保留整数） 【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF， ∴∠EDC＝∠ABC＝∠EDF＝90°， ∵∠ECD＝∠ACB， ∴△CED∽△CAB， ∴， ∴， ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∴， ∴BC＝11， ∴， ∴AB≈18， ∵BG为6m， ∴AG＝AB﹣BG＝12（m）， 答：司马迁雕像AG的高度约为12m． 23．（2025春•龙凤区校级期末）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD． （1）初步探究， 如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD•AB； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）解：设AD＝m， ∵点D为AB中点， ∴AD＝BD＝m，AB＝2m， 由（1）得△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2＝AD•AB＝m×2m＝2m2， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵BC＝4， ∴， ∴CD的长是． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$