1.3正方形的性质与判定课时训练-2025-2026学年数学九年级上册北师大版

1.3正方形的性质与判定课时训练-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共9小题） 1．（2025春•安岳县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 2．（2025春•广阳区校级月考）如图，在长方形ABCD中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．6 B． C． D． 3．（2025春•环翠区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A．AC⊥BD B． C．∠ABD＝∠ADB D．AE＝CE 4．（2025春•武冈市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A．BC＝AC B．BD＝DF C．CF⊥BF D．AC＝BF 5．（2025春•东胜区校级月考）如图，正方形ACDF的面积为13，CE⊥AB，BF⊥AB，AE﹣AB＝1，则△ABC的面积是（　　） A．1 B．2 C．6 D．8 6．（2025•浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 7．（2025春•献县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PDEC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD一定是等腰三角形．其中正确结论的序号为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2025春•路南区月考）如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，∠EAM＝45°，交CD于点M，若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A． B． C． D． 9．（2025春•濉溪县校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG．给出下列结论：①DE＝FG；②∠FGB＝∠EDC；③DE＝AE时，四边形BFEG是正方形；④DE+FG的最小值为8．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共7小题） 10．（2025春•浦东新区校级月考）正方形ABCD的边长是8cm，点M在BC边上，且MC＝2cm，P是正方形边上的一个动点，连接PB，当PB＝AM时，PC的长是 　 　 ． 11．（2025春•江都区校级月考）如图，正方形的边ABCD长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB、CD于点E、F，当EM+AF取最小值时，AF的长是　 　 ． 12．（2025•平舆县三模）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为　 　 ． 13．（2025春•环翠区期末）如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若S正方形ABCD＝3S正方形EFGH，则 　 　 ． 14．（2025春•右玉县月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，以CE为边在矩形ABCD的外部作正方形CEFG，连接AF，H为AF的中点，连接EH，DH，则DH的长为　 　 ． 15．（2025春•姜堰区月考）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F、Q分别在AB、AD、CD上，AB＝12，AE＝4，DQ＞AE，EQ＝BF，EQ与BF交于点P，连接DP，则DP的最小值为　 　 ． 16．（2025春•龙湾区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在CD上且CE＝1，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连接BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•宁阳县校级月考）如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D．求证：四边形ABCD是正方形． 18．（2025春•分宜县校级期末）已知：如图，E，F是正方形ABCD的边AB，BC上的两点，AE＝BF，连接DE，AF． （1）求证：DE＝AF． （2）求∠EGF的度数． 19．（2025春•东平县校级月考）如图正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC上任意点（不与B，C重合），作OF⊥OE交CD于点F． （1）在图1中求证：BE＝CF． （2）如图2，当点P为线段OC上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边BC，CD上两点，且PE⊥PF．问：EC，CF，CP之间有何数量关系，并说明理由． 20．（2025春•雨花区校级期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．求证：矩形DEFG是正方形． 21．（2025春•原阳县期末）综合与实践 问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 22．（2025春•建瓯市校级月考）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE． （1）求证：△DCE≌△DAF； （2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC．求证：CH平分∠BHD． 1.3正方形的性质与判定课时训练-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D B D B A C A C 一．选择题（共9小题） 1．（2025春•安岳县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，可能是等腰梯形，不符合题意； D、四条边都相等的四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 2．（2025春•广阳区校级月考）如图，在长方形ABCD中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　） A．6 B． C． D． 【解答】解：∵两个正方形的面积分别为12和18， ∴这两个正方形的边长分别为和，即和， ∵空白部分为矩形， ∴空白部分的面积为12， 故选：D． 3．（2025春•环翠区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A．AC⊥BD B． C．∠ABD＝∠ADB D．AE＝CE 【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等， 即∠ABC＝90°或AC＝BD， ∴∠ABE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴ABAE， 故选：B． 4．（2025春•武冈市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A．BC＝AC B．BD＝DF C．CF⊥BF D．AC＝BF 【解答】解：∵EF垂直平分BC， ∴BE＝EC，BF＝CF， ∵BF＝BE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； 当BC＝AC时， ∵∠ACB＝90°， 则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45° ∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90° ∴菱形BECF是正方形． 故选项A正确，但不符合题意； 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意； 当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意； 当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 5．（2025春•东胜区校级月考）如图，正方形ACDF的面积为13，CE⊥AB，BF⊥AB，AE﹣AB＝1，则△ABC的面积是（　　） A．1 B．2 C．6 D．8 【解答】解：∵四边形ACDF是正方形， ∴AC＝AF，∠CAF＝90°， ∵CE⊥AB，BF⊥AB， ∴∠AEC＝∠ABF＝∠CAF＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠FAB＝∠AFB， 在△AEC和△FBA中， ， ∴△AEC≌△FBA（AAS）， ∴CE＝AB， ∵AE2+CE2＝AC2＝13， ∴AE2+AB2＝13， ∵AE﹣AB＝1， ∴AB2+AB﹣6＝0， ∴AB＝2（负值已经舍去）， ∴△ABC的面积AB•CEAB24＝2， 故选：B． 6．（2025•浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， ∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图： ∴∠BAF＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠DAE＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， ∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线， 在△AFE和△AGE中， ， ∴△AFE≌△AGE（SAS）， ∴EF＝EG， 即：EF＝EG＝ED+DG， ∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD， ∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°， ∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x， 在Rt△CFE中，由勾股定理得： EF2＝CE2+CF2， ∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2， 解得：x＝2， 即BF＝2， 故选：A． 7．（2025春•献县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PDEC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD一定是等腰三角形．其中正确结论的序号为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠PEF＝∠PFC＝90°， 又∠C＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴EC＝PF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠PDF＝45°， ∴△PDF是等腰直角三角形， ∴PDPFEC，①正确； 延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M． ∵四边形ABCD是正方形． ∴∠ABP＝∠CBD 又∵NP⊥AB，PE⊥BC， ∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF， ∴NP＝EP， ∴AN＝PF 在△ANP与△FPE中，， ∴△ANP≌△FPE（SAS）， ∴AP＝EF；故②正确； ∠PFE＝∠BAP， △APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM， ∴∠PMF＝∠ANP＝90°， ∴AP⊥EF，故③正确； ∵矩形PECF中，EF＝CP， ∴当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小， 此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4， 则CPBC＝2， ∴EF的最小值为2，故④正确； ∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°， ∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形， 除此之外，△APD不是等腰三角形，故⑤错误． 故选：C． 8．（2025春•路南区月考）如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，∠EAM＝45°，交CD于点M，若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在边长为5的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF， ∵∠EAM＝45°， ∴∠BAE+∠DAM＝45°， ∴∠DAF+∠DAM＝45°， ∴∠EAM＝∠FAM． 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM， ∵在边长为5的正方形ABCD中，BE＝DF＝1， ∴BC＝CD＝5，∠BCD＝90°， 设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝5﹣x，CE＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，EM＝FM＝FD+DM＝1+x， 在直角三角形MCE中，由勾股定理得：EM2＝MC2+CE2， ∴（1+x）2＝（5﹣x）2+42， 解得：． 故选：A． 9．（2025春•濉溪县校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG．给出下列结论：①DE＝FG；②∠FGB＝∠EDC；③DE＝AE时，四边形BFEG是正方形；④DE+FG的最小值为8．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图所示，连接BE，交FG于点O， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形， ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA＝45°， 在△BCE和△DCE中， ， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴BE＝DE， ∴DE＝FG，即①正确； ∵△BCE≌△DCE， ∴∠EBC＝∠EDC， ∵OB＝OG， ∴∠FGB＝∠EBC， ∴∠FGB＝∠EDC，即②正确， 当DE＝AE时， ∵∠DAC＝45°， ∴∠ADE＝∠EDC＝45°， ∴∠FGB＝∠EBC＝45°， ∴FG⊥BE，由①可知，四边形EFBG是矩形， ∴四边形EFBG是正方形．故③正确； 由①可知，BE＝FG，当点B，E，D三点共线时，BE+ED最小，即DE+FG最小， 此时， ∴DE+FG的最小值为，④不正确 故选：C． 二．填空题（共7小题） 10．（2025春•浦东新区校级月考）正方形ABCD的边长是8cm，点M在BC边上，且MC＝2cm，P是正方形边上的一个动点，连接PB，当PB＝AM时，PC的长是 　2cm或6cm　 ． 【解答】解：根据题意画图如下： ∵AB＝BC＝8cm，MC＝2cm， ∴BM＝BC﹣MC＝6cm， ∴AM10cm， ∴PB＝AM＝10cm， ∴P在以B为圆心，10cm为半径的圆上，如图中的P和P′， ①∵PB＝10cm，AB＝8cm， ∴AP＝6cm， ∴AP平行且等于BM， ∴四边形APMB是矩形， ∴PM＝AB＝8cm， ∴PC2（cm）； ②∵P′B＝10cm，BC＝8cm， ∴P′C＝6cm， 综上所述：PN的长是2cm或6cm． 故答案为：2cm或6cm． 11．（2025春•江都区校级月考）如图，正方形的边ABCD长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB、CD于点E、F，当EM+AF取最小值时，AF的长是　　 ． 【解答】解：过F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴BMBC＝1， ∴AM， ∵EF⊥AM， ∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°， ∴∠BAM＝∠GFE， ∴△ABM≌△FGE（SAS）， ∴AM＝EF， 将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH， 当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小， ∵EF＝MH，AM＝EF，∠AMH＝90°， ∴AM＝MH， ∴△AMH是等腰直直角三角形， 此时EM+AF＝AHAM， ∵∠MAH＝45°，EF⊥AM， ∴△ANF是等腰直直角三角形， ∴AN＝FN， ∴EN＝MN， ∴AN＝AM﹣MNEN， ∵∠ANE＝∠ABM＝90°，∠EAN＝∠MAB， ∴△AEN∽△AMB， ∴， ∴， ∴EN， ∵EN＝MN，EF⊥AM， ∴△ENM是等腰直直角三角形， ∴EMEN， ∴AF＝AH﹣EH＝AH﹣EM， 故答案为：． 12．（2025•平舆县三模）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为　　 ． 【解答】解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，BC⊥CD， ∴MN⊥AB， ∵四边形DEFG是正方形， ∴FG⊥CD， ∴FG∥HM∥BC， ∵H是BF的中点， ∴PN＝BN＝CM＝GMCG1， ∴HN是△BFP的中位线， ∴HNFP＝1， ∴MH＝5﹣1＝4， Rt△GHM中，由勾股定理得：GH． 故答案为：． 13．（2025春•环翠区期末）如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若S正方形ABCD＝3S正方形EFGH，则 　　 ． 【解答】解：设AF＝a，AE＝b，则， ∴EF＝AF﹣AE＝a﹣b， ∴S正方形EFGH＝EF2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 根据全等三角形性质得：DE＝AF＝a， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2＝a2+b2， ∴S正方形ABCD＝AD2＝a2+b2， ∵S正方形ABCD＝3S正方形EFGH， ∴a2+b2＝3（a2﹣2ab+b2）， 整理得：a2﹣3ab+b2＝0， 解得：a， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2025春•右玉县月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，以CE为边在矩形ABCD的外部作正方形CEFG，连接AF，H为AF的中点，连接EH，DH，则DH的长为　　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，E为CD的中点，如图，延长EH交AD于点T． ∴CD＝AB＝8，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°． ∴． ∵四边形CEFG为正方形， ∴CG∥EF，∠ECD＝90°，EF＝CE＝4， ∴B，C，G三点在一条直线上， ∴AD∥CG． ∴AD∥EF． ∴∠TAH＝∠EFH． ∵H为AF的中点， ∴AH＝FH， 在△ATH和△FEH中， ， ∴△ATH≌△FEH（ASA）． ∴TA＝EF＝4，TH＝EH． ∴DT＝AD﹣TA＝5﹣4＝1，， 在Rt△DET中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 15．（2025春•姜堰区月考）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F、Q分别在AB、AD、CD上，AB＝12，AE＝4，DQ＞AE，EQ＝BF，EQ与BF交于点P，连接DP，则DP的最小值为　　 ． 【解答】解：在正方形ABCD中，点E、F、Q分别在AB、AD、CD上，如图，过点E作EM⊥CD于M，交BF于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°， ∴四边形ADME是矩形， ∴EM＝AD＝AB， 在Rt△BAF和Rt△EMG中， ， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF＝∠MEG， 在Rt△BEN中，∠ABF+∠ENB＝90°， ∴∠MEG+∠ENB＝90°， ∴∠EPF＝90°， 取BE的中点O，连接OP、OD， ∵△EPB是直角三角形， ∴， ∵AB＝12，AE＝4， ∴BE＝12﹣4＝8，OB＝OE＝4， ∴，OA＝AE+OE＝4+4＝8， 在直角三角形AOD中，由勾股定理得：， ∵OD﹣OP≤DP， ∴当O、P、D共线时，DP有最小值，最小值为， ∴DP的最小值为， 故答案为：． 16．（2025春•龙湾区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在CD上且CE＝1，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连接BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，过点P作PG⊥BC与G，则∠PGB＝∠PGF＝90°，PG＝AB， ∴∠GPF+∠PFG＝90°， ∵PF⊥BE， ∴∠BOF＝90°， ∴∠OBF+∠BFO＝90°， ∴∠GPF＝∠OBF，即∠GPF＝∠CBE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠C＝90°， ∴PG＝BC，∠PGF＝∠C＝90°， 在△PGF和△BCE中， ， ∴△PGF≌△BCE（ASA）， ∴PF＝BE， 如图，过点E作EM⊥BE，并使EM＝PF，连接PM、BM，则∠BEM＝90°，EM＝BE， ∵PF⊥BE，EM⊥BE， ∴PF∥ME， ∵EM＝PF， ∴四边形PFEM是平行四边形， ∴PM＝EF， ∴BP+EF＝BP+PM≥BM， ∴当点B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长， ∵CE＝1，BC＝3， ∴EM＝BE， ∴BM2， ∴BP+EF的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•宁阳县校级月考）如图1，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D．求证：四边形ABCD是正方形． 【解答】证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： ∴∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AEB＝∠AEG，∠AFG＝∠AFD， 在△AEB和△AEG中， ， ∴△AEB≌△AEG（AAS）， ∴AB＝AG， 同理可证明：△AFG≌△AFD（AAS）， ∴AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 18．（2025春•分宜县校级期末）已知：如图，E，F是正方形ABCD的边AB，BC上的两点，AE＝BF，连接DE，AF． （1）求证：DE＝AF． （2）求∠EGF的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠B＝∠BAD＝90°， 在△BAF和△ADE中， ∴△BAF≌△ADE（SAS）， ∴DE＝AF； （2）解：由（1）知：△BAF≌△ADE， ∴∠BAF＝∠ADE， ∵∠AED+∠ADE＝90°， ∴∠AED+∠BAF＝90°， ∴∠EGF＝∠AED+∠BAF＝90°． 19．（2025春•东平县校级月考）如图正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC上任意点（不与B，C重合），作OF⊥OE交CD于点F． （1）在图1中求证：BE＝CF． （2）如图2，当点P为线段OC上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边BC，CD上两点，且PE⊥PF．问：EC，CF，CP之间有何数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCF＝45°， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°＝∠BOC， ∴∠BOE＝∠COF， 在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴BE＝CF； （2）解：CE+CFCP，理由如下： 如图2，过点P作PH⊥BC，PG⊥CD，则∠PHE＝∠PGF＝90°， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD， ∴PH＝PG，四边形PHCG为正方形， ∴CP＝CH，∠HPG＝90°，CH＝CG， ∵PE⊥PF， ∴∠EPF＝∠HPG＝90°， ∴∠EPH＝∠GPF， 又PH＝PG，∠PHE＝∠PGF＝90°， ∴△PHE≌△PGF（AAS）， ∴HE＝FG， ∴CE+CF＝CH+HE+CG﹣FG＝2CH， ∴CE+CF＝2CPCP． 20．（2025春•雨花区校级期末）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．求证：矩形DEFG是正方形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DEN+∠NEF＝∠FEM+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠FEM， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形． 21．（2025春•原阳县期末）综合与实践 问题情境： 如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． 猜想证明： （1）求证：四边形DEFG是正方形． 解决问题： （2）求∠DCG的度数． （3）已知BC＝4，CF＝2，请直接写出CG的长． 【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90° ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形， （2）解：∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， （3）解：①当F在BC上时， ∵正方形EMCN，正方形ABCD， ∴BC＝DC，MC＝NC， ∴BC﹣MC＝DC﹣NC，即：BM＝DN， ∵△DEN≌△FEM， ∴FM＝DN， ∴， ∴MC＝MF+FC＝1+2＝3， ∴，， ∵△ADE≌△CDG， ∴； ②当F在BC延长线上时，如图： 同理可得，△EFM≌△EDN，CM＝CN＝EM＝EN，AE＝CG， ∴BM＝FM（BC+CF）＝3， ∴CM＝1， ∴CE， ∴AE＝43， ∴CG＝3； 综上所述，AE或3． 22．（2025春•建瓯市校级月考）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE． （1）求证：△DCE≌△DAF； （2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC．求证：CH平分∠BHD． 【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠C＝∠BAD＝90°， ∴∠DAF＝180°﹣∠BAD＝90°， ∴∠C＝∠DAF， 在△DCE和△DAF中， ， ∴△DCE≌△DAF（SAS）； （2）如图2，由（1）知：△DCE≌△DAF， ∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF， ∴∠EDF＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∵DH⊥EF， ∴EH＝FH， ∴HDEF， ∵∠EBF＝90°， ∴HBEF， ∴HD＝HB， 在△DCH和△BCH中， ， ∴△DCH≌△BCH（SSS）， ∴∠DHC＝∠BHC， ∴CH平分∠BHD． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$