1.2矩形的性质与判定 课时训练-2025-2026学年数学九年级上册北师大版

1.2矩形的性质与判定课时训练-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共9小题） 1．（2025春•桐城市校级月考）下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．每条对角线平分一组对角 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．（2025春•黔西南州期末）如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠CDB＝60°，DE＝6cm，则AE的长为（　　） A． B．3cm C． D．6cm 3．（2025春•分宜县校级期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝40°，则∠E的度数是（　　） A．45° B．30° C．20° D．15° 4．（2025春•安阳月考）在平面直角坐标系中，矩形OBAC的位置如图，点A的坐标是（﹣2，4），则矩形对角线BC的长是（　　） A．3 B． C．4 D． 5．（2025春•启东市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A．OB＝5 B．OD＝5 C．AB＝5 D．BC＝8 6．（2025春•江岸区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC平分∠BAD时，它是菱形 C．当OA＝OB时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是菱形 7．（2024秋•滦州市期末）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 8．（2025春•拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 9．（2025春•江岸区校级月考）如图，点E为矩形ABCD边BC上一点，F为CD上一点，∠FEC＝45°，连接AE过点F作FG∥AE且FG＝AE，连接CG且CG＝FC，若，则CG长为（　　） A．5 B．4 C． D． 二．填空题（共7小题） 10．（2025春•秦淮区期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2．若EC平分∠BED，则BC的长为 　 　 ． 11．（2025春•安岳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点0为BD的中点，点E，F分别是边BC、CD上的动点，且∠EOF＝90°，EF．当DF＝2CF时，AD的长为 　 　 ． 12．（2024秋•莱州市期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2，∠AOB＝60°，点E为BD上一点，OE＝1．连接AE，则AE的长为　 　 ． 13．（2025春•江南区期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于E，如果∠DAE：∠BAE＝3：1，那么∠EAC的度数为 　 　 ． 14．（2025春•宿城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则线段EF的最小值为　 　 ． 15．（2025春•柳林县期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，BD＝5，M为边AD上的一点，O为BD的中点，连接MO并延长，交BC于点N．若MN平分∠AMC，则DM＝　 　 ． 16．（2025春•德化县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．若AB＝5，且四边形ACDE的面积为18，则|BD﹣AC|的值是 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•宿城区校级月考）如图，在△ABC中（∠BAC≠60°），在BC的同侧作正△ABF、正△ACD和正△BCE． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）当∠BAC＝ 　 　 时，四边形ADEF是矩形． 18．（2025•武进区校级模拟）平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积． 19．（2025•仪征市校级三模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 20．（2025春•宝坻区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E．同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t（s） （0＜t＜5）． （1）当t为何值时，四边形PFCE是矩形？ （2）当△ABC面积是△PEF的面积的5倍时，求出t的值． 21．（2025春•雨花区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABEC为平行四边形； （2）过点D作DF⊥BE于F，连接FG，若AB＝3，BC＝6，求FG的长． 22．（2025春•庐江县校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形AGBD是矩形，求证：四边形BEDF是菱形； （3）若AD＝4，CD＝8，四边形BEDF是菱形，则四边形AGCD的面积为 　 　 ． 1.2矩形的性质与判定课时训练-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C A C D B D A C A 一．选择题（共9小题） 1．（2025春•桐城市校级月考）下列选项中，矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．每条对角线平分一组对角 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【解答】解：根据矩形和菱形的性质可得， A．每条对角线平分一组对角是菱形具有，但矩形不具有的性质，所以该选项正确，不符合题意； B．对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，所以该选项正确，不符合题意； C．对角线相等是矩形的性质，菱形不具有，所以该选项不正确，符合题意； D．对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，所以该选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（2025春•黔西南州期末）如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠CDB＝60°，DE＝6cm，则AE的长为（　　） A． B．3cm C． D．6cm 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CDB＝60°， ∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝30°， ∴AD＝2AE， ∵AE2+DE2＝AD2， ∴AE2+62＝（2AE）2， 解得（负值舍去）， 即AE的长为2， 故选：A． 3．（2025春•分宜县校级期末）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝40°，则∠E的度数是（　　） A．45° B．30° C．20° D．15° 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°， ∴∠E＝∠DAE， 又∵BD＝CE， ∴CE＝CA， ∴∠E＝∠CAE， ∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°． 故选：C． 4．（2025春•安阳月考）在平面直角坐标系中，矩形OBAC的位置如图，点A的坐标是（﹣2，4），则矩形对角线BC的长是（　　） A．3 B． C．4 D． 【解答】解：连接OA、BC，作AE⊥y轴于点E，则∠AEO＝90°， ∵A（﹣2，4）， ∴E（0，4）， ∴AE＝2，OE＝4， ∴OA2， ∵四边形OBAC是矩形， ∴BC＝OA＝2， 故选：D． 5．（2025春•启东市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A．OB＝5 B．OD＝5 C．AB＝5 D．BC＝8 【解答】解：添加OD＝5， 理由：∵∠ABC＝90°，AO＝OC＝5， ∴OB＝AO＝OC＝5， ∵OD＝5， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝5， ∴AC＝BD＝10， ∴四边形ABCD为矩形， 故选：B． 6．（2025春•江岸区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC平分∠BAD时，它是菱形 C．当OA＝OB时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是菱形 【解答】解：A、∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴本选项结论正确， 故不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠ACB＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴本选项结论正确， 故不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴本选项结论正确， 故不符合题意； D、∵AC＝BD时， ∴平行四边形ABCD是矩形，不一定是正方形， ∴本选项结论错误， 故符合题意． 故选：D． 7．（2024秋•滦州市期末）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【解答】解：由题知， ∵BC⊥AC，且点P为AB的中点， ∴CP为Rt△ABC斜边上的中线， ∴CP． ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 8．（2025春•拱墅区校级期中）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵AE＝CE， ∴∠ACE＝∠EAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE， ∵∠BAE+∠CAE+∠ACE＝90°， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE＝30°， ∴∠BAC＝60°， 故选：C． 9．（2025春•江岸区校级月考）如图，点E为矩形ABCD边BC上一点，F为CD上一点，∠FEC＝45°，连接AE过点F作FG∥AE且FG＝AE，连接CG且CG＝FC，若，则CG长为（　　） A．5 B．4 C． D． 【解答】解：连接AF，过点E作EH⊥AF于点H，延长GC交EF于点K，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且CD＝9， ∴AB＝CD＝9，AD＝BC，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AD∥BC， 在Rt△ABE中，AE， 由勾股定理得：BE3， ∵∠FEC＝45°，∠BCD＝90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴设EC＝FC＝a，其中a＞0， ∴AD＝BC＝BE+EC＝3+a，DF＝CD﹣FC＝9﹣a， 又∵CG＝FC， ∴CG＝CF＝CE＝a， ∴∠CFG＝∠CGF，∠CEG＝∠CGE， ∵∠KCF是△CFG的外角，∠KCE是△CEG的外角， ∴∠KCF＝∠CFG+∠CGF＝2∠CGF，∠KCE＝∠CEG+∠CGE＝2∠CGE， ∵∠KCF+∠KCE＝∠BCD＝90°， ∴2∠CGF+2∠CGE＝90°， ∴∠CGF+∠CGE＝45°， 即∠EGF＝45°， ∵FG∥AE且FG＝AE， ∴四边形AEGF是平行四边形， ∴∠EAF＝∠EGF＝45°， ∵EH⊥AF于点H， ∴△AEH是等腰直角三角形， ∴EH＝AH， 由勾股定理得：AEEH， ∴EHAE， 设AF＝x， ∴S△AEFAF•EH， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是直角梯形， ∴S梯形AECD（CE+AD）•BC（a+3+a）×9， ∵S△ADFAD•DF，S△CEFCE•CE， 又∵S梯形AECD＝S△AEF+S△ADF+S△CEF， ∴， ∴x， ∴AF＝x， 在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2， ∴（， 整理得：a2+10a﹣75＝0， ∴（a﹣5）（a+15）＝0， ∵a＞0， ∴a﹣5＝0， ∴a＝5， ∴CG＝a＝5． 故选：A． 二．填空题（共7小题） 10．（2025春•秦淮区期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2．若EC平分∠BED，则BC的长为 　10　 ． 【解答】解：∵EC平分∠BED， ∴∠BEC＝∠CED， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC， ∵BE2＝AB2+AE2， ∴BC2＝36+（BC﹣2）2， ∴BC＝10， 故答案为：10． 11．（2025春•安岳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点0为BD的中点，点E，F分别是边BC、CD上的动点，且∠EOF＝90°，EF．当DF＝2CF时，AD的长为 　　 ． 【解答】解：延长EO交AD于点H，连接HF，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB＝3，∠C＝∠ADC＝90°， ∵DF＝2CF ∴CD＝DE+CF＝3CF＝3， ∴CF＝1， ∴DF＝2CF＝2， 在Rt△EFC中，EF，CF＝1， 由勾股定理得：CE3， ∵AD∥BC， ∴∠ODH＝∠OBE，∠OHD＝∠OEB， ∵点O为BD的中点， ∴OD＝OB， 在△ODH和△OBE中， ， ∴△ODH≌△OBE（AAS）， ∴DH＝BE，OH＝OE， ∵∠EOF＝90°， ∴OF⊥EH， ∴OF是EH的垂直平分线， ∴HF＝EF＝√10， 在Rt△DHF中，由勾股定理得：DH， ∴DH＝BE， ∴BC＝CE+BE． ∴AD＝BC． 故答案为：． 12．（2024秋•莱州市期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2，∠AOB＝60°，点E为BD上一点，OE＝1．连接AE，则AE的长为　或　 ． 【解答】解：当点E在OB上或在OD上时，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OBAC， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2， ①当点E在OB上时，OE＝1， ∴BE＝1， ∴E是OB的中点， ∴AE⊥OB， ∴OA＝2， ∴AE； ②当点E在OD上时为E′， ∴EE′＝2， ∴AE′． 则AE的长为：或． 故答案为：或． 13．（2025春•江南区期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于E，如果∠DAE：∠BAE＝3：1，那么∠EAC的度数为 　45°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OAAC，OBBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠DAE：∠BAE＝3：1， ∴∠BAE90°＝22.5°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠EAC＝67.5°﹣22.5°＝45°． 故答案为：45°． 14．（2025春•宿城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则线段EF的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，连接CD． ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小， 此时，S△ABCBC•ACAB•CD， 即8×610•CD， 解得CD， ∴EF． 故答案为：． 15．（2025春•柳林县期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝4，BD＝5，M为边AD上的一点，O为BD的中点，连接MO并延长，交BC于点N．若MN平分∠AMC，则DM＝　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝DO，∠BCD＝∠ADC＝90°，AD∥BC， ∴∠DMO＝∠NBO，∠AMN＝∠CNM， ∴MN平分∠AMC， ∴∠AMN＝∠CMN， ∴∠CMN＝∠CNM， ∴CN＝CM， 在△MDO与△NBO中， ， ∴△MDO≌△NBO（AAS）， ∴DM＝BN， ∵BC＝4， ∴CM＝CN＝4﹣BN＝4﹣DM， ∵BC＝4，BD＝5，∠BCD＝90°， ∴， ∵∠ADC＝90°， ∴CD2+MD2＝CM2， ∴32+MD2＝（4﹣DM）2， 解得：， 故答案为：． 16．（2025春•德化县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．若AB＝5，且四边形ACDE的面积为18，则|BD﹣AC|的值是 　2　 ． 【解答】解：∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴四边形AODE是矩形， ∴S△AOD＝S△ADE＝S△CDO， ∵四边形ACDE的面积为18， ∴S△COD＝6， ∴， ∴OC•OD＝12， ∵CD＝AB＝5， ∴（OD﹣OC）2＝OD2+OC2﹣2OC•OD＝25﹣24＝1， ∴|OD﹣OC|＝1， ∴|BD﹣AC|＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共6小题） 17．（2025春•宿城区校级月考）如图，在△ABC中（∠BAC≠60°），在BC的同侧作正△ABF、正△ACD和正△BCE． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）当∠BAC＝ 　150°　 时，四边形ADEF是矩形． 【解答】（1）证明：∵△ABF、△ACD、△BCE都是正三角形， ∴AB＝BF＝AF，AC＝CD＝AD，BE＝BC＝CE，∠ABF＝∠CBE＝∠BCE＝∠ACD＝60°， ∴∠ABF﹣∠ABE＝∠CBE﹣∠ABE， 即∠FBE＝∠ABC， 在△FBE和△ABC中， ， ∴△FBE≌△ABC（SAS）， ∴EF＝AC， 同理：△DEC≌△ABC（SAS）， ∴DE＝AB， ∴DE＝AB＝AF，EF＝AC＝AD， ∴四边形ADEF是平行四边形； （2）解：当∠BAC＝150°时， ∵∠BAD＝∠CAF＝60°， ∴∠DAF＝360°﹣（∠BAC+∠BAD+∠CAF）＝360°﹣（150°+60°+60°）＝90°， 又∵四边形ADEF是平行四边形， ∴平行四边形ADEF是矩形， 故答案为：150°． 18．（2025•武进区校级模拟）平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴DF∥BE， ∵CF＝AE， ∴DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． （2）解：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AFD， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， 在Rt△ADE中，∵AE＝2，DE＝4， ∴AD2， ∴DF＝2， ∴矩形BFDE的面积＝DF×DE＝24＝8． 19．（2025•仪征市校级三模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 20．（2025春•宝坻区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．直线PE从B点出发，以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与线段AC交于点E．同时，点F从C点出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t（s） （0＜t＜5）． （1）当t为何值时，四边形PFCE是矩形？ （2）当△ABC面积是△PEF的面积的5倍时，求出t的值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵PE∥BC， ∴， ∴， ∴PE（10﹣2t），AE（10﹣2t） 当PE＝CF时，四边形PECF是矩形， ∴t（10﹣2t）， 解得t． （2）∵当△ABC面积是△PEF的面积的5倍时， ∴24＝5[8（10﹣2t）] ∴t 21．（2025春•雨花区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABEC为平行四边形； （2）过点D作DF⊥BE于F，连接FG，若AB＝3，BC＝6，求FG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD（平行四边形的对边平行）， ∴AB∥CE， ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，BG＝DG， ∵AB＝3，BC＝6， ∴， ∴， ∵DF⊥BE，BG＝DG， ∴． 22．（2025春•庐江县校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形AGBD是矩形，求证：四边形BEDF是菱形； （3）若AD＝4，CD＝8，四边形BEDF是菱形，则四边形AGCD的面积为 　24　 ． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴AD＝CB，AB＝CD，AEAB，CFCD，∠DAE＝∠C， ∴AE＝CF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴BE∥DF，BEAB，DFCD， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵四边形AGBD是矩形， ∴∠ADB＝90°， ∴DE＝BEAB， ∴四边形BEDF是菱形． （3）解：∵AD∥CB，AG∥DB交CB的延长线于点G， ∴AD∥BG， ∴四边形AGBD是平行四边形， ∴BG＝AD＝CB＝4， ∴AD∥CG，CG＝BG+CB＝4+4＝8， ∵四边形BEDF是菱形，E为AB的中点， ∴DE＝BE＝AE， ∴∠EDB＝∠EBD，∠EDA＝∠EAD， ∴∠ADB＝∠EDB+∠EDA＝∠EBD+∠EAD， ∵∠ADB+∠EBD+∠EAD＝2∠ADB＝180°， ∴∠DBC＝∠ADB＝90°， ∴BD⊥CG， ∵CD＝8， ∴BD4， ∴S四边形AGCD（4+8）×424， 故答案为：24． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$