第二章 有理数及其运算单元培优测试卷 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

第二章《有理数及其运算》—2025-2026学年北师大版（2024）数学七（上）单元培优测试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2008厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点是（　　） A．2006个或2007个 B．2007个或2008个 C．2008个或2009个 D．2009个或2010个 3．a、b、c是有理数且abc＜0，则 的值是（　　） A．－3 B．3或－1 C．－3或1 D．－3或－1 4．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（　　） A． B．48 C． D．49 5．下列说法：①一定是正数；②的结果必为非负数；③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；④n个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；⑤如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6． 1米长的小棒，第一次截去，第二次截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．阅读材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么（　　） A．7 B．11 C．13 D．17 8．对于正整数n，定义f（n）表示n的首位数字与末位数字的平方和.例如：f（6） 规定 （k为正整数）. 例如： 0）=1.则 的值为（　　） A．37 B．58 C．89 D．145 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“ 站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣ ， 处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“　 　站台”． 10．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有　 　个． 11．小白熊的饭店门前有一串彩灯，每串彩灯都是按4个红灯、2个黄灯、3个蓝灯的规律排列，第39盏彩灯是　 　颜色，这39盏灯串红灯有　 　盏． 12．将分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是　 　． 13．甲、乙两个同学分别在长方形围墙外的两角．如果他们同时开始绕着围墙逆时针方向跑，甲每秒跑米，乙每秒跑米，那么甲最少要跑　 　秒才能看到乙． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14．计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①_______； ②_______； ③_______． （2）用合理的方法计算：有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____． （3）用简单的方法计算：． 16．阅读下列材料，并回答问题 计算机利用的是二进制数，它共有两个数码：0，1；将一个十进制的数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可． 例如把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写解释结果，例如将十进制数302转化为二进制数 余0 余1 余1 余1 余0 余1 余0 余0 余1 所以． 二进制数110110可以转换成十进制数为：． （1）将86化成二进制； （2）将1011101化成十进制． 17．如图，半径为的小圆与半径为的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是________； （2）若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：，，，，，． ①第几次滚动后，大圆离原点最远？ ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？ （结果保留） 18．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)2=0.点O是数轴原点。 （1）点A表示的数为　 　，点B表示的数为　 　，线段AB的长为　 　。 （2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则点C在数轴上表示的数为　 　。 （3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？ 19．综合运用 同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．如指数轴上点到原点的距离，也可以写成；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，值为5．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7的两点之间的距离的值是　 　；数轴上表示x与的两点之间的距离可记作　 　，如果这两点之间的距离为3，那么　 　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使； （3）若x表示有理数，直接写出：的最小值． 20．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘法， 我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”， 一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ， ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→乘方幂的形式． （2）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为： ； （3）比较： ；（填“”“”或“”） （4）计算：． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】或6 10．【答案】6561 11．【答案】红；19 12．【答案】23 13．【答案】17 14．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．【答案】（1）①16-5；②；③ （2） （3）解： ． 16．【答案】（1）解：余0； 余1； 余1； 余0； 余1； 余0； 余1； 则将86化成二进制为； （2）解： ， 则将1011101化成十进制为93． 17．【答案】（1） （2）解：①第1次滚动后，，第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，大圆离原点最远． ②， ∴当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有； 由①可知当大圆结束运动时离原点的距离是， ∴两圆与数轴重合的点之间的距离是. 18．【答案】（1）30；﹣6；36 （2）6或﹣42 （3）解：①当点Q未出发，P、Q两点相距4个单位长度， 此时t×1=4，所以t=4； ②点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P后面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t﹣4，所以t=7； ③点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P前面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t+4，所以t=11； 所以t=4或t=7或t=11。 19．【答案】（1）5；；或1 （2）解：在数轴上，表示数x的点记为A，表示2的点记为B，表示的点记为C，则表示，，分三种情况讨论： （1）如图1，当点A在点C的左侧时，，不符合题意； 图1 （2）如图2，当点A在点B的右侧时，，不符合题意； 图2 （3）如图3，当点A在点B、C之间（包括B、C两个端点）时，，符合题意．所以，； 图3 又因为x是整数，所以x的值为，0，1，2. （3）解：1023132. 20．【答案】解：（1）1， （2） （3） （4）由 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$