湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考一数学试题

长郡中学2026届高三月考试卷（一） 数学 本试卷共8页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. 已知单位向量、、，满足，则向量和的夹角为( ) A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 5. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中没有常数项 C. 展开式所有二项式系数和为1024 D. 展开式所有项的系数和为256 10. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥SO的侧面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为 C. 若点B为弧AC的中点，则二面角的平面角大小为 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 11. 记的内角的对边分别为，外接圆半径为；面积为S，若，则（ ） A. B. C. 当时，有唯一值 D. 当时，有且仅有2个值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 13. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 14. 将3个不同小球随机放入4个不同盒子中，记小球最多的盒子里小球数目为，则________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. （1）求证：平面BDM； （2）若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）证明: 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的切线分别交直线，于点，椭圆的左、右焦点分别为． （i）证明：四点共圆； （ii）若（i）中圆的半径，求的取值范围． 19. 已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列. （1）判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列. （2）已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由． （3）证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”. 长郡中学2026届高三月考试卷（一） 数学 本试卷共8页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2）不能，理由如下： 零假设：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关， 因为 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关. 【16题答案】 【答案】（1） 连接AC交BD于，连接MN， 因为四边形ABCD是正方形，故为AC中点，是AE的中点， 所以在中，有， 又平面平面， 所以平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 令，， 则， 由可知，令，． 因为，在上单调递增，则在上单调递增， 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即； 当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，，， 可得， 即，所以. 故可证明. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明：由题意知椭圆的切线斜率存在， 设，直线与轴交点为， 则， 由对称性可知，， ∵， ∴， ∵， ∴，即，即四点共圆； （ii） 【19题答案】 【答案】（1）是“和差单值”数列 （2）是“和差单值”数列，理由为： 由（1）可得，若不是“和差单值”数列，则存在以及， 使得，即， 设中最小值为，则， 只能是， 由于均为偶数，而, 故为奇数，不可能为0，故矛盾，假设不成立， 是“和差单值”数列. （3） 证明：数列共有项，且恒成立， 取， 由，可知， 又，则至多有个不同的值， 故中必有两个值相等，故一定不是“和差单值”数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $