湖北省荆州中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试卷

荆州中学2025－2026学年高三上学期8月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2.已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 5.已知单位向量满足则（ ） A.2 B. C. D. 6. 已知为定义在R上的奇函数，当时，．若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设事件每次成功的概率为，现进行3次独立重复试验，如果在事件至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数且关于函数有下列四个命题: 甲: 是的极值点; 乙:3是的零点; 丙: 在区间单调递减; 丁: 在单调递增. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数则（ ） A.函数为偶函数 B.的最大值为 C.在区间单调递增 D.曲线关于对称 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近于1 B. 的展开式中，的系数是 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 11. 已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若则 13.已知直线与圆交于两点，写出满足“”的的一个值: 14.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球,若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出,则停止取球.记为取出的球的个数，则的数学期望 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.记的内角的对边分别为已知 （1）求 （2）的角平分线交于点，若求的周长. 16. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半.为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了200名网民，得到如下数据. 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 45 60 105 不喜欢网络文学 55 40 95 合计 100 100 200 (1)判断是否有99%的把握认为是否喜欢网络文学与性别有关； (2)某网络文学平台组织网民进行文学挑战赛，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战赛，然后由平台组织专家打分确定胜负.根据以往经验，甲组第1次挑战赛获胜的概率为 ，若甲组上一次挑战赛获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战赛获胜的概率为,已知按此规则进行了多次挑战赛，每次挑战有且仅有1个组获胜. (i)在进行了3次挑战赛后，求乙组获胜次数X的分布列与数学期望； (ii)若第次挑战时甲组获胜的概率为，求的通项公式，并求出使的的最小值. 附 其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18 .已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． (1)求椭圆C的方程； (2)记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； (3)若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 19. 已知函数其中且 （1）讨论的单调性； （2）设曲线与轴正半轴的交点为曲线在点处的切线方程为求证:对于任意的正实数,都有 （3）若关于的方程, （为实数)有两个正实数根求证 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆州中学2025—2026学年高三上学期8月月考 数学参考答案 1. A 2. B 3. B 4. C 5.C 6.D 7. D 8.A 9.AC 10.BCD 11.ACD 12.0 13. -1或（填两个值不扣分） 14. 15. (1)解：由余弦定理有因为故 ………….2分 由解得 ...........................6分 (2)解：由角平分线有则则 ………….7分 因为，在，由正弦定理知 解得= ………….10分 故的周长为 ...........................13分 16.（1）因为是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB， 因为平面平面ABC，所以， 又平面 所以平面又因为平面，所以， 连接，易得，所以，所以， 又因为，所以， 因为，平面， 所以平面. ...............................6分 （2）取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直， 以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， .............................10分 由（1）知平面的一个法向量为，又， ………….12分 所以， ………….14分 所以直线与平面所成的角的正弦值为． ...............................15分 17.解：（1）根据列联表中的数据，得 所以没有得把握认为是否喜欢网络文学与性别有关 ..............................3分 （2） （i）X得可能取值为0,1,2,3 ..............................7分 所以X得分布列为 X 0 1 2 3 P ......................8分 ................................9分 (ii)由题意得 ………….11分 所以 又因为 所以数列是首项为，公比为的等比数列 所以 ................................12分 当为奇数时，，不合题意 ………………….13分 当为偶数时， 令，得 取 所以的最小值为6 ...............................15分 18.解：（1）由题意，解得，所以， 所以椭圆C的方程为． .............................. .4分 （2）由题意， 令，则， 当时，，当且仅当取等号； 当时，，当且仅当取等号； 所以或， 即的取值范围为． ...........................10分 （3）方法一：①当斜率不为0时， 设直线，，，则，， ， ， …………………………12分 ，， 所以，即， 所以，代入得， （*） ……………………………………14分 ，O到直线的距离， ， 当且仅当，即时取“=”． …………………………16分 ②当斜率为0时，设直线，联立， 则， 由得，解得， 所以， 综上：． ..............................17分 方法二：设，，，， 由， ，， 设，，其中，， 即，， ， ，而，， 当且仅当或2即，或，时，取最大值1． 19.（1）由于 可得其中且 ……………………1分 下面分两种情况讨论: (1)当为奇数时,令解得或 当变化时，的变化情况如下表: – + – ↘ ↗ ↘ 所以, 在上单调递减,在单调递增 ..........................3分 (2)当为偶数时, 当即时,函数单调递增； 当即时,函数单调递减； 所以, 在单调递增,在上单调递减； ..........................5分 (Ⅱ)证明:设点的坐标为则曲线在点处的切线方程为 即 令即 则 由于在上单调递减, 故在上单调递减, 又因为所以当时当时, 所以 在内单调递增,在上单调递减， 所以对应任意的正实数,都有 即对于任意的正实数,都有 ..............................11分 (Ⅲ)证明:不妨设 由(Ⅱ)知 设方程的根为可得 由(Ⅱ)知可得类似地,设曲线在原点处的切线方程为可得当 即对于任意的设方程的根为可得 因为在上单调递增,且 因此 由此可得: 因为所以故: 所以: ...................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $$