21.5—21.6 反比例函数 综合与实践 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（沪科版）

21.5—21.6 反比例函数 综合与实践 一、反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。其中，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 二、反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限。 2.在每个象限内，y随x的增大而减小（当k>0时）或y随x的增大而增大（当k<0时）。 3.双曲线与x轴、y轴都没有交点，但越来越接近x轴、y轴。 4.反比例函数的图象关于原点对称，也关于直线y=-x和y=x对称。 三、反比例函数的表达式确定 已知反比例函数，若给出图象上一个点的坐标或其他条件，可以利用待定系数法求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 四、实际问题中的反比例函数关系 在实际问题中，如果两个量的乘积是一个定值（且不为0），则这两个量成反比例关系，可以用反比例函数来描述它们之间的关系。例如，在电流、电压和电阻的关系中，当电压一定时，电流与电阻成反比例关系；在压力不变的情况下，物体承受的压强与受力面积成反比例关系等。 五、综合与实践 通过综合与实践，可以进一步加深对反比例函数的理解和应用。例如，可以利用反比例函数解决实际问题，如计算面积、体积、速度、时间等；也可以通过实验或观察，收集数据，绘制反比例函数的图象，分析图象的性质和变化规律等。 巩固课内例1:人均耕地与人口数量问题 1．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷 2．已知某市的耕地面积约为375 km2，人均占有的土地面积S(单位：km2/人)，随全市人口n(单位：人)的变化而变化，则S与n的函数关系式是 ． 3．写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数： （1）体积是常数V时，圆柱的底面积S与高h的关系； （2）柳树乡共有耕地面积S（单位：hm2），该乡人均耕地面积y（单位：hm2/人）与全乡总人口x的关系． 巩固课内例2:路程、速度、时间问题 1．从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对 2．如果A地到B地的路程为80千米，那么汽车从A地到B地的速度x千米/时和时间y时之间的函数解析式为 . 3．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程（单位：千米）与平均耗油量（单位：升/千米）之间是反比例函数关系（是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米． （1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式； （2）当平均耗油量少于0.07升/千米时，该轿车至少可以行驶多少千米？ 巩固课内例3:电流与电阻问题 1．已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 3．琪琪新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图像如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)当时，求R的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请直接写出该台灯的电阻R的取值范围． 巩固课内例4:压强与受力面积问题 1．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（）是汽缸内气体的体积V（）的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了（　　）mL． A．60 B．90 C．120 D．150 2．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为 ． 3．某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，． (1)请直接写出P与S的函数关系式． (2)求m的值，并解释m的实际意义． (3)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 巩固课内例5:画出反比例函数图象 1．如果三角形的面积为15平方厘米，那么它的一边y厘米与这边上的高x厘米之间的函数关系用图像表示大致是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 3．已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 巩固课内例6:反比例函数的增减性 1．已知反比例函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．图象必经过点 2．已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 3．已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 巩固课内例7:最大利润问题 1．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 2．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大，最大利润为 元． 3．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销玩具进货价为每个28元，标价为每个40元． (1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后这种热销玩具以每个元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个标价40元时，平均每天能售出80个，当这种热销玩具每个售价每降元时，平均每天就能多售出5个．当每个玩具实际售价为多少元时，商城销售这种玩具利润最大，每天的最大利润是多少元？ 类型一、反比例函数的定义 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．给出的六个关系式：①x（y+1）；②y＝；③y＝；④y＝﹣；⑤；⑥ ，其中y是x的反比例函数是 ． 3．某养鱼专业户准备挖一个面积为的矩形鱼塘，若该矩形鱼塘的长为，宽为，那么是的函数吗？是反比例函数吗？ 类型二、反比例函数与一次函数的图象 1．在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点. (1)求，对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象写出关于x的不等式的解集。 类型三、反比例函数的对称性 1．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于点，则点B的坐标为 ． 3．学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 类型四、求反比例函数的值 1．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．已知y与x成反比例，并且当时，，当时，y的值为 ． 3．已知与成反比例，且当时，，求当时，的值． 类型一、反比例函数表达式 1．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 2．已知一个函数具有以下条件：①该函数图象是双曲线；②当时，y随x的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数关系式： ． 3．如图所示，一次函数的图象与反比例函数．的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 类型二、注水问题 1．下面的五个问题中都有两个变量： ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间； ②汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间； ③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间； ④三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高； ⑤矩形面积一定时，周长与一边长； 其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（    ）    A．①② B．②④ C．①④ D．①④⑤ 2．一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间与注水速度 （填“成正比例”、“成反比例”、“不成比例”）． 3．若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 类型三、反比例函数与一次函数综合问题 1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．则不等式的解集为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)直接写出当时x的取值范围； 类型一、反比例函数k的几何意义 1．如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若，则 ． 3．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积； (3)直接写出的解集． 类型二、反比例函数中的图形面积 1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 3．如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 类型三、反比例函数的实际应用 1．化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ． 3．在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.5—21.6 反比例函数 综合与实践 一、反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。其中，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 二、反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限。 2.在每个象限内，y随x的增大而减小（当k>0时）或y随x的增大而增大（当k<0时）。 3.双曲线与x轴、y轴都没有交点，但越来越接近x轴、y轴。 4.反比例函数的图象关于原点对称，也关于直线y=-x和y=x对称。 三、反比例函数的表达式确定 已知反比例函数，若给出图象上一个点的坐标或其他条件，可以利用待定系数法求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 四、实际问题中的反比例函数关系 在实际问题中，如果两个量的乘积是一个定值（且不为0），则这两个量成反比例关系，可以用反比例函数来描述它们之间的关系。例如，在电流、电压和电阻的关系中，当电压一定时，电流与电阻成反比例关系；在压力不变的情况下，物体承受的压强与受力面积成反比例关系等。 五、综合与实践 通过综合与实践，可以进一步加深对反比例函数的理解和应用。例如，可以利用反比例函数解决实际问题，如计算面积、体积、速度、时间等；也可以通过实验或观察，收集数据，绘制反比例函数的图象，分析图象的性质和变化规律等。 巩固课内例1:人均耕地与人口数量问题 1．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷 【答案】D 【分析】人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A，D错误， 再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，B． 【详解】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限， ∴y随x的增大而减小， ∴A，B错误， 设y=（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50， ∴y=， 把y=2代入上式得：x=25， ∴C错误， 把x=50代入上式得：y=1， ∴D正确， 故选D. 2．已知某市的耕地面积约为375 km2，人均占有的土地面积S(单位：km2/人)，随全市人口n(单位：人)的变化而变化，则S与n的函数关系式是 ． 【答案】. 【分析】利用耕地总面积以及总人数,进而表示出人均占有的土地面积. 【详解】解:晋江市的耕地面积约为375km2,人均占有的土地面积S(单位: km2/人),随全市人口n(单位:人)的变化而变化, .S与n的函数关系式是: 故答案为:S=. 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式,得出正确等量关系是解题关键. 3．写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数： （1）体积是常数V时，圆柱的底面积S与高h的关系； （2）柳树乡共有耕地面积S（单位：hm2），该乡人均耕地面积y（单位：hm2/人）与全乡总人口x的关系． 【答案】（1）S=，反比例函数；（2）y=，反比例函数. 【分析】（1）利用圆柱体的体积计算方法得出S与h的函数关系； （2）利用总面积÷全乡总人口=乡人均耕地面积，进而得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：，反比例函数； （2）由题意可得：，反比例函数． 巩固课内例2:路程、速度、时间问题 1．从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系概念，根据乘积一定的两个相关联的量成反比例关系进行求解，即可解题． 【详解】解：在数量关系路程速度时间中，当路程一定时，速度和时间成反比例关系， 时间与速度成反比例关系， 故选：C． 2．如果A地到B地的路程为80千米，那么汽车从A地到B地的速度x千米/时和时间y时之间的函数解析式为 . 【答案】 【分析】根据速度=路程÷时间，即可得出y与x的函数关系式． 【详解】解：∵速度=路程÷时间， ∴ 故答案为 【点睛】本题考查了根据行程问题得到反比例函数关系式，熟练掌握常见问题的数量关系是解答本题的关键． 3．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程（单位：千米）与平均耗油量（单位：升/千米）之间是反比例函数关系（是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米． （1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式； （2）当平均耗油量少于0.07升/千米时，该轿车至少可以行驶多少千米？ 【答案】（1）；（2） 1000 千米 【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系中即可求得k的值，从而确定解析式； （2）将a=0.07代入求得的函数的解析式即可求得S的值． 【详解】（1）由题意得：a=0.1，S=700，代入反比例函数关系 中， 解得：k=Sa=70， 所以函数关系式为：． （2）将 a=0.07 代入 得：＝1000， 故该轿车至少可以行驶 1000 千米． 【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于根据题意列出方程. 巩固课内例3:电流与电阻问题 1．已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流电压电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流电压电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，， 则电流与电阻的乘积恒为定值，即满足， 因此与的关系式为， 故选：B． 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 3．琪琪新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图像如图所示． (1)求I关于R的函数表达式； (2)当时，求R的值； (3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请直接写出该台灯的电阻R的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，正确求出函数解析式、掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）所得解析式，然后求出R的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，再根据反比例函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 由图象可知：当时，， ， ； （2）解：当时，，解得：； （3）解：当，， 当，， ∴该台灯的电阻的取值范围为． 巩固课内例4:压强与受力面积问题 1．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（）是汽缸内气体的体积V（）的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了（　　）mL． A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】B 【分析】根据题意先设解析式为，代入得出反比例解析式，再将压强和分别代入求出自变量值再做减法即可． 本题主要考查反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图知点在函数图像上， ∴， ∴反比例解析式为：， ∴当时，， 当时，， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了：， 故选：B． 2．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题．由题意得，待定系数法求得解析式，进而将代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，将代入得． 当时，． ，当时，随的增大而减小，且， ． 故答案为：． 3．某野外考察小组在途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线用若干块木板铺了一条临时通道，木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像经过，． (1)请直接写出P与S的函数关系式． (2)求m的值，并解释m的实际意义． (3)如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 【答案】(1) (2)，当木板对地面的压强时，木板面积是； (3) 【分析】本题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题，认真观察图象得出结果． （1）设反比例函数关系式为，将点代入即可得出解析式； （2）将代入解析式，可求出S的值，即可求解； （3）将代入解析式，可求出S的值，然后根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为， 把代入，得， 解得， ∴P与S的函数关系式； （2）解：把代入，得， 解得， 当木板对地面的压强为时，木板面积是； （3）解：当时，， 解得， ∵在中，， ∴P随S的增大而减小， 故当压强不超过时，木板的面积至少是． 巩固课内例5:画出反比例函数图象 1．如果三角形的面积为15平方厘米，那么它的一边y厘米与这边上的高x厘米之间的函数关系用图像表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用和反比例函数的图像，得出、的函数解析式是解题的关键． 根据三角形面积公式得到、之间的关系式为， 由可知函数图像在第一象限，从而得到答案． 【详解】解：三角形的面积公式得：， ， ，， 图像在第一象限， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，若反比例函数（）的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，和都满足解析式，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得： 故答案为：． 3．已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，画图见详解 (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 巩固课内例6:反比例函数的增减性 1．已知反比例函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．图象必经过点 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，直接根据反比例函数图象与性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由知，此反比例函数的图象位于第二、四象限，故原描述错误，不符合题意； B、由知，在每一象限内，y随x的增大而增大，故原描述错误，不符合题意； C、由于，，则此图象与坐标轴不相交，故原描述正确，符合题意； D、由于时，，则此图象不经过点，故原结论错误，不符合题意． 故选：C． 2．已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 时，，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 3．已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）∵， ∴反比例函数的图象过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为；当时，有最小值为， ∴． 巩固课内例7:最大利润问题 1．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【答案】B 【分析】设利润为y，售价定为每件x元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x的值即可． 【详解】设利润为y，售价定为每件x元， 由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]， 整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360， ∵-10＜0， ∴开口向下， 故当x=24时，y有最大值． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法． 2．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大，最大利润为 元． 【答案】 22 98 【分析】设定价为x元，根据“总利润=单件利润×件数”即可求出y与x的函数关系式，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：设定价为x元， 由题意得：y＝(x－15)[8+2(25－x)] ＝－2x2+88x－870 ＝－2(x－22)2+98， ∵a＝－2＜0， ∴当x＝22时，y最大值＝98， 即当定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大，最大利润为98元， 故答案为：22，98． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键． 3．某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销玩具进货价为每个28元，标价为每个40元． (1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后这种热销玩具以每个元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个标价40元时，平均每天能售出80个，当这种热销玩具每个售价每降元时，平均每天就能多售出5个．当每个玩具实际售价为多少元时，商城销售这种玩具利润最大，每天的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)实际销售价为38元时，每天的最大利润为1000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每次降价的百分率为x，该玩具连续两次降价后的价格可表示为，所以可列方程，解方程即得答案； （2）设每个玩具降m元，商场每天的利润为w元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设每个玩具降m元，商场每天的利润为w元， 由已知得：， 即， ， 当时，w有最大值1000， 即实际销售价为元时，每天的最大利润为1000元． 类型一、反比例函数的定义 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式（为常数，）． 根据反比例函数定义，逐一分析选项，判断是否符合为常数，的形式． 【详解】根据反比例函数定义，不是反比例函数， 符合反比例函数的定义，它是反比例函数， 故选：D． 2．给出的六个关系式：①x（y+1）；②y＝；③y＝；④y＝﹣；⑤；⑥ ，其中y是x的反比例函数是 ． 【答案】④⑥ 【分析】根据反比例函数的定义求解可得． 【详解】解：①x（y+1）不是函数，不符合题意； ②y＝是y关于x+2的反比例函数，不符合题意； ③y＝是y关于x2的反比例函数，不符合题意； ④y＝﹣＝，是y关于x的反比例函数，符合题意； ⑤是y关于x的正比例函数，不符合题意； ⑥y＝＝，是y关于x的反比例函数，符合题意； 故答案为：④⑥． 【点睛】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0）． 3．某养鱼专业户准备挖一个面积为的矩形鱼塘，若该矩形鱼塘的长为，宽为，那么是的函数吗？是反比例函数吗？ 【答案】是的函数，是反比例函数 【分析】根据矩形的面积公式，得即，解答即可． 本题考查了矩形的面积，反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得即， 故是的函数，且是反比例函数． 类型二、反比例函数与一次函数的图象 1．在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．根据函数解析式分别讨论正比例函数与反比例函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】解：函数中，，则函数图象经过一、三象限， 函数中，，则函数图象经过二、四象限， 可见，符合条件的只有A． 故选：A． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点. (1)求，对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象写出关于x的不等式的解集。 【答案】(1) (2)的面积为 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数图像交点的应用、三角形面积的计算以及利用函数图像解不等式，解题的关键是通过交点坐标求出函数解析式，结合图像性质分析面积和不等式解集． （1）利用点A的坐标求出反比例函数解析式，再通过反比例函数求出点B的横坐标，最后用两点坐标求出一次函数解析式； （2）找到直线与x轴的交点，将分割为两个三角形，利用坐标计算面积之和； （3）观察函数图像，确定一次函数图像在反比例函数图像下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ， 解得：， 则双曲线函数解析式为 ∵点在双曲线上， ∴， 解得：即． ∵点、在直线上， ∴， 两式相减得：， 解得：， 将代入，得 解得 ∴． 综上，， （2）解：设直线与x轴交于点， 令则， 解得即． ∴的面积 ∵、、 ∴的面积． （3）解：观察函数图像，当时，x的取值范围是或． 类型三、反比例函数的对称性 1．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称，其交点也关于原点对称这一特性，或通过联立函数解析式求解交点坐标． 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称；已知点则其关于原点对称的点A的坐标为． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴它们的交点A、B也关于原点对称． ∵关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，且点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 2．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于点，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，解题的关键是利用反比例函数求出点坐标，再根据两函数图象的对称性确定点坐标． 先将点的横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，再依据反比例函数与正比例函数图象的对称性（关于原点对称）求出点坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵A、两点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 3．学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 【答案】(1)见解析 (2)①增大；② (3)上；2个；或 【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可． 【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示， （2）解：观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 故答案为：； （3）解：函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， ∵当时，， ∴当时，x的取值范围是或． 故答案为：上；2个；或． 类型四、求反比例函数的值 1．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象与点的关系，求出反比例函数解析式成为解题的关键． 先求得反比例函数解析式，然后将各选项代入判断即可． 【详解】解：设反比例函数表达式为， 把代入得：，即反比例函数解析式为． A．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C．由，则点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； D．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．已知y与x成反比例，并且当时，，当时，y的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式是解题关键；根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】解：设反比例函数为， 当时，，， 解得， 反比例函数为， 当时，， 故答案为：6． 3．已知与成反比例，且当时，，求当时，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例的函数值，设，利用待定系数法求出，再把代入中求出y的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：， ∴当时，． 类型一、反比例函数表达式 1．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象经过点，代入解析式，解之即可求得本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 故选： 2．已知一个函数具有以下条件：①该函数图象是双曲线；②当时，y随x的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数关系式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用已知条件写解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知条件可以确定此函数的解析式一般形式，再分析得出符合要求的解析式，即可得出答案． 【详解】解：∵①该函数图象是双曲线；②当时，y随x的增大而增大， ∴符合上述条件的函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图所示，一次函数的图象与反比例函数．的图象交于，两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)y=，y= (2)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，熟练利用数形结合的方法解题是关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）把不等式化为，再利用图象法解不等式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，， ∴，， ∴,， ∴， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， 由图象可知：不等式的解集为或． 类型二、注水问题 1．下面的五个问题中都有两个变量： ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间； ②汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间； ③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间； ④三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高； ⑤矩形面积一定时，周长与一边长； 其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是（    ）    A．①② B．②④ C．①④ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】题中变量与变量之间的函数关系如图所示的图像表示反比例函数，再由五个问题中的两个变量的函数关系逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题可知变量与变量之间的函数关系为反比例函数， ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间，则注水量（定值），从而变量与变量之间的函数关系为反比例函数，符合题意； ②汽车匀速行驶时，行驶的距离与行驶的时间，则速度（定值），从而变量与变量之间的函数关系为正比例函数，不符合题意； ③小明打篮球投篮时，篮球离地面的高度与篮球离开手的时间，从而变量与变量之间的函数关系为二次函数，不符合题意； ④三角形面积一定时，它的底边长与底边上的高，则三角形面积（定值），从而变量与变量之间的函数关系为反比例函数，符合题意； ⑤矩形面积一定时，周长与一边长，则矩形面积（定值），从而变量与变量之间的函数关系为，不符合题意； 五个问题中变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图像表示的是①④， 故选：C． 【点睛】本题考查函数图像，读懂题意，找到各个问题中变量之间的函数关系是解决问题的关键． 2．一个游泳池的容积为，游泳池注满水所用时间与注水速度 （填“成正比例”、“成反比例”、“不成比例”）． 【答案】成反比例 【分析】根据注水速度注水时间=游泳池的容积可得，变形即可求出与的函数解析式 【详解】解：由题意得 整理得 答案为：成反比例 【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，掌握注水速度注水时间=游泳池的容积是解题关键 3．若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 【答案】(1) (2)50升/分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据水池容积不变，得到等式，即可求解； （2）将代入（1）所得方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，有， 解得， 注水的速度为50升/分钟． 类型三、反比例函数与一次函数综合问题 1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． 把点代入，可求出交点的坐标，再把交点的坐标代入，即可求解． 【详解】解：把点代入得： ， ∴交点的坐标为， 把点代入得： ． 故选：A 2．在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的交点问题； 先求出点，的坐标，然后画出函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：把代入得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 画出函数图象如图： 由函数图象可得：不等式的解集为或， 故答案为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)直接写出当时x的取值范围； 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用函数图象上的点坐标求函数表达式，以及通过图象确定不等式的解集． （1）先利用反比例函数图象上点的坐标求出反比例函数表达式，再代入点坐标求出，最后用两点坐标求一次函数表达式； （2）通过观察一次函数与反比例函数图象的位置关系，确定一次函数图象在反比例函数图象上方（包括交点）时的取值范围． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象过点， 把代入，可得，解得． 所以反比例函数的表达式为； 点在反比例函数上，把代入，得，即， 一次函数的图象过两点，把这两点坐标代入， 得到方程组 解得，， 所以一次函数的表达式为； （2）解：已知两函数交点为， 所以当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方（包括交点）， 即时的取值范围是或． 类型一、反比例函数k的几何意义 1．如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．根据的面积，先设A、B两点坐标（其纵坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设A、B两点的坐标分别是，， 则，， 的面积为4，即， ， ． 故选：D． 2．如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A作轴于点C，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据图形面积求反比例函数的比例系数，正确利用对称性得到点B的坐标为是解题的关键． 设点A的坐标为，由对称性可知点B的坐标为，再由轴，得到，再由进行求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵直线与双曲线的图象交于A、B两点， ∴点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为4． (1)求的值； (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积； (3)直接写出的解集． 【答案】(1)8 (2)15 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题： （1）先求出点A的坐标，再把出点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，分别过点C，A作轴于点E，轴于点F，则，然后根据，解答即可； （3）先求出点B的坐标，再直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把点代入得： ； （2）解：由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵双曲线上一点的纵坐标为8， ∴当时，， ∴点， 如图，分别过点C，A作轴于点E，轴于点F，则， ∴， ∴ ； （3）解：∵直线与双曲线交于，两点，， ∴点， 观察图象得：当或时，双曲线位于直线的上方， ∴的解集为或， 即的解集为或． 类型二、反比例函数中的图形面积 1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 2．如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶ 设，由直线轴， ，两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上 当，． 即A点坐标为， 点B在反比例函数的图象上， 当，． 即B点坐标为． ． ． 故答案为∶3 3．如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E，则四边形、四边形、四边形都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形与的面积关系即可求得结果； （2）根据平行线间距离处处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E， ∵轴， ， ∴轴， 即， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， 由反比例函数比例系数k的几何意义知：，， ∴， ∵， ∴． （2）如图， ∵且两平行线间的距离处处相等， ∴ 类型三、反比例函数的实际应用 1．化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 依据题意，的值即为乙醇质量，再根据图象即可确定甲瓶乙醇质量最多，丙瓶乙醇质量最少，乙、丁两瓶乙醇质量相同． 【详解】解：根据题意，可知的值即为乙醇质量， 描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两瓶乙醇质量相同． 点甲在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面， 甲瓶的的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的的值最小，即乙醇质量最少， 故答案为：甲． 2．某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 先利用待定系数法求出函数解析式，再求出时，的值． 【详解】解：设， 当时，， 当时，， ∵当从增加到时，电功率减少了， ∴，解得：， ∴， 当时，（）， 故答案为：． 3．在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【详解】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$