21.1—21.2 二次函数 二次函数的图象与性质 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（沪科版）

21.1—21.2 二次函数 二次函数的图象与性质 一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二、二次函数的图象 二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为。 三、二次函数的性质 1.对称性：二次函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线。 2.最值性：当a>0时，抛物线有最低点，即顶点，函数有最小值；当a<0时，抛物线有最高点，即顶点，函数有最大值。 3.增减性：在对称轴左侧，当a>0时，y随x的增大而减小；当a<0时，y随x的增大而增大。在对称轴右侧，当a>0时，y随x的增大而增大；当a<0时，y随x的增大而减小。 4.与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点即为一元二次方程ax²+bx+c=0的根。抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）。 巩固课内例1:矩形围栏问题 1．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 2．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为，写出S与x之间的函数表达式 ．（化为一般式，不写x的取值范围） 3．如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力．某校生物兴趣小组用长为的篱笆，一面靠墙围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园．当的长度为多少时，围成的菜园面积最大？求出此时菜园面积的最大值． 巩固课内例2:安装分配问题 1．如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（   ） A． B． C． D． 2．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 3．为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 巩固课内例3:y=x²的图象与性质 1．函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 3．抛物线与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； 巩固课内例4:y=ax²的图象与性质 1．四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 3．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 巩固课内例5:y=ax²+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．抛物线的顶点坐标为 ． 3．二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 巩固课内例6:y=a(x-h)2的图象与性质 1．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 3．如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 巩固课内例7:y=a(x-h)²+k的图象与性质 1．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 2．抛物线的图象上有两点，，则，的大小关系是 ． 3．已知二次函数，当时，有最值为4，且函数图象经过点．求该二次函数的表达式． 巩固课内例8:待定系数法求二次函数函数表达式(已知三点坐标) 1．若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．过抛物线的解析式为 ； 3．（1）已知某抛物线与抛物线的形状和开口方向都相同，并且对称轴为，函数的最大值为4，求此抛物线的解析式； （2）已知一个二次函数图像经过，，三点，求它的解析式； 巩固课内例9:待定系数法求二次函数函数表达式(已知截距) 1．已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 2．在等式中，若；若；若；若 ． 3．已知抛物线经过点．求抛物线的解析式； 巩固课内例10:二次函数与一次函数的交点问题 1．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过第 象限．    3．如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 类型一、二次函数的概念 1．下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 3．在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 类型二、开口方向、对称轴、顶点坐标 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 3．已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 类型三、二次函数的平移 1．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 3．二次函数的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 解答下列问题： (1)求这个二次函数的解析式； (2)表格中m的值等于 ； (3)将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 类型一、正方形边长增加问题 1．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 2．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 3．已知块边长为的正方形草地．    (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少，再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则　　　　　（填“是“或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为， ①写出y与x之间的函数关系式， ②当时，求y的值． 类型二、二次函数的增减性 1．点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围． 类型一、二次函数的最值 1．已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 2．已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 3．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出的取值范围 ． 类型二、二次函数的周长问题 1．已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③； ④点D为对称轴上一点，当D为时周长最小； ⑤当图象经过点时，方程的两根为、，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 3．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 类型三、二次函数的面积问题 1．如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点，若，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．面积的最大值是 D．的最小值是3 2．如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)的面积； (3)点在抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1—21.2 二次函数 二次函数的图象与性质 一、二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二、二次函数的图象 二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为。 三、二次函数的性质 1.对称性：二次函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线。 2.最值性：当a>0时，抛物线有最低点，即顶点，函数有最小值；当a<0时，抛物线有最高点，即顶点，函数有最大值。 3.增减性：在对称轴左侧，当a>0时，y随x的增大而减小；当a<0时，y随x的增大而增大。在对称轴右侧，当a>0时，y随x的增大而增大；当a<0时，y随x的增大而减小。 4.与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点即为一元二次方程ax²+bx+c=0的根。抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）。 巩固课内例1:矩形围栏问题 1．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：， 即：， 与是一次函数关系，与是二次函数关系， 故选：D． 2．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为，写出S与x之间的函数表达式 ．（化为一般式，不写x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可知：，，利用矩形面积公式列式即可求出，解题的关键是找到所给面积的等量关系． 【详解】解：由题意可知：， ∴； 由矩形面积公式得： ∴， 故答案为：． 3．如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力．某校生物兴趣小组用长为的篱笆，一面靠墙围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园．当的长度为多少时，围成的菜园面积最大？求出此时菜园面积的最大值． 【答案】当的长度时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 先设，则，然后得到面积关于长度的函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则，菜园的面积为， 由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为192． 答：当的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为． 巩固课内例2:安装分配问题 1．如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解答此题关键是建立适当的坐标系，求得解析式，再根据题中数据要求代入计算即可． 以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出抛物线上三个点的坐标，求得抛物线的解析式，再代入对应数值解答即可． 【详解】解：如图，以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系． 则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为， 设抛物线解析式为：， 把点坐标代入，解得， 所以， 把代入， 解得； 此时设备的右侧离开门边米， 所以为了设备运进车间时才不致于碰门的顶部，， 故选：D． 2．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题． 利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面高为8米的点E，F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，． 设过点A， B， C 的抛物线方程为， 把点的坐标代入，得 ， 解得： ， 则该抛物线的解析式为：， 把 代入,得 ， 即 ， ∴， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： ， 故答案为： 3．为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台． (1)当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？ 【答案】(1) (2)当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出函数关系式和不等式组是解题的关键． （1）当时，；当时，设，再利用待定系数法求解即可； （2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，根据A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍建立不等式组求出m的取值范围为，再分和两种情况，分别求出w关于m的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，； 当时，设， 把代入中得：，解得， ∴； 综上所述，； （2）解：设采购A种器材m台，则采购B种器材台， 由题意得，， 解得； 当时，则， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为； 当时，则 ， ∵，对称轴为， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∵， ∴当，时，w有最小值， 答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）． 巩固课内例3:y=x²的图象与性质 1．函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点，解答此题的关键是理解二次函数图象上的点都满足二次函数的解析式，满足二次函数解析式的点都在二次函数的图象上．将点代入解析式求解判断即可． 【详解】解：A、当时，， 函数的图象一定经过点，符合题意； B、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； C、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； D、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 2．如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 3．抛物线与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； 【答案】(1)， (2)，顶点坐标为，对称轴为轴 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系等知识点， （1）先把点代入求出b，则确定交点坐标为，然后把代入得； （2）二次函数解析式为，根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：∵函数的图象与直线交于点， ∴， ∴， ∴交点坐标为， ∴把代入得； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为轴． 巩固课内例4:y=ax²的图象与性质 1．四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选：． 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，在中，的值越大，函数图像越靠近轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵，，的图像开口向上，的图像开口向下， ∴，，，， ∵，，的图像开口依次增大， ∴， ∴． 故答案为： 3．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)求的面积； (4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)6 (4)． 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （1）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （2）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于直线：， 当时，， ∴， ∴； （4）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 巩固课内例5:y=ax²+k的图象与性质 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴的计算公式计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 2．抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数(a，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，其顶点是，据此解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 3．二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)二次函数图像开口向________，顶点坐标________，对称轴为________； (3)通过计算判断点是否在函数的图像上． 【答案】(1)； (2)上；；y轴 (3)不在 【分析】（1）将点代入解析式求解即可得到答案； （2）根据二次函数的性质直接判断即可得到答案； （3）令代入解析式求出与比较即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为， 故答案为：上；；y轴； （3）解：当时， ， ∴点不在函数的图像上； 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，解题的关键是求出解析式，熟练掌握二次函数的性质． 巩固课内例6:y=a(x-h)2的图象与性质 1．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 2．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 3．如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值； (3)若点，在此抛物线上，比较与大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴，则， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）将代入中， 得：， 解得：； （3）∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 巩固课内例7:y=a(x-h)²+k的图象与性质 1．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．抛物线的图象上有两点，，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线的对称轴为，开口向下，越靠近对称轴的所对应的函数值越大，因为，则，即可作答． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，开口向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ，是抛物线的图象上的两点，且 ． 故答案为： 3．已知二次函数，当时，有最值为4，且函数图象经过点．求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式． 利用待定系数法求出二次函数解析式． 【详解】解：二次函数，当时，有最值为4， ∴， ∵此函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 巩固课内例8:待定系数法求二次函数函数表达式(已知三点坐标) 1．若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．利用待定系数法求得二次函数的解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，点和点， ∴， 解得， 故选：D． 2．过抛物线的解析式为 ； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，理解点坐标的特点，设二次函数解析式为，把点代入计算即可求解，掌握待定系数法求解析式，二次函数交点式是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象过， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 故答案为： ． 3．（1）已知某抛物线与抛物线的形状和开口方向都相同，并且对称轴为，函数的最大值为4，求此抛物线的解析式； （2）已知一个二次函数图像经过，，三点，求它的解析式； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据抛物线与的形状和开口方向都相同，可得，由对称轴为，函数的最大值为4可知抛物线的顶点为，即可求解； （2）设二次函数的解析式为，代入，，得到关于的方程组，解出的值即可得到抛物线的解析式． 【详解】解：（1）抛物线与的形状和开口方向都相同， 设抛物线的解析式为， 又对称轴为，函数的最大值为4， 抛物线的解析式为，即． （2）设二次函数的解析式为， 代入，，得，， 解得：， 二次函数的解析式为． 巩固课内例9:待定系数法求二次函数函数表达式(已知截距) 1．已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解一元一次方程，整式的混合运算，熟练掌握用待定系数法求二次函数的表达式是解题关键． 根据题意，设抛物线的表达式为，求得点坐标，将点坐标分别代入，求出的值，即可求解抛物线的表达式． 【详解】解：抛物线经过点和， 设抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点，且， 点坐标为或， 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即； 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即． 综上所述，抛物线的表达式为或． 故选：D． 2．在等式中，若；若；若；若 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查看运用待定系数法求函数解析式、求函数值等知识点，求得函数解析式成为解题的关键． 先运用待定系数法求函数解析式，然后将代入求y的值即可． 【详解】解：由题意可得： ，解得：， ∴， 当时，． 故答案为：9． 3．已知抛物线经过点．求抛物线的解析式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，利用待定系数法把代入二次函数中，即可算出的值，进而得到函数解析式． 【详解】解：抛物线经过点， 解得， 抛物线解析式为． 巩固课内例10:二次函数与一次函数的交点问题 1．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A.观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过第 象限．    【答案】一、二、三 【分析】根据二次函数图象可知，由此根据一次函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， 故答案为：一、二、三． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． 3．如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 类型一、二次函数的概念 1．下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、、为常数，的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．，分母中含有，不是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．当时，（、为常数）是一次函数，当时，是常函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3．在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 【答案】二次函数有：，，，． 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1；（2）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为2．根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：二次函数有：，，，． 类型二、开口方向、对称轴、顶点坐标 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质，确定对称轴为直线，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式中确定对称轴，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线的对称轴是直线， 故选：C． 2．如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质得出，求一元一次不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得， 故答案为：． 3．已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 【答案】(1)①；② (2)的值为或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质以及平移，熟记二次函数的增减性是解本题的关键； （1）①把 代入即可求得解析式，把解析式化成顶点式，求得顶点坐标即可； ②根据二次函数的增减性得出 ，结合，求出m的取值范围解题即可； （2）求得抛物线的解析式，进而求得平移后的函数解析式，根据题意分情况得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①当 时，抛物线解析式为 ， ， ∴顶点坐标为：； ②∵二次函数的对称轴为直线， ∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ． （2）解：， ∴抛物线的顶点为 ， ①若 ，将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 ， ∴对称轴为直线，而， ∴当时，此时， ∵， ∴当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当时，此时， 此时当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ②若 ， ∵对称轴为直线，而，， ∴当时，函数取得最大值，则，解得：，不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 类型三、二次函数的平移 1．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移及性质，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：抛物线，则它的顶点坐标为， 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线为． 此时抛物线顶点坐标是． 故选：D． 2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 3．二次函数的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 解答下列问题： (1)求这个二次函数的解析式； (2)表格中m的值等于 ； (3)将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 【答案】(1) (2)17 (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式，求函数值，二次函数图象的平移； （1）根据表格数据得出顶点坐标为，设该二次函数解析式为，将，代入，求出a的值即可； （2）将代入（1）中解析式即可求出m； （3）根据“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可知，当和时的函数值为， ∴对称轴是直线，该函数有最小值，即顶点坐标为， ∴设该二次函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 故答案为：17； （3）解：将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，可得：， ∴平移后的二次函数解析式为：． 类型一、正方形边长增加问题 1．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加平方厘米，那么与之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】D 【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题． 【详解】解：由题意得， 与之间满足的函数关系是二次函数， 故选：D． 【点睛】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 3．已知块边长为的正方形草地．    (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少，再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则　　　　　（填“是“或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为， ①写出y与x之间的函数关系式， ②当时，求y的值． 【答案】(1)是； (2)①；②； 【分析】（1）根据题意结合面积公式列出关系式判断即可得到答案； （2）①根据正方形面积公式直接求解即可得到答案； ②将代入解析式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：变化后草地的一边长为，另一边长为， 则， ∴S是关于x的函数， 故答案为：是； （2）解：①由题意知，扩充后的草地的边长均为， 则， ∴y与x之间的函数关系式是； ②当时，； 【点睛】本题考查二次函数几何问题，解题的关键是根据面积公式列等式． 类型二、二次函数的增减性 1．点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质（抛物线的对称性、增减性），解题的关键是利用二次函数的对称轴判断点到对称轴的距离，结合函数的增减性比较函数值的大小． 分析二次函数的开口方向（向下）和对称轴轴）；根据抛物线关于对称轴对称，可得与到对称轴距离相等，故根据对称轴右侧y随x增大而减小，结合在对称轴右侧且横坐标大于2，可得，进而得出大小关系． 【详解】： ∵函数是二次函数，且 ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴． ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随x的增大而增大；在对称轴右侧随x的增大而减小；且抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大． ∵点到对称轴的距离均为2， ∴根据抛物线的对称性，． ∵点在对称轴右侧，且， ∴在对称轴右侧，x越大，y值越小，故． 综上，． 故选：D． 2．已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线，可以判断得解； （2）依据题意，由，故抛物线开口向下，进而抛物线上的点到对称轴越大对应的函数值就越小，再结合对于点，，，总有，又抛物线的对称轴是直线，可得，进而分类讨论即可计算得解． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：抛物线的对称轴为直线， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 抛物线开口向下， 抛物线上的三个点，，，总有， ． ． ①当时， ． ． ②当时， ． ． 综上，或． 类型一、二次函数的最值 1．已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，再根据当时，函数y的最小值为即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数的开口向下，函数的对称轴为直线， ∴越远离对称轴的所对应的函数值越小， 把代入得， ∴函数的顶点坐标为， ∴当时，， ∵当时，函数y的最小值为， ∴在函数上 ∴， 解得或（舍去）． 故选：D． 2．已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，正确理解二次函数的性质是本题解题的关键． 由题求得抛物线的对称轴为直线，分类讨论，，，根据函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：原式变形为， 对称轴为， 二次函数当时，有最小值为4， ①当时， 当时，有最小值为4， ， 解得：,(舍去)， ②当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去）， 满足条件的m的值为或． 故答案为：；． 3．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移个单位长度，向左平移（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出的取值范围 ． 【答案】(1)； (2)的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点的应用及运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （）将点的坐标和对称轴代入二次函数中，可得答案； （）表示出平移后的点的坐标，再代入关系式，求出答案； （）先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线， ∴，解得， ∴二次函数的关系式为； （2）解：将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度的点为，恰好落在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的值为； （3）解：∵， ∵， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，， 且根据对称性，与对应的函数值相等， 分三种情况： 当时， 当时，随的增大而减小， 那么时取得最大值，时取得最小值，最大值为，最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， ∴，解得， 这种情况不符合题意，舍去； 当时，此时时取得最大值，时取得最小值，最大值为5，最小值为， 此时最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，此时时取得最小值，时取得最大值，最小值为，最大值为， 由题意可得：， 解得，， 这种情况不符合题意，舍去； 综上，得到的取值范围为：． 故答案为：． 类型二、二次函数的周长问题 1．已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③； ④点D为对称轴上一点，当D为时周长最小； ⑤当图象经过点时，方程的两根为、，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的交点问题，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据抛物线的开口方向、对称轴以及与轴交点，可判断①结论；根据抛物线与轴有两个交点，可判断②结论；先判断出对称轴，再根据时，，可判断③结论；连接、、、，当、、三点共线时，周长最小，求出直线的解析式，即可判断④结论；根据二次函数与直线的两个交点，可判断⑤结论． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴， ，，， ， ，①结论正确； 抛物线与轴有两个交点， ， ，②结论正确； 抛物线与轴的两个交点分别为和， 对称轴为直线， ， ， 时，， ，③结论正确； 如图，连接、、、， 点D为对称轴上一点，点、关于对称轴对称， ， 周长， 即当、、三点共线时，周长最小， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， 即当D为时周长最小，④结论正确； 图象经过点， ， 当图象经过点时，方程的两根为、， 二次函数与直线的一个交点为， 对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， ，， ，⑤结论正确； 故选：D． 2．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 3．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质． （1）利用待定系数法求得抛物线的函数表达式，化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，在抛物线上， ∴点，关于抛物线对称轴对称， ∴由抛物线的对称性得， ， 当时，，则点的纵坐标为， 矩形的周长 ， ， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 类型三、二次函数的面积问题 1．如图，菱形中，，是边上一点，是边上一点，，连接交于点，若，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．面积的最大值是 D．的最小值是3 【答案】D 【分析】先证明是等边三角形；得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断A选项；根据，为定值，得出当最小时，最大，根据时，最小，此时最大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据，得出，说明当最小时，面积最大，根据为等边三角形，得出当边长最小时，面积最小，求出的最小值为，最后求出结果即可判断C选项；设，，根据，根据二次函数性质，说明有最大值，求出最大值为3，即可判断D选项． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵为等边三角形， ∴此时， 根据勾股定理得：， ∴的最小值为，故A正确，不符合题意； ∵，为定值， ∴当最小时，最大， 当时，最小，此时最大， ∵是等边三角形， ∴当时，，， ∴， ∴此时平分， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴此时， ∴， ∴此时， 根据勾股定理得：， ∴此时， 即的最大值为1，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，面积最大， ∵为等边三角形， ∴当边长最小时，面积最小， ∵的最小值为，此时上的高为3， ∴的最小值为， ∴面积的最大值为，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 设，， ∴ ， ∴当时，取最大值， ∴此时， ∴此时， ∵为等边三角形， ∴此时，， ∴此时， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴此时， ∴， ∴， 即的最大值为3，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 2．如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四边形是平行四边形，根据求出线段的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，由平移的性质可知四边形是平行四边形， 当时，， 解得， ∴． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴抛物线向下平移了4个单位长度， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：16． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)的面积； (3)点在抛物线上，且是以为底的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图象性质，割补法求三角形面积，等腰三角形的判定等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． （1）把，代入运算求解即可； （2）利用割补法运算求解即可； （3）根据等腰三角形的性质推出，列方程运算求解即可． 【详解】（1）解：把，代入可得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标； （2）解：过点作，交轴于点，，垂足为如图所示： ∵， ∴， 把代入可得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴，，，，，， ∴； （3）解：令且满足，，， ∵是以底的等腰三角形， ∴，即， 化简得：， 由， 解得：或， ∴点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$