1.1.2空间向量的数量积运算课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算 一、选择题 1．对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．a·(b＋c)＝a·b＋a·c C．若a·b＜0，则a，b的夹角是钝角 D．(a·b)c＝a(b·c) 2．已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a－b＋c|＝(　　) A． C．3 D．6 3．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 4．(多选)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则以下结论中一定成立的是(　　) A．||＝|| B．()·＝0 C．||2＝||2＋||2＋||2 D．··· 5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足＝0，＝0，＝0，则△BCD一定是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 6．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PC＝2，PB＝1，且∠APB＝∠CPB＝∠APC＝60°，点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC＝2DG，则下列说法正确的是(　　) A．PG＝ B．PG＝ C．＝－ ＝－ 7．(多选)在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b和a×b构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示)； ②a×b的模|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角)． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有(　　) A．||＝|| B．与共线 C．＝ D．6||与正方体表面积的数值相等 二、填空题 8．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量的模长为 ________． 9．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则＝________． 10．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为 ________． 11．已知空间四面体OABC各边长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则向量与向量的夹角的余弦值为________． 三、解答题 12．如图所示，在棱长均为1的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝＝＝，设＝a，＝b，＝c． (1)试用a，b，c表示； (2)求MN的长度； (3)求直线AA1与直线MN所成角的余弦值． 13．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为． (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长． 14．如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为∠ACB的平分线，AC＝4，BC＝2，过点B作BN⊥CD于点N，延长后交CA于点E，把图形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如图2所示，求折起后所得线段AB的长度． 参考答案 1．B　[对于A，由a⊥b，b⊥c可能得a∥c，故A错误； 对于B，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，故B正确； 对于C，a·b<0，则a，b的夹角是钝角或平角，故C错误； 对于D，(a·b)c表示与c共线的向量，而a(b·c)表示与a共线的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等． 故选B．] 2．A　[因为空间单位向量a，b，c两两垂直，所以a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0． 所以|a－b＋c|2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3， 故|a－b＋c|＝．故选A．] 3．AB　[对于A，··＝1××＝1，故A正确； 对于B，··()＝···()＝·＝1，故B正确； 对于C，··()＝··＝－1，故C错误； 对于D，··()＝··＝0，故D错误． 故选AB．] 4．ACD　[由题意可知，两两垂直，所以···＝0， 即()·＝0． 对于A，()2＝()2＋＋2()·＝()2＋，()2＝()2＋－2()·＝()2＋，所以()2＝()2， 即||，故A正确； 对于B，()·＝()·()＝， 当时，＝0，否则不成立，故B错误； 对于C，||2＋2(···) ＝||2＋2(0＋0＋0)＝||2， 故C正确； 对于D，··()＝0， 同理可得·＝0，·＝0， 所以···，故D正确．故选ACD．] 5．B　[因为·＝0，·＝0，·＝0， 所以·＝()·()＝···>0， 所以cos∠CBD＝>0，故∠CBD是锐角．同理·>0，·>0，可得∠BCD，∠CDB都是锐角，故△BCD是锐角三角形．故选B．] 6．AC　[因为点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC＝2DG， 所以()＝，由于PA＝PC＝2，PB＝1， 故|＝ ＝，故A正确，B错误； 因为，所以·＝()· ＝(··) ＝，故C正确，D错误．故选AC．] 7．ABD　[对于A，设正方体的棱长为1，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，<>＝60°，则|×|·sin<××， 因为BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以<>＝120°， 所以|×××，所以|××|，故A正确； 对于B，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1⇒A1C1⊥平面BB1D1D， BD1⊂平面BB1D1D⇒BD1⊥A1C1，同理BD1⊥A1D， 由右手系知，×共线，故B正确； 对于C，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，由a×b模的定义知，|a×b|＝|a||b|sin<a，b>＝|b|·|a|sin<a，b>＝|b×a|， 所以a×b＝－b×a，则××，故C错误； 对于D，设正方体棱长为1，6|×|·||·sin 45°＝6×1××＝6， 正方体表面积为6，故D正确． 故选ABD．] 8．1　[a·b＝|a||b|cos 60°＝2×6×＝6． 2a－b在a方向上的投影向量的模长为 ＝1．] 9．a2　[记＝a，＝b，＝c， 由题知|a|＝|b|＝|c|＝a，所以·＝()··， 因为()＝(a－c)，b， 所以·(a－c)·(b·c－b·a)＝＝0， 又a2，所以·a2．] 10．2　[由题意，知·＝0，·＝0，， 所以|···＝62＋42＋82＋2×6×8cos 120°＝68，所以CD＝2．] 11．－　[由已知得()，， 因此|， |． 又因为·()·×2－×2＋×2－2＝－2，所以向量．] 12(1)()－()＝c． (2)由(1)知(b2＋4b·c＋4c2)＝×，所以|． (3)·＝c·b·c＋c2＝， 因为cos<． 所以直线AA1与直线MN所成角的余弦值为． 13．解：(1)证明：． 因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0． 又△ABC为正三角形， 所以<． 因为·＝()·() ＝··· ＝||·cos< ＝－1＋1＝0， 所以⊥，即AB1⊥BC1． (2)结合(1)知·|·cos<－1． 又||， 所以|cos<， 所以||＝2，即侧棱长为2． 14．解：如图，过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M， 则CM＝AC·cos∠ACM＝4×cos 30°＝2，CN＝CB·cos∠BCD＝2×cos 30°＝，∴MN＝CM－CN＝． 易知AM＝AC·sin 30°＝2，BN＝BC·sin 30°＝1，且<>＝120°，∴<>＝60°． ∵⊥，∴··＝0． ∵，∴···＝4＋3＋1＋2·||cos 60°＝10． ∴|，即折起后所得线段AB的长度为． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $$