22.3实际问题与二次函数（图形问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数（图形问题）跟踪练习 一、单选题 1．分别用4米的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积更大？（   ） A．矩形 B．圆 C．矩形和圆的面积一样大 D．无法确定 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　） A．若，，则有一种围法 B．若，，则有一种围法 C．若，，则有两种围法 D．若，，则有一种围法 4．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （    ） A． B．    C． D． 7．如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为，设饲养室宽为，占地总面积为，则三间饲养室总面积有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 8．如图，正方形的顶点A、B与正方形的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点落在与y轴的交点上，两正方形的边与同时落在x轴上．若正方形的边长为4，则正方形的边长为（    ）． A． B． C． D． 9．一边靠墙（墙有足够长），其他三边用米长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是（    ）平方米． A． B． C． D． 10．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．下列说法错误的是（    ） A．S与x的关系式为 B．当时， C．当时， D．不论a为何值，S的最大值均为1250 二、填空题 11．将一条长为的铁丝剪成两段，并分别围成正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为 ． 12．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为米，则篱笆围成的矩形面积最大为 平方米． 13．如图，正方形的顶点与正方形的顶点同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在和轴上，正方形边与同时落在轴上，若正方形的边长为，则正方形的边长为 ． 14．如图，点，，，分别在菱形的四条边上，，连接，，，，得到四边形，．设四边形的面积为，的长为，若关于的函数图象如图所示，则的长为 ． 15．如图，某农场拟建造由甲乙两个矩形组成的羊羔饲养室，饲养室的一面靠9米长的墙，其余的部分用栅栏围成甲乙两部分，已知提前准备的建筑材料可以建造24米长的栅栏，则该羊羔饲养室最大面积可以建造 平方米． 三、解答题 16．如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力．某校生物兴趣小组用长为的篱笆，一面靠墙围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园．当的长度为多少时，围成的菜园面积最大？求出此时菜园面积的最大值． 17．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长，中间用一道围墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两间饲养室合计长，总占地面积为 (1)求关于的函数表达式和自变量的取值范围． (2)画出函数的图象． (3)若要使两间饲养室占地总面积达到；求各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？ 18．为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） (1)试用含x的代数式表示y； (2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 19．用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第n个图形中含有正方体木块s个． (1)填表： n 1 2 3 4 … s (2)已知s是n的二次函数，求这个二次函数的表达式． (3)第10个图形中的正方体木块有多少个？ (4)是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 20．慕梓睿学习了二次函数后，在学校的空地上设计了一个花园，它是由两条抛物线L和围成．如图，这两个抛物线都过空地上O、A两点，且它们关于直线对称，点D、E 是抛物线L上关于对称轴对称的两点（点D在点E左侧），，再作点D 、E关于直线的对称点、，顺次连接D、E、、，得到矩形．以直线为x轴，以过点O且与垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知米，抛物线L的顶点B到的距离为6米． (1)求抛物线L 的表达式； (2)若沿矩形的边围一圈篱笆，将花园内部分为不同区域种植花卉，慕梓睿通过研究发现，当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小，求篱笆总长度的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.3实际问题与二次函数（图形问题）跟踪练习2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D B A C C C D 1．B 【分析】本题考查正多边形、圆的问题，以及二次函数的最值，解题的关键是熟练运用特殊图形的周长和面积计算公式以及求二次函数最值的方法． 分别表示出矩形、圆的面积，再比较大小即可． 【详解】解：设矩形一边长为，则另一边长为， ， 此时矩形面积最大值为， 周长为4的圆的半径为， 圆的面积为， 面积最大的图形是圆， 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出关于的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，设矩形的宽为米，则长为米，，，得到，再逐项计算分析即可得解． 【详解】解：如图，设矩形的宽为米，则长为米， 根据题意得，， ∴， A、当，时，，，即， 解得：，，均不符合题意，故A选项错误； B、当，时，，，即， 解得：（不符合题意，舍去），，故有一种围法，故B选项正确； C、当，时，，，即， 解得：，，均符合题意，故C选项正确； D、当，时，，，即， 解得：，则有一种围法，故D选项正确； 故选：A． 4．D 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 5．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．． 过点作于点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了二次函数的应用；建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可． 【详解】解：依题意，建立如图所示的直角坐标系，设截面抛物线．    将代入，得．解得． ∴． 将代入， 得． 解得． ∴，， ∴． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设饲养室宽为，则长为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围，再根据二次函数的性质进行求解． 【详解】解：设饲养室宽为，则长为， ， ， ； 在时，随的增大而减小， 当时，， 即最大值为， 故选：C． 8．C 【分析】此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键；本题根据题意得出抛物线表达式，进而表示出G点坐标，再利用列方程求解，进而求出结果即可． 【详解】解：正方形的边长为4， 抛物线的顶点为，， 设抛物线的表达式为， 将代入得， ， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形垂直于墙的边长为米，面积为平方米，根据矩形的面积公式即可求出函数解析式，再利用配方法即可求出函数最值，解题的关键在于找出等量关系列出函数解析式． 【详解】解：设矩形垂直于墙的边长为米，面积为平方米， 根据题意得：， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 故选：． 10．D 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，根据“矩形的面积=长×宽”即可得出S与x的关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设，则，故选项A正确，不符合题意； （2）设，则， 根据题意得， 解得， 当时，符合题意； 当时，不符合题意；， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴S有最大值，即当时，S的最大值为1250，故C正确，不符合题意； 当时，则，S随x的增大而增大， 当时，S的最大值为； 当时，S的最大值为1250． 综上所述，当a在0和50之间的时候，矩形菜园面积的最大值为1250平方米，故选项D符合题意； 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意得出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：设其中一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，两个正方形的边长分别为，． 设两个正方形的面积之和为，则． ∵， ∴当时，取得最小值，为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键． 首先设围成矩形的长是米，则宽为米，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设围成矩形的长是米，则宽为米，矩形的面积为： ． 二次项系数为， 当时，有最大值，最大值为平方米． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求出抛物线解析式，进而表示出点坐标，利用列出方程解答即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴抛物线顶点坐标为，， 设抛物线解析式为，将代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 设点坐标为，则， 整理得，， 解得，(不合题意，舍去)， ∴正方形的边长， 故答案为：． 14． 【分析】根据四边形是菱形，且，可以判断和是等边三角形，设菱形的边长为，根据等边三角形的性质可以得到和的长度，根据相似三角形的性质和菱形的性质可以判断四边形是矩形，根据矩形的面积公式可得，再根据函数图象可知矩形的最大面积为，所以可得方程，解方程可以求出菱形的边长的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， 如图所示，连接、交于点， 和是等边三角形， ， ， 且， 且， 同理可证：且， 又四边形是菱形， ， 四边形是矩形， 设菱形的边长为， 则， ，， ， ， ， 整理得：， 由函数图象可知：的最大值为， ， 解得：或(舍去)， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、二次函数图象综合、相似三角形的判定和性质．解决本题的关键是把四边形的面积用含的关系式表示出来，根据函数图象中面积的最大值求解． 15．45 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 设宽为x米，则长为（米），先求出的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求解最值． 【详解】解：设宽为x米，则长为（米）， 则， 解得： 由题意得：， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时， 平方米， 故答案为：45． 16．当的长度时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 先设，则，然后得到面积关于长度的函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则，菜园的面积为， 由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为192． 答：当的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为． 17．(1) (2)见解析 (3)各道墙的长度为，，，或，，，时，总面积达到，总面积不可能达到 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形的面积长宽，计算即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）构建方程即可解决问题；求出函数的最大值即可判断 【详解】（1）解：由题意：， 即． （2）列表如下： 0 10 15 30 40 60 70 85 90 100 0 300 425 700 800 800 700 425 300 0 描点，连线画图如下： （3）当时，， 解得或60， 各道墙的长度为，，，或，，，时，总面积达到． ∴当时，， 总面积不可能达到． 18．(1) (2)；能，设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． （1）整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可； （2）①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；②先根据题意求出x的取值范围，再根据①所求令费用为万元建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由题意得， ； ②∵矩形的边的长不超过长的， ∴， 解得， 当时，则， 解得（舍去）， ∴． ∴设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆． 19．(1)1；6；15；28 (2) (3)第10个图形中的正方体木块有190个 (4)存在，它是第30个图形 【分析】（1）由图形可知：第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个；第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个；第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个…由此规律得出第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个，进一步代入求得答案即可； （2）把代入函数解析式即可得到结论； （3）把代入函数解析式，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵第1个叠放的图形中，小正方体木块个数有1个； 第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个； 第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个； 第4个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个； （2）解：第n个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个， 二次函数的表达式为； （3）解：当时，， 答：第10个图形中的正方体木块有190个； （4）解：当时，即， 解得：（舍去），， 存在，它是第30个图形． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】根本主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数的对称轴是解题的关键． （1）根据题意得到，设抛物线为，运用待定系数法即可求解； （2）当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小，则当时，可求出，根据对称的性质得到，，所以，，由周长的计算公式计算即可求解． 【详解】（1）解：已知米，抛物线L的顶点B到的距离为6米， ∴，设抛物线为， 将代入，得， 解得 ∴抛物线为； （2）解：当点D的横坐标为时，篱笆总长度最小， ∴当时，， ∴， ∵点D 和点E 关于对称轴直线对称 ， ∴， ∵点D和点关于x 轴对称， ∴ ， ∴，， ∴， ∴篱笆总长度的最小长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$