精品解析：湖南省株洲市石峰区龙头铺镇中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

株洲市石峰区龙头铺镇中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 以下列各组数据为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 13，14，15 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理逐一判断即可求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、， 3，4，5能构成直角三角形，故不符合题意； B、， ∴6，8，10能构成直角三角形，故不符合题意； C、， 13，14，15不能构成直角三角形，故符合题意； D、， 5，12，13能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，于点F.若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，从而求得，再根据直角三角形的性质求得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3. 如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据等腰三角形的性质得出，从而有． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，在中，E是边的中点，F是对角线的中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 又∵E是边的中点，F是对角线的中点， ∴是的中位线， ， 故选：B． 5. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 6. 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A. 8 B. 5 C. 20 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，线段即为所需彩带最短， 由图可知，， ∴由勾股定理得， ， 故选C． 【点睛】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题的关键． 7. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在的垂直平分线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图的步骤可知平分，可判断A，即可求出的度数，进而判断B，然后根据，可得，可判断C，最后根据角平分线的性质得，再根据含直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可说明D． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知可知平分．故A正确； ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴．故B正确； ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上．故C正确； ∵平分，， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 即．故D不正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，理解含直角三角形的性质是解题的关键． 8. 已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为（　　） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∵，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 10. 下列各数中，属于勾股数的是（ ） A. B. 1， 2， 3 C. D. 5， 12， 13 【答案】D 【解析】 【分析】解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足， 则是直角三角形，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、不是正整数，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、不是正整数，故选项不符合题意； D、，是勾股数，故选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 11. 如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG、DG. 若，则∠BGD的大小为____度. 【答案】80 【解析】 【分析】由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和，又由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案． 【详解】∵六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6-2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°， ∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-440°=280°， ∴∠BGD=360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）=80°． 故答案是：80°． 【点睛】考查了多边形的内角和公式．此题难度不大，注意掌握整体思想的应用，解题的关键是根据多边形的内角和的计算公式求得多边形的内角和． 12. 如图， 在中，对角线交于点 交于点，连接．若的周长为14，则的周长为___________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及OE⊥AC证明AE=CE，再根据已知△BEC周长求出AB+BC值，则平行四边形周长可求． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O点为AC中点． ∵OE⊥AC， ∴AE=CE． ∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB=14． ∴平行四边形ABCD周长为2×14=28． 故答案为：28． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是线段间的转化，利用整体思想求解平行四边形的周长． 13. 如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出. 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 故答案为. 14. 如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有_________．(填序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则___________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，先求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 16. 如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 先求出的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， 由翻折可知，，， ，， ， ， ， ， 设点到的距离为，则有， ， 故答案为：． 17. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，，点E、F分别是边上的两个动点，连接，若平分，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 过点作于点，由菱形的性质得出，求出．根据菱形的性质及角平分线得到，推出．得出当时，最小，即最小． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ， 平分， ， ， ， 当时，最小，即最小， 的最小值． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义，先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算加减． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出，再代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 21. 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 证明：由上一问得， ∴，， 由上一问得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 记与相交于点H， 中，， 中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是证明． （1）根据直角三角形的判定定理证明即可； （2）先由，可得，，再根据等边对等角，可得，由此可得，再根据三角形内角和为，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在平行四边形中，是的平分线，交于点E，F是上的一点，连接，且．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E，点F在边上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，等角对等边等等，先由平行四边形的性质得到，再证明，进而证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】略 23. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）在直线上找一点，使得的周长最小； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图即为所求， （2） 如图，点P即为所求； （3）4 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理，轴对称-最短路线问题，利用网格求三角形面积． （1）根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）连接交直线l一点P，即可使得的周长最小； （3）根据网格利用割补法即可求的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 24. 如图，在中，，，对角线相交于点． （1）若，求的面积； （2）若，，直接写出间满足的数量关系，不需要说明理由． 【答案】（1）的面积为 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）作于点，设，则，由勾股定理得，求得，利用平行四边形的面积公式计算即可求解； （2）作于点，作交延长线于点，证明，推出，，设，，在、和中，利用勾股定理列式，消去和，即可即可求解． 【小问1详解】 解：作于点， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得，即， ∴， ∴的面积； 【小问2详解】 解：作于点，作交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，，则，， 在中，①， 在中，②， 中，③， 得， 整理得④， 将①代入④得， ∴． 25. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 【答案】（1）见解答 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点于点，得，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由全等三角形的性质得，再证，然后由三角形面积关系得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案，证明：∵于点于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：50． 26. 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）当点E在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 【答案】（1）证明：， ． ， ∴ ∴ ． ， ． ． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ； （2）图②：，图③： （3）1或7 【解析】 【分析】（1）求证，，得，所以，进而，所以； （2）如图②，当点E在线段延长线上，时，同（1），，得，结合平行四边形性质，得，所以；如图③，当点E在线段延长线上，时，求证，得，同（1）可证，，结合平行四边形性质，得，所以； （3）如图①，中，勾股定理，得 ，求得；如图②，，则,中，，可得图②中，不存在，的情况；如图③，中，勾股定理，得 ，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图②，当点E在线段延长线上，时， 同（1），， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即； 如图③，当点E在线段延长线上，时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同（1）可证， ∴ 四边形是平行四边形， ． ∴ 即 【小问3详解】 如图①，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 中，,， 由，得； 如图②，，则,中，， ∴,与矛盾，故图②中，不存在，的情况； 如图③， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 中，， ∴ 由知，． 综上，或7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市石峰区龙头铺镇中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 以下列各组数据为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 13，14，15 D. 5，12，13 2. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，于点F.若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，E是边的中点，F是对角线的中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A. 8 B. 5 C. 20 D. 10 7. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在的垂直平分线上 D. 8. 已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为（　　） A. 3 B. 5 C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 下列各数中，属于勾股数的是（ ） A. B. 1， 2， 3 C. D. 5， 12， 13 二、填空题 11. 如图，六边形ABCDEF内部有一点G，连结BG、DG. 若，则∠BGD的大小为____度. 12. 如图， 在中，对角线交于点 交于点，连接．若的周长为14，则的周长为___________． 13. 如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 14. 如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有_________．(填序号) 15. 如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则___________． 16. 如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为_________． 17. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 18. 如图，在菱形中，，，点E、F分别是边上的两个动点，连接，若平分，则的最小值为______． 三、解答题 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 22. 如图，在平行四边形中，是的平分线，交于点E，F是上的一点，连接，且．求证：四边形是菱形． 23. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）在直线上找一点，使得的周长最小； （3）求的面积． 24. 如图，在中，，，对角线相交于点． （1）若，求的面积； （2）若，，直接写出间满足的数量关系，不需要说明理由． 25. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 26. 中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接． （1）当点E在线段上，时，如图①，求证：； （2）当点E在线段延长线上，时，如图②：当点E在线段延长线上，时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系； （3）在（1）、（2）的条件下，若，，则_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $