河南省开封高级中学2023-2024学年高二下学期六月质量检测数学试卷

开封高中2025届高二年级六月质量检测测试数学答案 1. 【答案】B 【详解】不等式，可化为，所以不等式的解集为，所以，又，所以，故选：B. 2. 【答案】C 【详解】依题意，，即，又， 则，所以.故选：C 3.【答案】B 【详解】若直线上有无数个点不在平面内，则或与相交，故A选项不正确； 若直线不平行于平面且，则与相交，故平面内不存在与平行的直线，故B选项正确； 已知直线，平面，且，则直线平行或异面，C选项错误； 两条相交直线，且平面，则平面或与相交，D选项错误.故选：B 4. 【答案】D 【详解】由函数图象平移的规则可知：函数的图象可由函数的图象向右平移个单位、向下平移个单位得到的，因为函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于点对称，得： ， 即，故选：D. 5. 【答案】A 【解析】如图，因为的角平分线交线段于点，所以 由正弦定理得，. 又因为，， 所以，即.不妨设，，则，解得，所以. 由题意得，，所以，即. 6. 【答案】D 【详解】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊. 第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， 第二步，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法， 第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，只能从3个空中任选1个安排甲，有种安排方法. 则由分步乘法计数原理，不同的方案共有种.故选：D. 7. 【答案】B 【详解】由可得，因则等差数列的公差，故，则，当且仅当时取等号，即当时，取得最大值25.故选：B. 8. 【答案】C 【详解】（1）当时，若，则，因为函数在上单调递增，所以，若，则，当且仅当时取等号，因为不存在最小值，所以，所以， （2）当时，若，则，因函数在上单调递增，所以，若，则，当且仅当时取等号，因为不存在最小值，所以，所以，故实数的范围是 9. 【答案】BC 【详解】因为，对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，由，结合正弦函数的性质知在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，所以，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，图象向左平移个单位长度得到，故D错误.故选：BC 10. 【答案】BC 【解析】对于A，由于，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为，故A错误.对于B，由于，则，故B正确.对于C，若，则有，变形可得，则与相互独立，故C正确.对于D，分层抽样的平均数，按分层抽样样本方差的计算公式，，故D错误. 11. 【答案】ABD 【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，因为四边形是圆柱的轴截面，所以，因为四边形的面积为2，所以，即 所以圆柱的侧面积，A正确， 因为为圆的直径，所以，又平面，平面， 所以，又平面，，所以平面， 平面，所以，B正确； 因为，设四面体的外接球的半径为，则， 因为，，所以， 所以，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以四面体的外接球表面积最小值为，C错误， 因为，，，所以， 所以，又，所以， 所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，D正确，故选：ABD. 12. 【答案】 【详解】当双曲线焦点在轴上时，其方程为，依题有，方程组无解； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程为，依题有，解得， 则.故答案为：. 13. 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，符合，或，，即可） 【详解】因为角的终边关于直线对称，所以，， 又，所以或，， 所以，或，，， 取得或，所以的一组取值可以是. 14. 【答案】 【详解】在中，，则，又平面，平面平面，所以平面，连接，，所以，得，设（），则，即，得，当即即时，取到最小值1，此时取到最小值.故答案为： 15. 【答案】（1）或； （2）. 【小问1详解】设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以， 解得或，当时，；当时， 所以数列的通项公式为或. 【小问2详解】因为等差数列的公差不为零，由（1）知，则， 所以， 即. 16. 解：（1） 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关 所以 由题可知，n是10的倍数，所以 （2）由（1）可知，所以不关注的人数为，用频率估计概率，所以不关注的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为，所以 17. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【小问1详解】连结，交于点，连，由， 知，又平面，又底面为菱形，所以，以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，边长为4，则，，在直角三角形中，所以，所以点,，则 所以， 所以， ， 所以，所以， 又，平面，所以平面， 【小问2详解】设，所以， 故，所以 平面的一个法向量是，设与平面所成角为，则 当时，平面，； 当时，， 当且仅当时取等号，又所以，故与平面所成角的最大值为 18.【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，解得，从而， 所以双曲线C的方程为； （2），直线，当直线的斜率不为零时，设方程为， 联立，得，则， 所以，设，则， 直线的方程为，令，则，即， 设直线交轴于点，由于三点共线，则， ， 那么，故， 当直线的斜率等于0时，直线与轴重合，必过定点， 综上所述，直线QN过x轴上一定点. 19. 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【详解】（1）由题意知：定义域为，； ①当时，，，在上单调递增，无极值； ②当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增， 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）令，则，由（1）知：，，即，令，则且，，， 取，则，即， 令，则， 在上单调递增，，即， ， ，即. 学科网（北京）股份有限公司 $$开封高中2025届高二年级六月质量检测测试 ——数学试题 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2. 若虚数单位是关于的方程的一个根,则( ) A. B. 2 C. D. 5 3. 下列命题正确的是( ) A. 若直线上有无数个点不在平面内,则 B. 若直线不平行于平面且,则平面内不存在与平行的直线 C. 已知直线,平面,且,则直线平行 D. 已知两条相交直线,且平面,则与相交 4. 已知为奇函数,则( ) A. B. C. D. 5. 已知椭圆:的左、右焦点分别为,,点为上异于长轴端点的任意一点,的角平分线交线段于点,则( ) A. B. C. D. 6. 把5个人安排在周一至周五值班,要求每人值班一天,每天安排一人,甲乙安排在不相邻的两天,乙丙安排在相邻的两天,则不同的安排方法数是( ) A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种 7. 已知等差数列的前项和为,若,则( ) A. 有最小值25 B. 有最大值25 C. 有最小值50 D. 有最大值50 8. 已知函数,不存在最小值,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知,关于该函数有下面四个说法,正确的是( ) A.的最小正周期为 B.在上单调递增 C.当时,的取值范围为 D.的图象可由图象向左平移个单位长度得到 10. 下列命题正确的是( ) A.数据4.5.6.7.8.8的第50百分位数为6 B.已知随机变量,若,则 C.对于随机事件A,B,若,,,则A与B相互独立 D.已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为:男生样本平均数为172,方差为120,女生样本平均数为165,方差为120,则总体样本方差为120 11. 如图,四边形是圆柱的轴截面且面积为2,四边形绕逆时针旋转到四边形,则( ) A. 圆柱的侧面积为 B. 当时, C. 当时,四面体的外接球表面积最小值为 D. 当时, 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 已知双曲线过点,且渐近线方程为,则的离心率为_. 13. 已知角的终边关于直线对称,且,则的一组取值可以是_,_. 14. 如图所示,直角三角形所在平面垂直于平面,一条直角边在平面内,另一条直角边长为且,若平面上存在点,使得的面积为,则线段长度的最小值为_. 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足:,且,,成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)若等差数列的公差不为零且数列满足:,求数列的前项和. 16. 2023年12月30日8时13分,长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞,随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功.也代表着中国航天2023年完美收官某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度,随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本,根据调查结果得到如下列联表: 学生群体 关注度 合计 关注 不关注 大学生 高中生 合计 (1)完成上述列联表:依据小概率值的独立性检验,认为关注航天事业发展与学生群体有关联,求样本容量n的最小值: (2)用频率估计概率,从本市大学生和高中生中随机选取3人,用X表示不关注的人数,求X的分布列和数学期望. 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ,其中. 17. 已知四棱锥的底面是边长为4的菱形,,,,是线段上的点,且. (1)证明:平面; (2)点在直线上,求与平面所成角最大值. 18. 已知双曲线的左右焦点分别为,C的右顶点到直线的距离为,双曲线右支上的点到的最短距离为 (1)求双曲线C的方程; (2)过的直线与C交于M、N两点,连接交l于点Q,证明:直线QN过x轴上一定点. 19. 已知函数. (1)求的极值; (2)已知,证明:. 学科网(北京)股份有限公司 $$