第十五章 轴对称 综合检测卷 2025－2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 综合检测卷 建议用时：90分钟 满分:120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，是轴对称图形的是( ) 2.小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为 ( ) A.12:01 B.10:21 C.15:10 D.10:51 3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是从电线杆DE上一点A 往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当固定点B，C到点E的距离相等，且点B，E，C在同一条直线上时，电线杆DE 就垂直于地面了.这种操作方法的依据是 ( ) A.等边对等角 B.垂线段最短 C.等腰三角形三线合一 D.两点之间，线段最短 4.如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,∠ACD是△ABC的一个外角,则∠ACD 的度数为 ( ) A.70° B.100° C.110° D.140° 5.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是 ( ) A. AF=BF C.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC 6.如图，在4×4的正方形网格中，有5个小正方形已被涂色(图中阴影部分)，若在其余网格中再涂1个小正方形，使它与5个已被涂色的小正方形组成的新图形是一个轴对称图形，则可涂色的小正方形共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 7.如图,在等边三角形ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连接DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是 ( ) A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 8.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=60°,BD 平分∠ABC,∠BCD>∠CBD,BC=24,P,Q分别是BD,BC上的动点,当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是 ( ) A.8 B.10 C.12 D.16 9.在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4,,已知∠ACB=n°,则 A.30° B.n° C.n°或(180-n)° D.30°或150° 10.已知点 P 是等边三角形ABC的边BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP 的长为边长的三角形中，最小的内角的度数为 ( ) A.14° B.16° C.24° D.26° 二、填空题(每小题4分，共24分) 11.在平面直角坐标系中,已知点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称，则 12.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点 D,交AB 于点 E,连接CE.若CE=CA,∠ACE=40°,则∠B 的度数为 . 13.如图,在△ABC中,点D 在BC边上,2∠B=∠DAC,CE⊥AD,若AE=DE=2,AC=6,则BC的长为 . 14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是AB边上的高,AD=3cm,则AB的长为 cm. 15如图,在△ABC中,AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点 P,垂足分别为D,E,连接PA,PB,PC,若∠PAD=45°,则∠ABC= °. 16.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠BAC=80°,AD,CD 分别平分∠BAC和∠ACB,E是AC上一点,EF⊥BC.当ED+EF 取得最小值时,∠AED= °. 三、解答题(共66分)(含评分细则)装 订 线 内 答 要 不 题 17.(10分)如图,已知A(3,4),B(1,2),C(5,1). (1)作 关于x轴对称的 (2)在x轴上找一点P使得PC+PB的值最小，画出点 P 所在的位置. (3)求 的面积. 18.(10分)如图,灯塔C在海岛A 的北偏东 方向上，某天上午8时，一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向东航行，10时到达海岛B处，此时，测得灯塔C在海岛 B的北偏东60°方向上. (1)求从海岛B到灯塔C 的距离. (2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续向东航行，则是否有触礁的危险?请你说明理由. 19.(10分)一个等腰三角形的周长为28 cm. (1)如果这个等腰三角形的底边长是腰长的1.5倍，那么这个等腰三角形的三条边的长度分别是多少? (2)如果这个等腰三角形的一条边的长度为10cm，那么这个等腰三角形的另外两条边的长度分别是多少? 20.(10分)如图,在△ABC中,D为BC的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点 E. (1)求证:△BDE≌△CDA. (2)若AD⊥BC,求证:BA=BE. 21.(12分)如图,点D 在等边三角形ABC的外部,连接AD,CD,AD=CD,过点D作DE∥AB交AC 于点 F,交BC于点 E. (1)判断 的形状，并说明理由. (2)连接BD,若BC=10,CF=4,求DE 的长. 22.(14分)如图,点O是等边三角形ABC内一点,D是△ABC 外一点,∠AOB = 110°,∠BOC =α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD. (1)求证:△OCD 是等边三角形.等腰三角 形存在性 (2)当α=150°时,试判断△AOD 的形状,并说明理由. (3)探究：当α为多少时，△AOD是等腰三角形? 1. B 2. D 3. C ∵AB=AC,BE=CE,点B,E,C在同一条直线上,∴AE⊥BC, ∴ 这种操作方法的依据是等腰三角形三线合一. 4. C ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵∠A=40°, ∵ ∠ACD 是△ABC 的一个外角, 5. B 由题图中尺规作图痕迹可知,BE平分∠ABC,DF垂直平分 AB,∴ AF =BF,∠BDF = 90°,∠ABF =∠CBE,∴ ∠ABF =∠BAF,∠DBF+∠DFB = 90°,∴∠BAF=∠EBC.故选 B. 6. C如图，可涂色的小正方形有4个，故选 C. 7. C ∵ △ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,BC=AB=5, ∵∠BEF=∠C+∠EFC=∠DEF+∠BED,∠DEF=∠C=60°,∴∠BED=∠EFC, 在△DBE和△ECF中, ∴△DBE≌△ECF(AAS),∴ DB=EC=1, ∴BE=BC-EC=5-1=4. 8. C 如图,作点 Q 关于 BD 的对称点b则. BH=BQ,∴ CP+PQ=() 易知当C，P，H三点在同一条直线上，且 CH⊥AB时,CP+PQ 的值最小. ∵ ∠ABC=60°,∴∠BCH=30°, 9. C 分两种情况讨论:①当BC=B'C'时, △ABC≌△A'B'C',∴∠A'C'B'=∠ACB=n°; ②如图,当BC≠B'C'时, ∵AC=A'C',∴∠A'C'C=∠ACB=n°, 综上所述,∠A'C'B'的度数为n°或(180-n)°.故选 C. 10. B 如图,过点 P 作 PD∥AB 交AC 于点 D,过点 P作 PE∥AC交AB 于点E, 易得△AEP≌△PDA,∴DP=EA, ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠B=∠C=∠BAC=60°, ∵PD∥AB, ∴∠CPD=∠B=60°,∠CDP=∠BAC=60°, ∴△CDP 为等边三角形,∴CP=DP=CD, ∴CP=EA, ∵PE∥AC,∴∠BEP=∠BAC=60°,∠BPE=∠C=60°,∴△BEP 为等边三角形,∴BP=EP=BE, ∴△AEP 就是以线段AP,BP,CP 的长为边长的三角形， ∵∠APC=104°,∴∠APB=180°-∠APC=76°, ∴ ∠APE=∠APB-∠BPE=16°,∠PAE=∠APC-∠B=44°,AOY====7.. BEP=120°, ..以线段AP，BP，CP的长为边长的三角形的三个内角分别为16°,44°,120°, ∴最小的内角的度数为16°. 11.答案: 1 解析: ∵点 P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对称,∴点P(a,1)与点 Q(2,b)的横坐标相同,纵坐标互为相反数， ∴a=2,b=-1,∴a+b=1. 知识拓展 点关于坐标轴对称的口诀：关于谁对称谁不变，另一个变为其相反数. 12.答案: 35° 解析: ∵CE=CA,∴∠A=∠AEC, ∵ ∠A+∠AEC+∠ACE=180°,∠ACE=40°, ∴ ∠AEC=70°, ∵ 直线 DE是 BC 的垂直平分线, ∴BE=CE,∴ ∠BCE=∠B, ∵∠AEC=∠B+∠BCE,∴∠B=35°. 13.答案: 10 解析: ∵AE=DE=2,CE⊥AD, ∴AD=4,CE是AD的垂直平分线, ∴CD=AC=6,∴∠CDA=∠CAD, ∵2∠B=∠DAC,∴2∠B=∠CDA, ∵∠CDA=∠B+∠DAB,∴∠B=∠DAB, ∴BD=AD=4, ∴BC=BD+CD=4+6=10. 14.答案: 12 解析：∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC=∠BDC=90°, 又∠ACB=90°, ∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD, ∴∠B=∠ACD, ∵∠B=30°,∴∠ACD=30°,在 Rt△ACD中,AD=3cm,∠ACD=30°, ∴AC=2AD=6cm, 在 Rt△ACB中,∠B=30°,∴AB=2AC=12 cm. 15.答案: 45 解析：∵AC的垂直平分线 PD 与 BC 的垂直平分线 PE交于点 P, ∴PA=PB=PC,∴ ∠PCA=∠PAD=45°,∠PAB=∠PBA,∠PCB=∠PBC, ∵∠PCA+∠PAD+∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=180°,∴∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=90°,∴ ∠PBC+∠PBA=45°,∴ ∠ABC=45°. 16.答案: 50 解析: ∵∠B=60°,∠BAC=80°,∴∠ACB=40°,∵ AD,CD 分别平分∠BAC,∠ACB,∴ ∠BAD =∠CAD=40°,∠ACD=∠BCD=20°,如图,作∠ACM=20°,CM 交 BA 的延长线于点 M,在 CM 上取一点D',使CD'=CD,连接AD',DD',过点D'作D'F⊥BC交AC 于点E,交BC 于点F,此时ED+EF取得最小值,∴∠ACD=∠ACD'.又CD=CD',∴ CA 垂直平分DD',易得∠D'AE=∠DAE=40°,∴ ∠D'AM=180°- ∠ACM=40°+20°=60°,∴∠M=180°-60°-60°=60°,∴△D'MA 是等边三角形,∴AD'∥BC,∴ AD'⊥D'F,∴ ∠AD' F = 90°,易知 △ADE ≌ △AD'E,∴∠ADE=∠AD'F=90°,∴∠AED=90°-∠EAD=90°-40°=50°. 17.解析: (1)如图,△A₁B₁C₁即为所求. (3分) (2)如图,点P 即为所求. (6分) (3)△A₁B₁C₁的面积为 2 × 3 = 5 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (10分) 18.解析：(1)根据题意得 0(海里), ∠ C = 3 0 ° - 1 5 ° = 1 5 ° ,⋯, (2分) ∴∠BAC=∠C, (3分) ∴ BC=AB=30海里. (4分) 答：从海岛 B 到灯塔 C 的距离为30海里. (5分) (2)有触礁的危险. (6分) 理由:如图,过点 C作CD⊥AF,垂足为D, ∵∠CBD=30°,BC=30海里, 海里, (8分) ∵15<16, (9分) ∴若该船继续向东航行，则有触礁的危险.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (10分) 19.解析：(1)设这个等腰三角形的腰长为a cm，则其底边长为1.5a cm, ∵这个等腰三角形的周长是28 cm， ∴a+a+1.5a=28, (2分) 解得a=8, (3分) ∴1.5a=12. (4分) 答：这个等腰三角形的三条边的长度分别为8cm，8cm,12 cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (5分) (2)分两种情况讨论：①若这个等腰三角形的底边长为10 cm,则其腰长为(28-10)÷2=9(cm),∴这个等腰三角形另外两条边的长度分别为 9 cm，9 cm,能构成三角形;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (7分) ②若这个等腰三角形的腰长为10 cm，则其底边长为28-10×2=8(cm),∴这个等腰三角形另外两条边的长度分别为10 cm，8cm ，能构成三角形. (9分) 综上所述，这个等腰三角形另外两条边的长度分别为9 cm,9 cm 或10 cm,8cm ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分) 20.证明: (1)∵D为BC的中点,∴BD=CD. ∵BE∥AC,∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C. ⋯ (3分) 在△BDE 和△CDA中, ∴△BDE≌△CDA(AAS) (6分) (2)∵△BDE≌△CDA,∴ED=AD. ∵AD⊥BC,∴BD垂直平分AE,∴BA=BE.(10分) 21.解析: (1)△CEF是等边三角形. (1分) 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°. (2分) ∵AB∥DE,∴∠CEF=∠ABC=60°, (3分) ∴ △CEF是等边三角形. (4分) (2)∵△ABC是等边三角形,△CEF 是等边三角形, ∴AB=BC,CF=CE=4. (6分) ∵AD=CD,AB=BC, ∴ BD 垂直平分线段AC, (8分) ∴ ∠ABD=∠CBD. ∵AB∥DE,∴∠ABD坐标原上站 ∴∠BDE=∠CBD,∴BE=DE, (10分) ∴BC=BE+CE=DE+CF, ∴DE=BC-CF=10-4=6. (12分) 22.解析: (1)证明:∵△BOC≌△ADC, ∴OC=DC, (1分) ∵∠OCD=60°, ∴ △OCD 是等边三角形. (2分) (2)△AOD 是直角三角形. (4分) 理由：∵△OCD是等边三角形， ∴∠ODC=60°, ∵△BOC≌△ADC,α=150°, ∴∠ADC=∠BOC=150°, (6分) ∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°, ⋯ (7分) ∴ △AOD 是直角三角形. (8分) (3)∵△OCD 是等边三角形, ∴ ∠COD=∠ODC=60°. ∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α, ∴ ∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°- ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°, ∴ ∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°. ①当∠AOD=∠ADO时, ∴α=125°. (10分) ②当∠AOD=∠OAD时, ∴α=140°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (12分) ③当∠ADO=∠OAD时,( ∴α=110°. 综上所述,当α为110°或125°或140°时,△AOD 是等腰三角形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14分) 学科网（北京）股份有限公司 $$