第12章 全等三角形 同步训练-2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第12章 全等三角形 一、单选题 1．等腰三角形的底角是，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，，，点为的中点，平分，若的面积记为，的面积记为，则的值为（   ） A． B．10 C．8 D． 3．如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．如图，在中，，，点C在边BO延长线上一点，过点B作交CA的延长线于点D，若，则（   ） A． B．2 C． D． 8．如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．如图，，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为 ． 10．如图，点在同一直线上，，且，已知，，则的长为 ． 11．如图，在中，，边、的垂直平分线分别交于、，若，则的周长为 ．    12．如图，已知，且，，，则的度数为 ． 13．如图，将含角的绕直角顶点C顺时针旋转，点B落在边上的点处，点A落在边延长线上的点处，则的度数为 ． 三、解答题 14．如图，在中，是的平分线．在外取一点E，使得，，并且线段与线段相交于点K．求证：． 15．如图，点D，E分别在上，连接，，．求证：． 16．如图，在中，点D在边上，连接，点E在的延长线上，连接，且．求证：． 17．如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点．求证： (1)点到三边，，所在直线的距离相等； (2)点在的平分线上． 18．如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且．    (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形的两底角相等，再结合三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵等腰三角形的底角是， ∴顶角的度数是， 故选：D． 2．B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 过点作，，得到，然后得到，利用三角形中线的性质得到，设，，则，进而求解即可． 【详解】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查角平分线，熟练掌握角平分线性质是解题关键． 过D作于E，即为 长的最小值，由平分，即得到的长度． 【详解】解：如图，过D作于E， 则长即为 长的最小值， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 4．D 【分析】根据平行线的判定即可得选项A正确；先根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质即可得选项B正确；根据邻补角的定义求出，由此即可得选项C错误；根据等腰三角形的判定即可得选项D正确． 【详解】解：如图所示， ， ，则选项B正确； ，， ， ，则选项A正确； ， ， ， ，则选项D错误； ， ，则选项C正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 5．B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了三角形中线等分面积，线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形中线等分面积得到，最后根据即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线与边的交点， ∴， ∵将的面积平分， ∴， ∴， 故选：C． 7．B 【分析】延长交于点，可证，可得，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵ ，   ∴，   ∴ ，   ∴，   ∴，，   ∴，   在和中：   ，     ∴ ∵，   ∴   在和中：   ∴ ，   ∴，   ∴ 故选：B. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 9．/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理， 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10． 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据平行线的性质结合题意易证明，得出，从而可证，结合，，即可求出，从而可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 11．4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线上的点到两端距离相等，即可进行解答． 【详解】解：∵分别为边、的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴的周长， 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，先证明，得到，角的和差关系求出，8字型图，得到，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：在和中， ， ． ，， ， ． ， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，得出和是解题的关键．根据旋转的性质得：，根据等边对等角得出，根据可求出答案． 【详解】解：∵将含角的绕直角顶点C顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵，将含角的绕直角顶点C顺时针旋转，点B落在边上的点处，点A落在边延长线上的点处， ∴， ∴． 故答案为：． 14．见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，证明，运用角平分线的性质得，则，再证明，即可作答． 【详解】解：分别过作，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系推出，利用证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 16．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合题意证明，进而即可得出结论． 【详解】证明：， ， 即， 在与中， ， ， ． 17．(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． （1）作，，，由角平分线的性质，即可证得结论； （2）由（1）可知，由角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）证明：作于点，于点，于点，如图所示： ∵是的平分线，是的平分线，，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，所在直线的距离相等． （2）证明：由（1）可知，， 又∵，， ∴点在的平分线上． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图，过点分别作于，于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答； 【详解】（1）证明：如图，过点分别作于，于， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 又，， ∴点在的角平分线上， ∴平分；    （2）解：∵，，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$