第五单元 圆（解决问题讲义）数学青岛版六年级上册

第五单元 圆 1.圆的周长应用题： 圆的周长公式：圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d = C ÷π或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr (2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍， 用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C ÷ 2π）。 2.圆的面积应用题： 圆面积的计算方法： 因为：长方形面积  = 长 ×宽 所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径 即S = Ｃ÷2×r＝πr × r＝π 圆的面积公式：S圆 =π→ 　　 = S÷ π。 类型1 圆的周长应用题 典型例题1： 轩轩班级的教室后面挂着一个钟表。已知钟表的分针长12厘米，轩轩每节课时长40分钟，那么一节课的时间，钟表上分针的针尖走了多少厘米？ 思路分析： 分针走一圈是60分，一节课的时间是40分，则一节课的时间分针尖端走过的路程是半径为12厘米圆的周长的（）；根据圆的周长＝2πr，代入数值计算出圆的周长，再乘所得结果即为一节课的时间，钟表上分针的针尖走了多少厘米。 答题区： 变式训练： 一个圆形音乐喷泉的周长是502.4米，喷泉外围修了一条宽4米的小路作为观赏区，观赏区外围的周长是多少米？ 类型2 半圆的周长应用题 典型例题2： 陈伯伯计划在房子后面的空地上靠墙围一个直径是8米的半圆形禽舍（如图），并从中间隔开，一边养鸡，一边养鸭。陈伯伯至少需要准备多少米的篱笆？ 思路分析： 篱笆的长度等于圆周长的一半加上一条半径的长度，据此解答即可。 答题区： 变式训练： （1）在下图长方形内画一个最大的半圆，并将半圆以外，长方形以内的部分涂上阴影。 （2）求所画半圆的周长。 类型3 圆的面积应用题 典型例题3： 李明经常在自家小区圆形的游泳池边散步。这天，他以每分钟62.8米的速度绕泳池走了一圈，恰好用了5分钟。这个泳池的面积是多少平方米？ 思路分析： 已知李明以每分钟62.8米的速度绕圆形泳池走了一圈，用了5分钟，根据“路程＝速度×时间”求出泳池一周的长度； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆形泳池的半径； 再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个泳池的面积。 答题区： 变式训练： 学校操场如下图所示，两边是半圆形草坪，中间是长方形足球场。为增强体质，芳芳每天坚持沿操场边沿跑4圈。 （1）足球场的面积比草坪大多少？ （2）芳芳每天跑多少米？ 类型4 圆环的面积应用题 典型例题4： 一个占地为圆形的花坛，直径是2米，扩建后直径为4米，如图。花坛的面积增加了多少平方米？ 思路分析： 已知外圆直径4米，内圆直径2米。扩建（增加）面积＝圆环面积＝外圆面积－内圆面积，代入数据计算即可。 答题区： 变式训练： 一个儿童游乐场是圆形的，它的周长是628米，现将这个游乐场进行扩建，扩建后的半径增加了4米。这个游乐场的面积增加了多少平方米？ A夯实基础 1．同一个圆中，扇形的大小与（    ）有关。 A．半径的大小 B．圆心角的大小 C．圆心的位置 D．直径的大小 2．在一个长4分米，宽3分米的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（    ）分米。 A．6.28 B．3.14 C．4.7 D．10.28 3．大圆直径8cm，小圆半径2cm，大圆面积和周长分别是小圆的（    ）。 A．8倍、4倍 B．4倍、2倍 C．2倍、4倍 D．4倍、8倍 4．如图所示，我们探究圆的面积时将圆形转化为近似的长方形。若图中长方形的周长比圆的周长多4厘米，则圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 5．如图中，梯形上底是4m，下底是6m，高是3m，则空白部分的面积是( )m2，阴影部分的面积是( )m2。 6．大、小两个圆的直径分别是10厘米和6厘米，大、小两个圆的周长的比是( )，面积的比是( )。 B培优拔高 1．（1）学校要给会议桌桌面贴上保护膜，至少需要保护膜多少平方米？ （2）开会时每个人需要0.5米宽的位置就坐，这张会议桌大约能坐多少人？ 2．如图，停车场收费站的起落杆经过一辆车即为完成一次升降运动，某停车场的起落杆长米。若该收费站通过1辆车，则处于起落杆末端的点移动了多少米？（取3.14） 3．古典园林体现了中华民族对于自然和美好生活环境的向往与热爱，园林中的门洞不仅是一道独特的风景线，还起到了将两个分隔的园景联系起来的妙用。如图所示，有一个花瓣形门洞，它的四周由4个直径都是1米的半圆组成。这个门洞的周长和面积分别是多少？ C思维拓展 1．两个圆的周长之比是3∶2，面积之差是10平方厘米，两个圆的面积之和是多少？ 2．如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3．如图，有一只狗被拴在一个建筑物的墙角点处，这个建筑物的底面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳长18米。现在狗从点B出发，将绳拉紧并沿顺时针方向跑。狗最多可以跑多少米？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 答题区： （厘米） 答：一节课的时间，钟表上分针的针尖走了50.24厘米。 变式训练答案： 502.4÷3.14＝160（米） 160÷2＝80（米） （80＋4）×2×3.14 ＝84×2×3.14 ＝527.52（米） 答：观赏区外围的周长是527.52米。 类型2 答案解析 典型例题2： 答题区： 3.14×8÷2＋8÷2 ＝25.12÷2＋4 ＝12.56＋4 ＝16.56（米） 答：陈伯伯至少需要准备16.56米的篱笆。 变式训练答案： （1）作图如下： （2）3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 答：所画半圆的周长是20.56厘米。 类型3 答案解析 典型例题3： 答题区： 圆的周长：62.8×5＝314（米） 圆的半径： 314÷3.14÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 圆的面积： 3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是7850平方米。 变式训练答案： （1） （平方米） 答：足球场的面积比草坪大2537.5平方米。 （2） （米） 答：芳芳每天跑1348米。 类型4 答案解析 典型例题4： 3.14×[（4÷2）2－（2÷2）2] ＝3.14×[22－12] ＝3.14×[4－1] ＝3.14×3 ＝9.42（平方米） 答：花坛的面积增加了9.42平方米。 变式训练答案： 原来游乐场的半径：628÷3.14÷2＝100（米） 现在游乐场的半径：100＋4＝104（米） 增加的面积： 3.14×（1042－1002） ＝3.14×（10816－10000） ＝3.14×816 ＝2562.24（平方米） 答：这个游乐场的面积增加了2562.24平方米。 A夯实基础 1．B 【分析】扇形的面积＝圆周率×半径的平方×，圆周率是个定值，因此扇形的大小与半径和圆心角的大小有关，据此分析。 【详解】在同一个圆中，半径和直径的大小固定，扇形的圆心角越大，扇形的面积越大，因此扇形的大小与圆心角的大小有关。 故答案为：B 2．D 【分析】4÷2＝2（分米），3＞2，因为这个长方形的宽大于长的一半，因此在这个长方形内画一个最大的半圆，半圆的直径＝长方形的长，根据半圆的周长＝圆周率×直径÷2＋直径，列式计算即可。 【详解】3.14×4÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（分米） 这个半圆的周长是10.28分米。 故答案为：D 3．B 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，圆的周长公式C＝2πr，代入数据，分别求出大圆和小圆的面积和周长，再用大圆的面积除以小圆的面积、大圆的周长除以小圆的周长即可。 【详解】3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 50.24÷12.56＝4 3.14×8＝25.12（cm） 3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（cm） 25.12÷12.56＝2 大圆面积和周长分别是小圆的4倍和2倍。 故答案为：B 4． 12.56 12.56 【分析】把圆转化为近似长方形时，长方形的长近似于圆周长的一半（πr），长方形的宽近似于圆的半径（r）。圆的周长公式为C＝2πr，长方形的周长为2×（πr＋r）＝2πr＋2r。已知长方形的周长比圆的周长多4厘米，即（2πr＋2r）－2πr＝4，化简后可得2r＝4，解得r＝2厘米。 根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，r＝2厘米，把数据代入公式可得2×3.14×2＝12.56（厘米），根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，r＝2厘米，把数据代入公式可得3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 【详解】2×（πr＋r）＝2πr＋2r （2πr＋2r）－2πr＝4 2r＝4 r＝2 2×3.14×2＝12.56（厘米） 3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 圆的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。 5． 6.28 8.72 【分析】观察图可知，空白部分面积等于直径等于梯形上底的半圆的面积，根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出空白部分面积。 阴影部分面积＝梯形面积－空白部分面积；根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出梯形面积，再减去空白部分面积，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2÷2 ＝3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（m2） （4＋6）×3÷2－6.28 ＝10×3÷2－6.28 ＝30÷2－6.28 ＝15－6.28 ＝8.72（m2） 梯形上底是4m，下底是6m，高是3m，则空白部分的面积是6.28m2，阴影部分的面积是8.72m2。 6． 5∶3 25∶9 【分析】根据圆的周长和面积公式，分别求出大小圆的周长和面积，再根据比的意义，就可求出大小两个圆的周长的比和面积比。 【详解】大圆的周长是：10×π＝10π（厘米） 小圆的周长是：6×π＝6π（厘米） 大小周长的比是：10π∶6π＝（10π÷2π）∶（6π÷2π）＝5∶3 大圆的面积是：π×（）2＝π×52＝25π（平方厘米） 小圆的面积是：π×（）2＝π×32＝9π（平方厘米） 大小两个圆的面积的比是：25π∶9π＝（25π÷π）∶（9π÷π）＝25∶9 大、小两个圆的直径分别是10厘米和6厘米，大、小两个圆的周长的比是5∶3，面积的比是25∶9。 B培优拔高 1．（1）11.14平方米 （2）28人 【分析】（1）通过平移，两边可以拼成一个圆，保护膜的面积＝圆的面积＋长方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，长方形面积＝长×宽，据此列式解答； （2）会议桌的周长＝圆的周长＋长方形的长×2，圆的周长＝圆周率×直径，据此求出会议桌的周长，会议桌的周长÷每个人需要的宽度＝坐的人数，结果用去尾法保留整数。 【详解】（1）3.14×（2÷2）2＋4×2 ＝3.14×12＋8 ＝3.14×1＋8 ＝3.14＋8 ＝11.14（平方米） 答：至少需要保护膜11.14平方米。 （2）3.14×2＋4×2 ＝6.28＋8 ＝14.28（米） 14.28÷0.5≈28（人） 答：这张会议桌大约能坐28人。 2．10.99米 【分析】观察可知，可把起落杆看作半径，一次升降A点移动的距离即为2个圆周长的，根据圆的周长公式，代入数据可计算圆的周长，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆的周长乘再乘2，即可得解。 【详解】 （米） 答：处于起落杆末端的点移动了10.99米。 3．周长：6.28米；面积：2.57平方米 【分析】分析题目，这个图形的周长等于2个直径是1米的圆的周长之和，据此根据圆的周长公式：C＝πd代入数据列式计算即可；这个图形的面积等于2个直径是1米的圆的面积加上一个边长是1米的正方形的面积，据此结合正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝π（d÷2）2代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（米） 3.14×（1÷2）2×2＋1×1 ＝3.14×0.52×2＋1×1 ＝3.14×0.25×2＋1×1 ＝1.57＋1 ＝2.57（平方米） 答：这个门洞的周长是6.28米，面积是2.57平方米。 C思维拓展 1．26平方厘米 【分析】根据圆的周长＝2πr知道，两个圆的半径之比等于两个圆周长之比；再根据圆的面积＝πr2可知，两个圆的面积之比等于两个圆的半径的平方的比，再由面积之差是10平方厘米，分别求出两个圆的面积，进而求出两个圆的面积之和。 【详解】解：设大圆半径为R，小圆半径为r。 因为，2πR∶2πr＝3∶2 所以，R∶r＝3∶2 大圆面积∶小圆面积＝πR2∶πr2＝9∶4 把大圆的面积看作9份，则小圆的面积是4份。 大圆和小圆的面积差是：9－4＝5（份） 一份是：10÷5＝2（平方厘米） 大圆的面积是：9×2＝18（平方厘米） 小圆的面积是：4×2＝8（平方厘米） 两个圆面积之和是：18＋8＝26（平方厘米） 答：两个圆面积之和是26平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是，根据圆的周长公式和面积公式，找出圆的周长、半径与面积的关系，再结合条件，用按比例分配的方法解决问题。 2．45平方厘米 【分析】如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。 【详解】设大圆半径为R，小圆半径为r。 则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米） R2－r2 ＝141.3÷3.14 ＝45（平方厘米） 答：阴影部分的面积是45平方厘米。 【点睛】本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。 3．47.1米 【分析】 如图，狗将绳拉紧并沿顺时针方向跑的路程＝半径18米的圆周长的＋半径（18－8）米的圆周长的＋半径（18－8－8）米的圆的周长的，圆的周长＝2×圆周率×半径，求一个数的几分之几是多少用乘法，据此列式解答。 【详解】2×3.14×18×＋2×3.14×（18－8）×＋2×3.14×（18－8－8）× ＝113.04×＋6.28×10×＋6.28×2× ＝28.26＋62.8×＋12.56× ＝28.26＋15.7＋3.14 ＝47.1（米） 答：狗最多可以跑47.1米。 【点睛】关键是想清楚，建筑物会挡住绳子的长度，跑动的半径逐渐变小，利用圆的面积公式进行计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$