精品解析：2025年天津市建华中学九年级中考模拟数学试卷

2025年天津市中考模拟数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 5 2. 的值等于（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3. 2025年曹村灯会的展区面积超30000平方米．数据30000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是由4个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？意思是说：走路快的人走步的时候，走路慢的人才走了步．走路慢的人先走步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人走多少步才能追上？设走路快的人要走步才能追上，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，任取一点O，使点O和点A在直线的两侧，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，所在直线交于点D．若的长为3，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 11. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B'处，此时，点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上，下列结论正确的是（　　） A. ∠BCB'=∠ACA' B. ∠ACB=2∠B C. ∠B'CA=∠B'AC D. B'C平分∠BB'A' 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：_________. 14. 计算的结果等于________； 15. 不透明袋子中装有13个球，其中有6个红球、7个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 16. 若直线（是常数）向上平移个单位长度后经过点，则的值为______． 17. 如图，已知正方形的边长为8，E为的中点，F为上一点，且，若G，H分别为的中点，连接，则的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且． （1）线段的长等于______； （2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______． （2）解不等式②，得______． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 20. 九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取参与问卷的学生人数为_______，图①中m的值为_______； （2）求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数； （3）全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？ 21. 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的圆O与边相切于点E，与边相交于点F，，点G是中点． （1）如图①，求的度数； （2）如图②，延长交于点M，连接，若，，求的长． 22. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 23. 已知小王家、图书馆、体育场依次在同一条直线上，体育场离小王家，图书馆离小王家．小王从家出发，先用了匀速骑共享单车去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到图书馆读书，在图书馆读书后，用了匀速散步回家．下面图中x表示时间，y表示小王离家的距离．图象反映了这个过程中小王离家的距离y与时间x之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小王离家的时间 10 20 40 160 小王离家的距离 3.6 ②填空：小王从体育场到图书馆的速度为______ ； ③当时，请直接写出小王离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小王离开图书馆时，小王的哥哥从体育场出发匀速骑共享单车直接回他们的家，如果小王的哥哥的速度为，那么小王的哥哥在回家的途中遇到小王时离他们家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． （1）填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； （2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C． （1）若，A点坐标为，对称轴为直线， ①求点P的坐标： ②将直线BC沿y轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围； （2）若，A点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点Q，当m为何值时，的最小值是？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年天津市中考模拟数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行求解即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的减法法则，掌握法则是解题的关键． 2. 的值等于（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值混合运算．代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B 3. 2025年曹村灯会的展区面积超30000平方米．数据30000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：数据30000用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 5. 如图是由4个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单组合体三视图的意义，得出从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看，所得到的图形有两列，其中左边一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方形， 因此选项A中的图形符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的意义，得到各种视图的形状是正确判断的前提． 6. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小．根据题意估算出的范围，进而估计的值即可． 【详解】解：， ， 则，即3和4之间， 故选：C． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握同分母分式的减法运算法则是解题的关键． 8. 《九章算术》中有一题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？意思是说：走路快的人走步的时候，走路慢的人才走了步．走路慢的人先走步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人走多少步才能追上？设走路快的人要走步才能追上，此时走路慢的人又走了步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意、找到等量关系是解题的关键．设走路快的人要走步才能追上，此时走路慢的人又走了步，根据“走路慢的人先走步”，得出方程，根据“走路快的人走步的时候，走路慢的人才走了步”，得出方程，即，选择答案即可． 【详解】解：设走路快的人要走步才能追上，此时走路慢的人又走了步， 由题意得：， 故选：B． 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：， 该反比例函数图象位于二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ， 点和点位于第二象限，点位于第四象限， ， 故选：D． 10. 如图，在中，，任取一点O，使点O和点A在直线的两侧，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，所在直线交于点D．若的长为3，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，正切等知识．熟练掌握作垂直平分线，正切是解题的关键． 由作图可知，是的垂直平分线，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 11. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B'处，此时，点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上，下列结论正确的是（　　） A. ∠BCB'=∠ACA' B. ∠ACB=2∠B C. ∠B'CA=∠B'AC D. B'C平分∠BB'A' 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′＝∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'＝2∠B，等量代换得到∠ACB＝2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C＝∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确，由三角形内角和可得3∠B+∠A=180°，由三角形外角可得∠BB′C=∠A+∠B'CA，可得4∠A+3∠B'CA=180°，假设∠B'CA=∠B'AC，可求∠A=，∠B=，∠ACB=△ABC形状固定与△ABC不是固定的三角形相矛盾，可判断C不正确． 【详解】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′＝∠ACA′，故A正确， ∵CB＝CB'， ∴∠B＝∠BB'C， 又∵∠A'CB'＝∠B+∠BB'C， ∴∠A'CB'＝2∠B， ∵△ABC旋转得到△A'B'C， ∴△ABC≌△A'B'C， ∴∠ACB＝∠A'CB'， ∴∠ACB＝2∠B，故B正确； ∵∠A′B′C＝∠B， ∴∠A′B′C＝∠BB′C， ∴B′C平分∠BB′A′，故D正确， ∴∠BCA=∠BB′A′=2∠B=180°-∠B-∠A， ∴3∠B+∠A=180°， ∵∠BB′C=∠A+∠B'CA， ∴4∠A+3∠B'CA=180°， 假设∠B'CA=∠B'AC， ∴7∠A=180°， ∴∠A=，∠B=，∠ACB= ∴△ABC形状固定 与△ABC不是固定的三角形相矛盾， 故C不正确； 故选择ABD． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，反证法，正确的识别图形是解题的关键． 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键． 根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判断①；根据总利润单件利润销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③． 【详解】解：①售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件；故①正确； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润元；故②正确； ③设每件降价元，每星期售出商品的利润为， 则． ， 时，售价为57.5元时利润最大，最大利润元， 设每件涨价元，涨价后的利润为元． ， 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6250元， ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时利润最大，故③正确． 正确结论的个数是3个， 故选∶D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方等于各个因式的乘法，再用同底数幂的乘方法则进行计算. 【详解】解：. 【点睛】本题主要考查积的乘方公式，掌握计算公式是解题的关键. 14. 计算的结果等于________； 【答案】 【解析】 【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 15. 不透明袋子中装有13个球，其中有6个红球、7个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用概率公式进行计算，用部分的数量除以总数即可． 16. 若直线（是常数）向上平移个单位长度后经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，直线（是常数）向上平移个单位，得到一次函数的解析式是，把点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：直线（是常数）向上平移个单位， 得到一次函数的解析式是， 把点代入， 可得：， 解得：． 故答案为： ． 17. 如图，已知正方形的边长为8，E为的中点，F为上一点，且，若G，H分别为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得，取的中点，连接，过点作于点，过点作于点，得矩形，然后证明，得，所以，利用勾股定理求出，则，求出，再根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：正方形的边长为8，为的中点， ， ， ， ， ， ， 如图，取的中点，连接，过点作于点，过点作于点， 得矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 是的中点， ， ， 设，则， ， ， ， ，则， ， ， ， ，分别为，的中点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且． （1）线段的长等于______； （2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 如图，取点所在竖向格线与圆的交点，连接交于点，则，点为圆心，取与中间竖向格线的交点，取与竖向格线的交点，作直线交竖向格线的交点，连接交圆于点，过点作直径，连接交直径于点，点P即为所作． ． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）取点所在竖向格线与圆的交点，连接交于点，则，点为圆心，取与中间竖向格线的交点，取与竖向格线的交点，作直线交竖向格线的交点，连接交圆于点，过点作直径，连接交直径于点，点P即为所作． 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：理由：由作图知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 由垂径定理知和关于直径对称， ∴， ∴， ∴点P即为所作． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______． （2）解不等式②，得______． （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4） 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：解不等式①，得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：解不等式②，得 故答案为：； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20. 九年级研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取参与问卷的学生人数为_______，图①中m的值为_______； （2）求统计的这组一个月阅读课外书数量数据的平均数、众数和中位数； （3）全校共有学生1400名，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少？ 【答案】（1）100,41 （2）2.54,2,2 （3）574 【解析】 【分析】（1）用一个月阅读课外书的数量1本的数量除以其所占的百分比即可求得参与问卷学生的人数，用1减去1本、3本、4本所占的百分比即可求得m； （2）用平均数=，阅读课外书的人数最多的本数即为众数，根据中位数的定义即可确定中位数； （3）用总人数乘以样本中“阅读2本课外书”人数所占百分比即可解答． 【小问1详解】 解：本次抽取参与问卷的学生人数为（人）； ∵． ∴． 故答案为100，41． 【小问2详解】 解：∵， ∴这组数据的平均数是2.54； ∵在这组数据中，2出现了41次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2； ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有， ∴这组数据的中位数为2． 【小问3详解】 解：该校1400名学生一个月阅读2本课外书的人数约为：（本）． 【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合、平均数、众数、中位数的求法、用样本估计总体等知识点，读懂统计图、从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键． 21. 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的圆O与边相切于点E，与边相交于点F，，点G是中点． （1）如图①，求的度数； （2）如图②，延长交于点M，连接，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、切线的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质是解答的关键． （1）连接，证明为等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可； （2）连接，根据切线性质得到，由（1）中得，，，进而可求得，证明四边形是矩形得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接，则， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点G是中点． ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵与相切于点E， ∴， 由（1）知，，，，又， ∴，又， ∴，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． 22. 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）30°；（2）9m． 【解析】 【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 【详解】解：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，BE=PE=x米， ∵AB=AE-BE=6米， 则x-x=6， 解得：x=9+3． 则BE=（3+3）米． 在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米． ∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 23. 已知小王家、图书馆、体育场依次在同一条直线上，体育场离小王家，图书馆离小王家．小王从家出发，先用了匀速骑共享单车去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到图书馆读书，在图书馆读书后，用了匀速散步回家．下面图中x表示时间，y表示小王离家的距离．图象反映了这个过程中小王离家的距离y与时间x之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小王离家的时间 10 20 40 160 小王离家的距离 3.6 ②填空：小王从体育场到图书馆的速度为______ ； ③当时，请直接写出小王离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小王离开图书馆时，小王的哥哥从体育场出发匀速骑共享单车直接回他们的家，如果小王的哥哥的速度为，那么小王的哥哥在回家的途中遇到小王时离他们家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①1.8，3.6，0；②0.09；③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由小王从体育场到图书馆的距离除以时间求解即可； ③当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可；当时，直接根据图象写出解析式即可； （2）由题意可知小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为，设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王，可列方程，解得，即可求解． 【小问1详解】 解：①， 由图填表： 小王离家的时间 10 20 40 160 小王离家的距离 1.8 3.6 3.6 0 故答案为：1.8，3.6，0； ②小王从体育场到图书馆的速度为， 故答案为：0.09； ③当时，设y与x的函数解析式为， 把，代入得，，解得：， ∴； 当时，， ∴小王离家的距离y关于时间x的函数解析式为：； 【小问2详解】 小王离开图书馆后匀速散步回家的速度为， 设经过分钟小王的哥哥在回家的途中遇到小王， 则，解得：， 此时离他们家的距离为． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，；等边的顶点，点E是的中点． （1）填空：如图①，点C的坐标为______，点Q的坐标为______； （2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点E，P，Q的对应点分别为，设，等边与矩形重叠部分面积记为S． ①如图②，当边与相交于点M，边与相交于点N，点在点的左侧且矩形与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，点E是的中点，可得，由等边的顶点，可求； （2）①如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， 则，由题意知，，，当重合时，是等边三角形，，，则，当矩形与重叠部分为五边形时，，由平移的性质可知，，根据计算求解即可；②如图2，当时，重合部分为等边，，，则，由平移可知，此时重合部分面积最小，；由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，点E是的中点， ∴， ∵等边的顶点， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：如图1，连接交轴于，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，，， 当重合时，是等边三角形，，， ∴， ∴当矩形与重叠部分为五边形时，，即， 由平移的性质可知，， ∴； ∴； ②解：如图2， 当时，重合部分为等边，，， ∴， 由平移可知，此时重合部分面积最小，； 由平移可知，如图3，当重合部分为五边形时，面积最大， ∵，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦等知识．熟练掌握坐标与图形，等边三角形的判定与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，正切，余弦是解题的关键． 25. 已知抛物线（，是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C． （1）若，A点坐标为，对称轴为直线， ①求点P的坐标： ②将直线BC沿y轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围； （2）若，A点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点Q，当m为何值时，的最小值是？ 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据抛物线的对称性可得B点坐标为，即可得抛物线解析式为：，化为顶点式为：，可得顶点P的坐标为；②先求出点C的坐标为，再求出直线的解析式为：，根据将直线BC沿y轴向下平移个单位长度得到，可得设直线的解析式为：，联立：，可得关于x的一元二次方程：，根据与抛物线只有一个交点，可得，解得：，问题随之得解； （2）根据对称性求出B点坐标为，即可得抛物线解析式为：，则有C点坐标为，当时，连接、、，将绕点C逆时针旋转90度，得到，将绕点C逆时针旋转，使得与重合，得到，过E点作轴于F点，连接，先证明是等腰直角三角形，即有，则，当点A、Q、D、E四点共线时，最短为，证明，即可求出E点坐标为，即，可得，解得；当时，同理可求． 【小问1详解】 ①∵A点坐标为，对称轴为直线， ∴B点坐标为， ∵， ∴抛物线解析式为：， 化为一般式为：， 化为顶点式为：， ∴顶点P的坐标为； ②当时，， ∴点C的坐标为， 如图，设向下平移至时，与抛物线只有一个交点， ∵点C的坐标为，B点坐标为， ∴设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵将直线BC沿y轴向下平移个单位长度得到， ∴设直线的解析式为：， 联立：， 可得关于x的一元二次方程：， ∴方程的， ∵与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∵与抛物线总有公共点， ∴， 【小问2详解】 ∵A点坐标为，对称轴为直线，， ∴B点坐标为， ∵， ∴抛物线解析式为：， ∵当时，， ∴C点坐标为， 当时，连接、、，将绕点C逆时针旋转90度，得到，将绕点C逆时针旋转，使得与重合，得到，过E点作轴于F点，连接，如图， 根据旋转有：，，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， 显然，当点A、Q、D、E四点共线时，最短，最短为， 即最短为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴结合，有， ∴，， ∵B点坐标为，C点坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴E点坐标为， ∵A点坐标为， ∴， ∴， ∵最短为， ∴，解得； 当时，同理可求出， 综上所述，m的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的平移，一元二次方程的根与判别式的关系，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，构造合理的辅助线，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $