15.3.2《等边三角形》同步训练 2025－2026学年人教版八年级数学上册

15.3.2《等边三角形》 【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】 1．如图，是等边三角形，，，垂足分别为D，E，如果，则（    ）． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 2．如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 3．如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 4．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为 ． 5．如图，等边中，是上的点，于点， ． 6．如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为 ． 7．若等边的周长为，则 ． 8．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 【题型2：根据等边三角形的性质求角度】 1．如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则等于 ． 6．如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 7．如图，已知等边，直线，，则的度数为 ． 8．如图，在等边中，点分别在边上，且，则 ． 【题型3：等边三角形的判定】 1．如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上分别求作一点D，E，使为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 3．如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 4．如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 5．如图，在中． (1)尺规作图，过点作，垂足为，在的延长线上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件之下，若，且，试判断的形状，并证明你的结论． 6．如图，在中，，点在边上，连接，，是延长线上一点，且，，连接． (1)求的度数； (2)求证：为等边三角形． 7．已知：如图所示，在中，． (1)作的垂直平分线，分别交、于点、，连接（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)若，，求的长度； (3)在（2）的条件下，判断的形状（直接写出结果，不需要说明理由）． 8．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E． (1)若，求的长度； (2)连接，请判断的形状，并说明理由． 9．如图，中，，点，在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：是等边三角形． 【题型4：等边三角形的判定与性质】 1．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 3．如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 6．如图，点在上，，，且． (1)求证：； (2)取的中点，连接．若，求的度数． 7．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，，求的长． 8．如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 9．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：_________（填“>”，“<”或“=”）． (2)如图2，当点E为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为3，，求线段的长． 参考答案 【题型1：根据等边三角形的性质求有关的边长】 1．D 【分析】本题考查等边三角形的性质，角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，进而得到 ，可得，根据角的直角三角形的性质可求得的长，即可解题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明)，得到，设，则有，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， )， ， 设，则有， ， ，， ， ， ， ， 解得：，即， 故选：A． 3．4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，再由等边三角形的边长为4，得出的长．掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解： 为等边三角形，， ，， ，， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 5． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：等边， ， ， ， ． 故答案为：． 6．4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，判断是的垂直平分线是解答关键． 根据等边三角形的性质求出的长度，再利用三线合一得到是的垂直平分线来求解． 【详解】解：在等边三角形中，， ． ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：4． 7．4 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等是解题的关键． 设的长为，即可得一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设的长为， 是等边三角形， ， 解得，， 即， 故答案为：． 8．14 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出，然后根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶14． 【题型2：根据等边三角形的性质求角度】 1．B 【分析】由折叠的性质得到，根据外角的定义得到，即可得到结论． 本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】由折叠可知， 又， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和证明得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再证明可得，最后根据三角形外角的性质以及等量代换的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 5．54 【分析】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟知正五边形的性质是解答的关键．先根据正五边形和等边三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的性质求得，进而利用角的和差求解即可． 【详解】解：在正五边形中，，， 在等边三角形中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：54． 6． 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质，外角性质，先运用，，得出，结合等边三角形的性质，得出，最后运用外角性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵是等边三角形， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 7．75 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，先求解，再求出即可． 【详解】解：如图，    ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：75． 8． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，由等边三角形的性质可得，，进而可得，即得到，进而由三角形外角性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3：等边三角形的判定】 1．解：作平分线交于点，再以点为圆心为半径作弧交于点，连接，则为等边三角形． 由作图知， ∵， ∴为等边三角形． 2．（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 3．证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 4．（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 5．（1）解：如图即为所求作； （2）解：是等边三角形，证明如下： ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 6．（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴为等腰三角形，平分， ∴， ∴为等边三角形． 7．（1）解：所作图形，如图， （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 8．（1）解：连接， ∵，， ∴， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ∵， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： 垂直平分， 为中点， ， ， ， 是等边三角形． 9．（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形． 【题型4：等边三角形的判定与性质】 1．（1）证明：在中，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 3．（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 4．（1）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， （2）解：，， 是等边三角形， ， 平分， ，， ，， ， 在中，， ． 5．（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 6．（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴为等边三角形， ∴， ∵取的中点，连接． ∴． 7．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 8．（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴与之间的数量关系是． （3）如图，在射线上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 9．（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：=； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， , ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2）得：是等边三角形，， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$