15.3.1《等腰三角形》 同步训练 2025－2026学年人教版八年级数学上册

15.3.1《等腰三角形》 【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 2．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 3．若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ． 4．已知有理数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形周长是 ． 5．如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】 1．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在中，点在上，并且，若平行，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（  ） A． B．或 C． D．或 4．某平板电脑键盘支架如图所示，其中，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，再分别以点C，D 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点 E，射线 交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是边上的高，交的延长线于点，则的度数为 °． 7．如图，在中，，点在线段上（点不与点，重合），连接，作且边交线段于，若，则的大小为 ． 8．如图，，，则的度数为 ．    9．如图，在中，是斜边的垂直平分线，连接，若，则 度． 【题型3：判断等腰三角形的个数】 1．如图所示，在中，，，平分，点在边上，且，则图中等腰三角形的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，，垂直平分线交于D，交于E，给出下列结论：①；②平分；③；④是等腰三角形，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图所示，中，，点在上，且，，图中等腰三角形的个数（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，折叠该纸片，使点、点重合，折痕交边于点，连接，则图中等腰三角形的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．如图，，，，图中等腰三角形的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若点在轴上，且为等腰三角形，则点的个数有（   ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3.北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 5．如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 7．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（   ）    A．7 B．8 C．9 D．10 【题型5：等腰三角形的判定】 1．如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 2．如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 3．如图，B、E、C、F是直线l上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 4．如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    5．如图，中，D为中点，．求证：为等腰三角形． 6．如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 7．如图，是的一个外角，平分，且，请说明是等腰三角形． 【题型6：等腰三角形的判定与性质】 1．如图，中，平分，平分，经过点D，与相交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，直接写出的周长： ． 2．如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 3．如图，在中，，于． (1)求证：； (2)若平分分别交、于，试判断的形状，并说明理由． 4．如图，在中，为的中点，连接AD,EF垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 5．在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 6．如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 7．如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 8．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)求证：是等腰三角形： (2)若的周长是，，求的长． 【题型7： 等腰三角形的实际应用】 1．如图，一艘轮船由西向东航行，在处测得小岛在北偏东方向，又航行10海里后，在处测得小岛在北偏东方向，若小岛周围4海里范围内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？请说明理由． 2.如图，灯塔C在海岛A 的北偏东的方向，某天上午9点整，一艘船从海岛A 出发，以30海里/时的速度向东航行，11点整到达 B 处，此时测得灯塔C在B 处的北偏东的方向． (1)求证：是等腰三角形． (2)已知在以灯塔C为中心，周围25海里的范围内均有暗礁，若该船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 3．某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案． 组别 方案 甲组 ①在河岸边点处，选对岸正对的一棵树，即垂直河岸；②沿河岸直行处有一棵树，继续前行到达点处；③从点处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的点处时（即点在同一直线上），停止行走；④测得的长为． 乙组 ①在河岸边点处，选对岸正对的一棵树，即垂直河岸；②从点出发，沿着与直线成角的方向前进到处，在处测得，③量出的长，它就是河宽（即点之间的距离） 问题解决 （1）根据甲组的方案， ①河的宽度是 ； ②请说明他们做法的正确性（需写出必要的过程） （2）根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？（至少2条） 4．王晓想测量一棵树的高度，如图，树杆上的处开始有分枝长出，王晓在地面上的点处测得，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 5．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； (2)连接，若，求的度数； (3)求的长． 参考答案 【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】 1．D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形两边之和大于第三边进行验证． 【详解】等腰三角形的两边长为3和7，可能有两种情况： 当腰长为3，底边为7时， 此时三边为3、3、7． ∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形； 当腰长为7，底边为3时， 此时三边为7、7、3， ∵， ∴可构成三角形， ∴周长为． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分情况讨论，假设9作腰长，则三边分别为9，9，4，能构成三角形 周长为：； 假设4作腰长，则三边分别为4，4，9，而，不能构成三角形， 所以此等腰三角形的周长是． 故选：B． 3．1或7 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用等知识．本题已知了等腰三角形的周长和一边的长，但是没有明确长为7的边是腰长还是底边长，因此要分类讨论：腰长为7或底边长为7． 【详解】解：本题可分两种情况： ①当腰长为7时，底边长，，符合三角形三边关系， ②底边长为7，此时腰长，，符合三角形三边关系． 因此该等腰三角形的底边长为1或7． 故答案为：1或7． 4．22 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练利用三角形的三边关系进行判断． 根据非负数的性质列式求出，的值，再分腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形； ②9是腰长时，三角形的三边分别为9、9、4， ， 能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述，三角形的周长是22． 故答案为：22． 5．13 【分析】本题考查了图形的平移，等腰三角形的性质，由平移得到可得是解决本题的关键． 由图形平移，即沿着的方向平移得到线段，可得到两个信息，，且，再结合等腰三角形的腰长相等计算周长即可． 【详解】解：因为线段沿着的方向平移得到线段， 又， 所以，且， 又因为， 所以， 又因为是以为底边的等腰三角形， 所以， 则的周长为． 故答案为：13 ． 【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】 1．D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，再由三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及外角的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，根据得到，由作图可得，，求出的值，再运用三角形内角性质得，结合进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知， 平分，垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 6．25 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理应用，先根据是边上的高，，求出，再根据等腰三角形的性质求出，求出，最后根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：25． 7．30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质，得到是等腰三角形是解决本题的关键． 先由可得，再由，可得，即是等腰三角形，可求解的度数，再结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴的大小为． 故答案为：30 ． 8． 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形锐角互余等知识点． 根据垂直平分线得到，则，再根据直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】解：∵是斜边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型3：判断等腰三角形的个数】 1．B 【分析】本题考查等边对等角，等角对等边，与角平分线有关的三角形内角和问题，根据等边对等角，结合角平分线的定义，三角形的内角和定理，求出各个角的度数，再根据等角对等边确定等腰三角形即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴是等腰三角形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 故图中等腰三角形的个数有4个； 故选B． 2．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．①根据三角形的内角和定理以及等边对等角即可求解；②根据线段的垂直平分线的定义求得，进而根据①的结论即可求得，根据角平分线的定义即可判断；③由①可知，根据三角形的外角性质求得，根据等角对等边即可得，进而可得，④根据③即可判断是等腰三角形 【详解】， 故①正确； 垂直平分， ， ， ， 平分； 故②正确； ， ， ， ， 故③正确； ， 是等腰三角形， 故④正确； 故正确的有①②③④，共4个 故选：D 3．C 【分析】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意可知，，，都是等腰三角形，根据三角形外角的性质求得的度数，进而可得和的度数，进而证明为等腰三角形，进而求解； 【详解】解：，，， ，，，都是等腰三角形， 则，，，， ， 则，， 在中，， 则， 则， ， 则， 即为等腰三角形， 综上一共有个等腰三角形； 故选：C 4．A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法，等角对等边，根据两边相等的三角形为等腰三角形即可解答 【详解】解：， ， ， ， 是等腰三角形； ∵折叠该纸片，使点、点重合，折痕交边于点， ， 是等腰三角形； ， ， ， ， ∴， 是等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数是3个， 故选：B． 5．D 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和分别计算出、的度数，再计算出的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 【详解】解：∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∵根据三角形内角和定理知， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴，是等腰三角形， 故图中共3个等腰三角形， 故选：D． 6．B 【分析】根据角平分线的定义，以及平行线的性质可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系．本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，． ， ，， ，， ，，即，都为等腰三角形． 又，， ，且， ，都为等腰三角形． ，与的平分线相交于点， ， ，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：，，，，， 故选：B． 【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】 1．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图：    当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 当时，点满足题意； 综上：点的个数有4个； 故选B． 3.B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；分三种情况考虑：以A为顶点；以B为顶点；以P为顶点． 【详解】解：如图，以A为顶点，这样的点P有两个，分别是； 以B为顶点，点满足题意； 以P为顶点，则点满足题意． 综上，满足题意的点共有4个； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： ， 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；分三种情况考虑：以A为顶点；以B为顶点；以P为顶点． 【详解】解：如图，以A为顶点，这样的点P有两个，分别是； 以B为顶点，点满足题意； 以P为顶点，则点满足题意． 综上，满足题意的点共有4个； 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： ， 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：B． 7．B 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握运用等腰三角形的定义是解题关键．根据等腰三角形的定义及垂直平分线的判定作出相应图形，然后即可确定点的个数． 【详解】解：如图：    ①当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有2个交点为（去除点）； ②当时，以为圆心，为半径画圆，与坐标轴有4个交点为， 当时，作出的垂直平分线，与坐标轴有2个交点为， 故有8个符合条件的动点P， 故选：B． 【题型5：等腰三角形的判定】 1．证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 2．证明：， ． ， ， ， 是等腰三角形． 3．证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 4．证明：， ， 又， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 5．证明：如图：过D点作于点于点F， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 为等腰三角形． 6．（1）证明：平分，， ，， 在和中，， ； （2）证明：， ， ， 是等腰三角形． 7．证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． 【题型6：等腰三角形的判定与性质】 1．（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形；； （2）解：同（1）可证， 又∵，， ∴的周长 ， ∴的周长为． 2．（1）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴． 3．（1）证明：，于， ，， ； （2）解：是等腰三角形． 理由如下：在中，， 在中，， 又平分， ， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 4．（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，点D是的中点，， ∴． 在中，． 5．（1）解：，是的中点        即   又     （2）证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 6．（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 7．（1）解：∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长， 的周长， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴． 8．（1）证明：∵，， ∴．             ∵是的垂直平分线， ∴，             ∴，             ∴，           ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵的周长是13， ∴，        ∵， ∴，即，         ∵， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． 【题型7： 等腰三角形的实际应用】 1．解：无危险 由题意得，，， ∵， ∴， ∴海里， ∵在直角中， ∴海里海里， 故若继续向东航行无触礁的危险． 2.（1）解：根据题意得， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：不会有触礁的危险，理由如下： 根据题意得（海里）， （海里）， 过C作交的延长线于点D， ， （海里）， ， ∴若这条船继续由西向东航行不会有触礁的危险． 3．解：（1）①由题意知，米，即河的宽度是10米； 故答案为：10； ②证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）根据题意，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 所以，根据乙组的方案，他们用到的数学几何知识可有：在同一个三角形中，等角对等边；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 4．解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴即 ∵米，米， ∴米 ∴米 5．（1）解：同意他的看法，即，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示， 由旋转的性质可知． 是等腰三角形， ． ，， ； （3）解：由旋转的性质可知， ，， ， 又，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$