专题3.8 直线与抛物线的位置关系（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题3.8 直线与抛物线的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 1 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 2 【题型3 抛物线的弦长问题】 3 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 4 【题型5 抛物线中的切线问题】 5 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 6 【题型7 抛物线中的参数范围及最值问题】 7 【题型8 抛物线中的定点、定值问题】 8 【题型9 抛物线中的定直线问题】 9 【题型10 抛物线中的向量问题】 11 知识点1 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（24-25高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式1-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 【例2】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（24-25高二下·湖北宜昌·期末）设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【变式3-1】（24-25高二上·河南安阳·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为，求； (2)求证：. 【变式3-3】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 【例4】（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为. (1)求直线l的斜率； (2)若，求的值. 【变式4-3】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知焦点位于x轴的抛物线C过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 知识点3 抛物线的切线 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 抛物线中的切线问题】 【例5】（24-25高二上·甘肃陇南·期末）已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【变式5-3】（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离为9. (1)求抛物线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积. 【变式6-3】（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【题型7 抛物线中的参数范围及最值问题】 【例7】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是. (1)求抛物线的方程； (2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值. 【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 知识点4 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．抛物线中的定点、定值问题 抛物线中的定点、定值问题一般与抛物线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．抛物线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型8 抛物线中的定点、定值问题】 【例8】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【变式8-1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 【变式8-2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【变式8-3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【题型9 抛物线中的定直线问题】 【例9】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【变式9-1】（24-25高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【变式9-2】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知抛物线，，是C上两个不同的点． (1)求证：直线与C相切； (2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上． 【变式9-3】（2025·山东·二模）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 【题型10 抛物线中的向量问题】 【例10】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高三上·安徽·开学考试）已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． (1)若直线的斜率是，求的值； (2)若是坐标原点，求的值． 【变式10-3】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.8 直线与抛物线的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 1 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 3 【题型3 抛物线的弦长问题】 5 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 8 【题型5 抛物线中的切线问题】 11 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 14 【题型7 抛物线中的参数范围及最值问题】 18 【题型8 抛物线中的定点、定值问题】 23 【题型9 抛物线中的定直线问题】 27 【题型10 抛物线中的向量问题】 31 知识点1 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【题型1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1】（24-25高二·全国·课后作业）直线与抛物线的位置关系为（　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解题思路】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论． 【解答过程】直线过定点， ∵， ∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交， 故选：A． 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【解题思路】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【解答过程】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 【变式1-3】（2025高二·全国·专题练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】B 【解题思路】求出直线AF的中垂线方程，代入，可得，即可得出结论． 【解答过程】设，，则的中点坐标为，， 所以中垂线的斜率为， 所以直线的中垂线方程为，代入，可得， ∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切. 故选：B. 【题型2 根据直线与抛物线的位置关系求参数】 【例2】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解答过程】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式2-1】（24-25高二下·湖北宜昌·期末）设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立直线与抛物线方程，根据方程有根，判别式大于等于0即可求解. 【解答过程】∵，∴， 根据题意可知过点的直线有斜率，故设过点的直线l方程为. ∵l与抛物线有公共点，，∴方程组 有解， 即有解．∴即1. ∴或， 当 时，显然符合题意，故 故选：C. 【变式2-2】（2025·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【解答过程】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 知识点2 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则|AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【题型3 抛物线的弦长问题】 【例3】（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【解题思路】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【解答过程】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·河南安阳·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为并于抛物线联立，利用中点坐标公式以及可得，再由弦长公式可得答案. 【解答过程】易知抛物线的焦点， 由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，， 联立，整理可得， 所以显然成立， 又为的中点，可得，即; 所以，整理可得， 解得或（舍）； 因此. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为，求； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到； （2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系. 【解答过程】（1）直线的方程为， 联立得，显然， 设，则， 则； （2）当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线的方程为， 与联立得，显然， 设，则， 则， 故，所以，即. 【变式3-3】（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 【答案】(1) (2)16 【解题思路】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）直线方程与抛物线方程联立，方法一：利用弦长公式或两点间距离结合韦达定理可求；方法二：利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）因为抛物线过点， 所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）设， 联立消去可得，. 由一元二次方程根与系数的关系得，. 方法一： . 方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点， 如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为. 由抛物线的定义可知，. 于是. 由方法一可得， 于是. 【题型4 抛物线的焦点弦问题】 【例4】（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【解答过程】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直线和抛物线联立，设，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点， 直线和抛物线联立，可得. 设，可得， 由抛物线的定义可得， 因为，可得与， 得到，所以方程为. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（其中点A在第一象限），点A到抛物线C的准线的距离为. (1)求直线l的斜率； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点A的坐标 ，由已知可得，求得，可求直线l的斜率； （2）由（1）可得直线l的方程为：，与抛物线联立方程组，设点B的坐标，可得，由焦点弦长公式可求. 【解答过程】（1）设点A的坐标 ， 因为点A到抛物线准线的距离是， 所以，所以，代入抛物线方程得： 所以点，又因为点， 所以直线l的斜率. （2）因为抛物线C的焦点F，所以直线l的方程为： 由得：， 可知恒成立， 设点B的坐标，则， ，所以. 【变式4-3】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知焦点位于x轴的抛物线C过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】(1)，准线方程为 (2) 【解题思路】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程； （2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解. 【解答过程】（1）由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； （2）由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，，    由，得：， 则， 则． 知识点3 抛物线的切线 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【题型5 抛物线中的切线问题】 【例5】（24-25高二上·甘肃陇南·期末）已知抛物线（）与倾斜角为45°的一直线相切于点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意得到直线方程，联立直线和抛物线方程，令得到即可得到抛物线方程和焦点坐标. 【解答过程】由题意得，直线方程为，即， 直线方程代入抛物线方程得，由得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为. 故选：B. 【变式5-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】设，设出过点过处的切线方程与抛物线联立，由，得出其斜率，化简点过处的切线方程，同理得出点过处的切线方程,根据题意得出点的坐标，结合点到直线的距离公式可得出答案. 【解答过程】设，设过处的切线方程是， 联立，得， 由题意，即， 则在处的切线方程为， 同理，处的切线方程为， 设交点的坐标为，点在两条切线上， 所以，，则直线的方程是. 又过其焦点，易知交点的轨迹是，所以，：，所以交点到直线的距离是， 所以当时距离最小值为2. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知抛物线． (1)若直线与抛物线交于、两点，的中点为，求直线的方程； (2)求过点的抛物线的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设，，设直线的方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标求得参数值得直线方程； （2）设切线方程，代入抛物线方程后由判别式为0求得参数值，得切线方程． 【解答过程】（1）当直线的斜率为时，与抛物线只有一个交点，故不合题意， 所以直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，消去得 则 设，，所以 因为的中点为，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； （2）若过点的切线斜率为，则该直线与抛物线相交，所以不合题意， 所以过点的切线设为 由消去得, 则有 所以或， 所以所求切线方程为或 即或 【变式5-3】（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2． (1)求； (2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据圆外一点到圆上的点的最小距离的求法确定的值. （2）设过点的切线方程，带入抛物线方程，由直线与抛物线相切，可求切线斜率和切点坐标，利用两点间的距离公式求. 【解答过程】（1）因为（），则其到圆心距离减去半径为2，故 . （2）由（1）可知，抛物线的标准方程为：. 如图：    因为过点的切线一定有斜率，故设切线方程为：，即， 代入得：，整理得：. 因为直线与抛物线相切，所以 或. 当时，由 ，所以切点； 当时，由 ，所以切点. 所以 . 【题型6 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解. 【解答过程】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】由，可得，解得，代入抛物线方程可得，解得，可得直线的方程与抛物线方程联立可得，利用的面积和的面积之比即可得出. 【解答过程】如图所示，， ，，解得， 代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限，解得， 直线的方程为：，化为， 联立，化为，解得， 的面积和的面积之比. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知抛物线上一点到焦点的距离为9. (1)求抛物线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求； (2)把向量的数量积转化为坐标运算，求得，利用点到直线的距离公式，求出三角形的高，利用焦点弦长公式，求出，三角形面积公式，求出面积. 【解答过程】（1）由抛物线的定义得，解得， 抛物线的方程为； （2）设，由（1）知点， 直线的方程为， 由可得， 则， 不妨取，则点的坐标分别为， 设点的坐标为，则， 则， 解得.即， ， 点到直线的距离， 的面积. 【变式6-3】（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解题思路】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程； （2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得； （ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 所以的方程为：； （2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点， 故可设的直线的方程为， 代入抛物线的方程， 可得， 方程的判别式， 设，， 不妨设，则, 所以直线AD的方程为：，即 即，令，可得， 所以，所以 所以； （ii）如图所示，可得， ， 所以与的面积之和 当且仅当时，即时，等号成立， 所以与的面积之和的最小值为. 【题型7 抛物线中的参数范围及最值问题】 【例7】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值. 【解答过程】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为，，与抛物线联立可得，再利用求曲线上一点的切线方程得过与相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得，再利用两点间的距离公式计算得结论. 【解答过程】 显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，， 由得，因此， 故. 因为，所以过与相切的直线方程分别为：、， 因此由得，即， 所以 . 因为，所以，因此， 所以的取值范围是. 故选:C. 【变式7-2】（24-25高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是. (1)求抛物线的方程； (2)已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出渐近线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出和的坐标，并得到的中垂线方程，得到，表达出，求出的最小值. 【解答过程】（1）的焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取，即. 由点到直线的距离公式得，得， 所以抛物线的方程为. （2）由(1)知，，. 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 直线斜率不为0，故设直线的方程为， 联立消去并整理，得，， 设，，则，， ， ∴. 易得点的坐标为， ∴的中垂线方程为， 令得， ∴， 从而， ∴， ∴当且仅当时，取最小值. 【变式7-3】（2025·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意结合抛物线的定义分析可得，进而可得； （2）设直线的方程为，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理整理得，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】（1）抛物线的准线方程为， 设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 由题意可知，的斜率存在且均不为0， 设直线的方程为， 将其代入，得，则有． 同理可得：设直线的方程为，则． 所以， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又易知， 所以的取值范围为． 知识点4 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．抛物线中的定点、定值问题 抛物线中的定点、定值问题一般与抛物线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．抛物线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型8 抛物线中的定点、定值问题】 【例8】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知点是抛物线：上的一点，点，是上异于点的不同的两点． (1)求的标准方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【解题思路】（1）点代入抛物线方程求出即可； （2）设出直线，的方程，与抛物线方程联立，求出，，结合抛物线方程，利用斜率公式求出直线的斜率即可． 【解答过程】（1）因为点是抛物线：上的一点， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2）显然直线、的斜率存在且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，得，， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为． 【变式8-1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且的面积为（为坐标原点）． (1)求抛物线的标准方程； (2)点、是抛物线上异于原点的两点，直线、的斜率分别为、，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得出关于实数、的方程组，解出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）设点、，由斜率公式结合抛物线方程推导出，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，可求得的值，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以，抛物线的方程为. （2）设点、，则， 即， 显然，所以，， 若直线垂直于轴，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立，消去得， 则，且，又， 则，解得，满足， 所以，直线的方程为，故该直线过定点. 【变式8-2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【解答过程】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点. 【变式8-3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值. 【解题思路】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 【题型9 抛物线中的定直线问题】 【例9】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【解答过程】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 【变式9-1】（24-25高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【解题思路】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【解答过程】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 【变式9-2】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知抛物线，，是C上两个不同的点． (1)求证：直线与C相切； (2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用证明即可； （2）设，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得，然后由可得，即可证明. 【解答过程】（1）联立得， 因为在C上，则， 所以，因此直线与C相切． （2）由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为， 联立得， 因为，，所以． 又因为，所以， 解得，所以． 故点P在定直线上． 【变式9-3】（2025·山东·二模）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． (1)求的标准方程； (2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）当直线的斜率为时，写出直线的方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，结合可求出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）分析可知直线、都不与轴重合，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，设、，由韦达定理可得，同理可得出，写出直线、的方程，求出这两条直线的交点的横坐标，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、， 联立可得， ，因为，可得， 由韦达定理可得，， ， 整理可得，解得或（舍去）， 因此，抛物线的方程为. （2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合， 设直线的方程为，联立可得， 则可得， 设点、，由韦达定理可得， 设直线的方程为，设点、，同理可得， 直线的方程为，即， 化简可得， 同理可知，直线的方程为， 因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，    交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可， 由，消去， 因为直线与相交，则， 解得 ， 所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上. 【题型10 抛物线中的向量问题】 【例10】（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】可分割成上下两部分来求，于是只需求的纵坐标，设出直线方程，联立抛物线，结合题干条件进行求解. 【解答过程】显然直线的斜率非零，可设，联立抛物线可得， 设，且不妨设在轴上方，即， 由题知，，又，即， 故，根据韦达定理，，解得， 于是. 故选：C. 【变式10-1】（24-25高三上·安徽·开学考试）已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得，则可设直线，直线，分别与抛物线方程联立，设，由韦达定理可得，，结合，可解得的值，从而可得的值，再利用弦长公式即可求解. 【解答过程】由题意得， ， ， 设直线，直线， 联立，得， 设，则， 联立，得，则， 则，则，故， 由，得，解得， 则，故. 故选：A. 【变式10-2】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． (1)若直线的斜率是，求的值； (2)若是坐标原点，求的值． 【答案】(1)9 (2) 【解题思路】（1）联立方程可求解方程两个根，即可根据焦点弦公式求解， （2）根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）抛物的焦点是，直线方程是，与，联立得：， 解得，所以． （2）当垂直于轴时，． 当不垂直于轴时，设，代入得， 所以，从而． 故， 综上． 【变式10-3】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义来求得直线的方程. （2）根据来进行求解，利用弦长公式求得. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为，， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， ，解得， 所以直线的方程为. （2）由，令，解得，则， 依题意，，， 所以，则， 结合，解得， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$