河南省开封高级中学东校2023-2024学年高二下学期数学滚动测试卷四

开封高中东校区2025届高二下学期数学滚动测试卷四 一、单选题 1．已知函数的导数为，则＝（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知空间不共线的向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（    ） A．6种 B．12种 C．15种 D．30种 4．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B．20 C． D．19 5．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（    ） A． B． C． D． 6．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．在四面体中，、、，，点为线段上动点（包含端点），设直线与所成角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．的极值点为 B．的极大值为 C．的最大值为 D．只有1个零点 10．如图，在直三棱柱中，是直角三角形，且，，为的中点，点是棱上的动点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值是 B．三棱柱的外接球的球面积是 C．当点是线段的中点时，三棱锥的体积是 D．的最小值是 11．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，短轴的上、下两个端点分别为，点是椭圆上异于顶点的动点，则（    ） A．存在点使得 B．若，则 C．过且垂直于的直线与交于两点，则的周长为8 D．的角平分线与轴相交于点，的取值范围是 12．已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（    ） A．当时， B．当时， C．一定能被3整除 D．的取值集合为 三、填空题 13．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则 . 14．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有 种. 15．已知双曲线的右支上有一点，点关于坐标原点对称的点为为双曲线的左焦点，且满足，当时，双曲线的离心率为 ． 16．设为数列的前项和, 已知, 对任意N, 都有，   则N)的最小值为 . 四、解答题 17．已知等差数列满足，等比数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 18．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值． 19．已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为.若，(为偶数)，求的值. 20．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 21．已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，求的最大值. 22．已知函数. （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开封高中东校区2025届高二下学期数学滚动测试卷四答案 1．D 【详解】则.故选：D. 2．C 【详解】因为，，， 对于A：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故A错误； 对于B：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故B错误； 对于C：因为， 所以，则、、三点共线，故C正确； 对于D：因为， 则不存在任何，使得，所以、、不共线，故D错误；故选：C 3．B 【详解】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座. 要求每人左右均有空座， 在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法.故选：B. 4．B 【详解】设公差为，由，所以，解得， 所以，所以， 令，则， 对于函数，对称轴为，开口向上，，， 所以当时，，即，当时，，即， 所以当时，则的最小值为.故选：B. 5．B 【详解】取线段的中点，连接，过点作，垂足为点， 则， 所以，，所以，，所以，， 因为，所以，是边长为的等边三角形，则， 由抛物线的定义可知，所以，，故， 所以，，则，即点到直线的距离为.故选：B. 6．B 【详解】因为的圆心为，圆的圆心为， 因为直线为圆的切线，所以，， 又因为，所以，可得，又， 所以，且平分，所以， 则，则最小值即的最小值， 即圆心到的距离，所以， 所以的最小值为，故选：B. 7．D 【详解】解：设，则，由，，， ，又，则，， ，由，可得，，故选：． 8．D 【详解】因为，两边同时求导可得：， 又，即，可得关于对称， 对两边同时求导可得，则关于对称； 又为奇函数，则，求导可得， 所以关于对称，同时，则关于对称， 由关于对称得，， 由关于对称得，，故，可得， 所以，故的周期为6；同理的周期也为6， 因此， 由可知，令可得；由关于对称，可得；所以故选：D. 9．BCD 【详解】∵函数，∴，由，得，由，得，∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，且为函数的最大值，故Ａ错误，BC正确； 又因为，且当时，，当时，，故D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【详解】解：对于A，如下图，连接 在直三棱柱中，有，则为异面直线与所成角或其补角，又是直角三角形，且，则，所以，则， 在直三棱柱中，平面，平面，则，所以，同理得 则 于是异面直线与所成角的余弦值是，故A正确； 对于B，由于直三棱柱中，平面，平面，则，且，故该三棱柱可以与以为顶点，为棱的长方体的各顶点重合 所以三棱柱的外接球的球半径 则三棱柱的外接球的球面积是，故B错误； 对于C，如下图，连接 在三棱柱中，四边形为平行四边形，当点是线段的中点时，也是线段的中点， 又，平面，平面，所以平面 则点到平面的距离与点到平面的距离相同，所以，故C正确； 对于D，在三棱柱中，四边形为矩形，又为的中点，则为的中点，则均在平面上，在中，，，且 如图，在平面，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，其中点关于直线对称的点为则 又，则当三点共线时最小，点是棱上的动点，则可得最小值设，又，所以直线方程为，所以，则，所以时，在线段上，且，所以的最小值是，故D正确.故选：ACD. 11．BCD 【详解】由题意，在中，， ∴， ∵点是椭圆上异于顶点的动点， ∴当点在上顶点处时角度最大， 此时，是等边三角形，， ∴角度最大为，不可能存在点使得，A错误； B项，由，结合余弦定理得， 解得： ∴ 在和中，由余弦定理， ， ， ∵，∴，解得：，B正确； C项，由几何知识得，直线， 过点直线且垂直于的直线， 在等边中，，∴垂直平分， ∴， ∴，C正确； D项，由题意及几何知识得，, ∵∴， ∴,D正确.故选：BCD. 12．AB 【详解】由题意可知为二次函数，且为的零点， 由得或， 当时，令，解得或；令，解得； 可知：在内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点，若，则， 因为，即，两者相矛盾，故， 则有2个根，有1个根，可知， 若，可知，； 若，可知，； 若，可知，；故A正确； 当时，令，解得；令，解得或； 可知：在内单调递增，在内单调递减， 则为极大值点，为极小值点， 若，则，因为，即，两者相矛盾，故， 若，即，可知，，； 若，即，可知，，； 若，即，可知，，； 此时，故B正确； 综上所述：的取值集合为，的取值集合为，故CD错误；故选：AB. 13． 【详解】因为分别在半平面内，，二面角等于， 所以，因为， 所以 ，所以，故答案为： 14．24 【详解】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种， 当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种， 由分类加法原理可知共有种，故答案为：24 15． 【详解】设双曲线的右焦点为，连接， 由双曲线的对称性可知四边形为矩形，且， 所以，， 由双曲线的定义知，，而，所以双曲线的离心率为 .故答案为： 16． 【详解】由题可设 ，则 ，则数列是以2 为首项，2 为公差的等差数列， ， ，当且仅当时取得最小值，由 ，所以或，因为 ，即得最小值为 点睛：本题考查数列的递推公式即等差数列的有关性质，解题时注意 17．(1)，(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由，可得，解得，则. 由，可得是首项为，公比为的等比数列，则. （2）由（1）得， ， ， 所以 ， ，故. 18．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）由题意，因为四边形为菱形，所以.连接AC. 因为，所以为等边三角形，从而. 在中，是的中点，所以. 因为平面，平面，所以. ∵，面，平面，面，∴平面. 又平面，∴平面PCE⊥平面PAD （2）由题意及（1）得，在平面中，过点作，垂足为，连接.因为平面,平面，所以. 又, 平面,平面，所以平面. 又平面，所以，从而是二面角的平面角． 在Rt中，,，所以.在Rt中，，， 所以.在Rt中, ,所以二面角的平面角的正弦值为. 19．（1）；（2）. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以 即解得，所以.经检验，符合题设， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 所以.，∴， 因为，，所以，即. 因为为偶数，所以. 20．（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1），， 又由题意得，，所以，即切线方程为. （2）证明：由（1）知，，所以在区间单调递增， 由于，且，所以，使得，即有唯一的根， 记为，则，对两边取对数，得，整理得， 因为时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 所以.当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，即. 21．(1)(2) 【详解】（1）由，解得，，所以椭圆的方程为. （2）由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消整理得，， 设、，则，. 因为的方程为，的方程为 两直线方程联立得： 因为.所以，解得. 所以动点的轨迹方程为 由椭圆的对称性不妨设，直线、的倾斜角为，， 由图可知，且，因为，则， 因为，， 所以 当且仅当时等号成立，此时，，所以的最大值为.    22．（1）极小值为，极大值为；（2）. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 由函数在点处的切线方程为，得，解得 此时，. 令，得或.当和时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则当时，函数取得极小值，为， 当时，函数取得极大值，为. （2）由得. 不等式可变形为， 即因为，且， 所以函数在上单调递减.令 则在上恒成立，即在上恒成立 设，则. 因为当时，， 所以函数在上单调递减，所以， 所以， 即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$