24.2.2直线和圆的位置关系(第2课时 切线的判定与性质) （培优教学课件）数学人教版九年级上册

圆24.2.2(第2课时) 切线的判定与性质 第二十四章 圆 人教版2024·九年级上册 情境导入 思考：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的? 思考：如何判断一条直线是切线？ 都是沿切线方向飞出的. 知识建构 A B C 思考：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？ 思考： （1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的 半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ O 劣弧与优弧 直线与圆相切的判定定理 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ∵ l⊥OA 且OA为圆O的半径 ∴ l是⊙O的切线 几何语言表示: Ｏ A B C 知识建构 思考：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 不是，没有垂直. 不是，没有经过半径的外端点 O. A O. A O A 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 劣弧与优弧 判断一条直线是一个圆的切线的方法 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 l A l O l r d 例题讲解 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB = r. ∴ AC 是⊙O 的切线. 例题讲解 例2 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，且AC： AB ：BC：2.求证：AC 是☉O 的切线. 证明：∵AC： AB ：BC：2， 设AC=x,则 AB =x，BC=2x， 则+=, 根据勾股定理的逆定理， 得 ∠BAC = 90°，即 AB⊥AC. ∵ AB 是☉O 的直径， ∴ AC 是☉O 的切线. A O C B 例题讲解 例3 . 平面几何三要素（平行线+等腰三角形+角的平分线：知二推一）在切线的证明中经常使用！ 例题讲解 例4 例题讲解 例5 例题讲解 例6 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切． 证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC. 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线 AC上一点， ∴OM＝ON， ∴CD与⊙O相切． M N 劣弧与优弧 切线的判定方法 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 劣弧与优弧 切线的性质 思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？ A l O 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． ∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点， ∴直线 l⊥OA. 应用格式 知识建构 思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？ A l O 如何证明？ 可以用反证法尝试. 知识建构 （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OM⊥CD，垂足为 M； 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD 与⊙O 相交. 这与已知条件“直线 与⊙O 相切”相矛盾； C D B O A （3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直. M 证法：反证法 性质定理的证明 劣弧与优弧 切线的性质 圆的切线和圆只有一个公共点. 圆心到切线的距离等于半径. 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心. A l O 例题讲解 例7 如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理. 解： 因为两个三角尺的一条直角边与圆相切，另一条直角边在一条直线上，所以两条切线互相平行. 则连接两切点之间的线段就是圆的直径，利用图中刻度尺就可以测量出圆形工件的直径. 例题讲解 例8 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ O P B A 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3. 例题讲解 例9 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 本课小结 切线 切线的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直 课后巩固 1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于( ) A.24° B.25° C.28° D.30° C 2. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45° C P O D A B C 课后巩固 D C A.以PA为半径的圆 B.以PB为半径的圆 C.以PC为半径的圆 D.以PD为半径的圆 A.CA=CB B.∠AOC=∠BOC C. ∠ACO=∠BCO D.OA=2OC 课后巩固 6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切 ⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝__________． 40° 5. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12， 则 PA 与☉O 的位置关系是 . 相切 A P O 课后巩固 8. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB. 求证：AT是⊙O的切线. 证明： ∵ AT=AB， ∴∠T=∠ABT=45°， ∴∠TAB=90°， ∴BA⊥AT， ∴AT是⊙O的切线. A B . O T 课后巩固 9.如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数. B O P A 解：如图，连接 OA. ∵ PA 是⊙O 的切线， ∵∠AOP = 2∠B = 50°， ∴∠P = 90° - 50° = 40°. ∴∠OAP = 90°. 课后巩固 10.如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、C 两点，∠P = 30°，连接 AO、AB、AC. 求证：△ACB≌△APO. O A B P C 证明：∵ PA 为⊙O 的切线，A 为切点， ∴∠OAP＝90°. 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°. 又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形. ∴ AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵ BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB 和 △APO 中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP， ∴△ACB≌△APO (ASA). 课后巩固 11. 感谢聆听! $$