24.1.3 弧、弦、圆心角（培优教学课件）数学人教版九年级上册

24.1.3 弧、弦、圆心角 第二十四章 圆 人教版2024·九年级上册 情境导入 现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的. 这个现象跟圆的哪个性质有关？ 现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮 180°时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？ 知识建构 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ O A B O C D O E F O G H 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 知识建构 思考：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 圆内角 圆外角 圆周角 （后面会学到） 圆心角 知识建构 任意给圆心角，对应出现三个量： 思考：圆心角、弧、弦之间有什么关系？ O A B 圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 . 圆心角 弧 弦 知识建构 把圆绕圆心旋转任意的一个角度呢？ 剪一个圆形纸片，绕着圆心旋转180°，你发现了什么？ 你能得到什么结论？ O 180° 圆心就是它的对称中心. 圆是中心对称图形， O 30° 60° 120° 210° 所得的图形与原图形完全重合. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形完全重合. 知识建构 圆是轴对称图形， 其对称轴是任意一条过圆心的直线. 圆是中心对称图形， 对称中心为圆心. 知识建构 思考：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠A'OB'时，它们所对的弧AB与A'B'，弦AB与弦A'B'相等吗？为什么？ O B' A B A' 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'， 那么弧AB与A'B'_______， 弦AB与弦A'B'_______. 相等 相等 知识建构 事实上，我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合. O B' A B A' ∵∠AOB= ∠A'OB' ∴射线OB与OB'重合 ∵OA=OA',OB=OB' ∴点A与A'重合，点B与B'重合 因此点AB与A'B'重合，AB与A'B'重合 ） ） ∴AB=A'B' ） ） ，AB=A'B' 劣弧与优弧 弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB = ∠COD ③ AB = CD A B O D C ② 劣弧与优弧 弧、弦与圆心角的关系定理 两个圆心角 两条弦 两条弧 知一求二 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 劣弧与优弧 劣弧与优弧 圆心角 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 顶点在圆心的角 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 例题讲解 例1 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么___________，________________． （2）如果 ，那么_________________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． · C A B D E F O AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( AB=CD ( ( 例题讲解 例1 （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O 解：OE=OF. 理由如下： 例题讲解 例2 如图，在⊙O中： (1)若∠AOC=∠BOC，BC=5，则AC= . (2)若AC=BC，∠BOC=70°，则∠AOC= . C O A B · 5 70° 在同圆或等圆中，圆心角相等，则它们所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，弦相等，则它们所对圆心角的也相等. 例题讲解 例3 如图，在⊙O中， ，∠C75°，求∠A的度数. A O B C · 解：∵ ∴ABAC，△ABC是等腰三角形 又∵∠C75° ∴ ∠B∠C75° ∴∠A=180°(∠B∠C) =30° 例题讲解 例4 如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦， 且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数． 解：由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等， 连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC， ∵AB是直径， ∴∠BOD＝ ×180°＝120° 例题讲解 例5 ∴AC∥OD. 如图，AB是⊙O的直径，若BD=CD.求证：AC∥OD. ） 证明：连接OC. ∴∠BOD=∠COD. ∵OA=OC， ∵BD=CD， ） ） ∴∠A=∠C. ∵∠COB=∠A+∠C=∠COD+∠BOD， ∴∠A=∠C=∠COD=∠BOD， ） 例题讲解 例6 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. (1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC； 解：(1)因为= ， 所以AB=AC. 又∠ACB=60° ， 所以△ABC是等边三角形， 所以AB=BC=CA， 所以∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例题讲解 例6 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. (2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形. 解： (2)连接OD，如图. 因为D是的中点，所以 AD= BD， 所以∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°. 又OD=OA，OD=OB， 所以△OAD和△OBD都是等边三角形， 所以OA=AD=OD，OB=BD=OD， 所以OA=AD=DB=BO，所以四边形OADB是菱形. 例题讲解 例7 例题讲解 例8 本课小结 弧、弦、圆心角 圆心角 顶点在圆心的角,叫圆心角. 关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 课后巩固 1.在同圆中，下列四个命题： ①圆心角是顶点在圆心的角； ②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等； ③两条弦相等，它们所对的弧也相等； ④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ） A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.②④ B 课后巩固 2.下列图形中表示的角是圆心角的是（ ） A 3. A.3 B.3 C.2 D.4 B 课后巩固 4.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD=BC，则AB与CD的大小关系为（ ） A.AB＞CD B.AB=CD C.AB＜CD D.不能确定 B A.140° B.144° C.146° D.150° B 课后巩固 6.观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（    ） A.∵ B.∵ C.∵ D.∵ BCN. B 课后巩固 7.如图，已知⊙O的半径OA=5 cm，弦CD=5 cm，则弦CD所对的圆心角的度数为_________. 60° 8.如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则AC与BC的大小关系是________. AC=BC 课后巩固 课后巩固 10.如图，AB为⊙O的弦，点C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.求证：AE=BF. ） ） 即∠AOE=∠BOF， 证明：∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC. 又∵OA=OB， ∴∠OAC=∠OBD， ∴∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD， ∴∠AOC=∠BOD， ∴AE=BF. ） ） 感谢聆听! $$