精品解析：福建省泉州市泉州六中2024-2025学年九年级下学期数学月考试卷

2024-2025学年下学期泉州九中初三年数学月考试卷（6.3） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列代数式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 2024年底，发布了新一代大语言模型 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025年年会开幕当天，又发布了最新开源模型，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术上的投入．据悉，模型训练成本仅为万美元，数据万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 一次函数 的图象一定经过（　　） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 8. 如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和正方形的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接．以下四个结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围是_____． 12. 分解因式：m2n﹣2mn+n= ． 13. 若是关于的方程的两个根，且，则______． 14. 如图，菱形的边，分别与相切于点，．若，若，则劣弧的长为_____． 15. 如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为______． 16. 如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 如图，点D，E分别在上，连接，，．求证：． 20. 化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 21. 如图，是矩形的对角线． （1）尺规作图：作菱形，使得点E在边，点F在边，对角线与相交于点O；（保留作图痕迹，不必说明理由） （2）若，，求菱形的边长． 22. 若非零实数a，b，c，m满足．求证：． 23. 在电影《哪吒之魔童闹海》中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ （3）为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），问士兵要想射中空中飞行的海妖，k的值至少为______（直接写出结果）． 24. 如图1，是的直径，点是上一点，平分交于点，过点作交延长线于点． （1）求证：． （2）当时，求的值． （3）如图2，过点作交延长线于点，求证：． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点，交y轴于点C，连接，． （1）求抛物线的解析式： （2）如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接，，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3，过点P作轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接交于点F，点D为上一点，，连接，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期泉州九中初三年数学月考试卷（6.3） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较．实数大小比较的核心规则：正数＞0＞负数；负数比较时，绝对值大的反而小．掌握这一规则是解题的关键．先将数分为正数、0、负数三类：正数大于0，0大于负数；对于负数，通过比较绝对值大小判断，绝对值大的负数反而小，依此规则比较0，的大小． 【详解】解：根据 “正数负数”，可知，且0大于，因此最小数在和中． ， ， 故选：B． 2. 下列代数式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方、二次根式的性质、分式的加法运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. 根据完全平方公式、积的乘方、二次根式的性质、分式的加法运算逐项判断即可. 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意. 故选B. 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 4. 2024年底，发布了新一代大语言模型 并宣布开源，紧接着，在世界经济论坛2025年年会开幕当天，又发布了最新开源模型，再次引发全球人工智能领域的关注热潮．而其训练成本却远低于美国开放人工智能研究中心、谷歌、“元”公司等美国科技巨头在人工智能技术上的投入．据悉，模型训练成本仅为万美元，数据万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：万， 故选：D． 5. 在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可求得答案． 【详解】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． 故选：D． 6. 如图，为的直径，弦交于点M，且，若，，则的半径为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，连接，则，由垂径定理可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，由此即可求出的半径． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ， 过圆心且，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7. 一次函数 的图象一定经过（　　） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，先对进行分别讨论，再结合，得出一次函数的图象一定经过第一、二象限，即可作答． 【详解】解：当时， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当时， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 综上所述，一次函数的图象一定经过第一、二象限． 故选：A． 8. 如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 9. 若点，，三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质．由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴右侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解：∵点，， ∴点A与点B关于y轴对称； 由于选项A、B的图象关于原点对称，因此选项A、B不符合题意； ， 由，可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 观察选项C、D，只有D选项的图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 故选：D． 10. 如图，正方形和正方形的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接．以下四个结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的性质证明，然后有，通过等量代换可得，则，通过直角三角形斜边中线的性质得出点在正方形的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出；首先证明 ，则有，进而可得,先得出是的中位线，则，然后根据平行线分线段成比例得出 ，则有，进而可求出 ，又因为．综上可以得到答案． 【详解】∵四边形和四边形是正方形， ∴ ，，， 在和中， ∴ ， ∴． ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵是直角三角形，是的中点， ∴， ∴点在正方形的外接圆上． ∵， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴，故错误； ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴垂直平分； 故①正确； ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． ∵与高相同， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，故正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，对于分式，要使其有意义，它的分母不等于零，解不等式即可得到答案．熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：如果代数式有意义，则， ， 故答案为：． 12. 分解因式：m2n﹣2mn+n= ． 【答案】n（m﹣1）2． 【解析】 【分析】先提取公因式n后，再利用完全平方公式分解即可 【详解】m2n﹣2mn+n=n（m2﹣2m+1）=n（m﹣1）2． 故答案为n（m﹣1）2． 13. 若是关于的方程的两个根，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 14. 如图，菱形的边，分别与相切于点，．若，若，则劣弧的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，菱形的性质，求弧长，根据菱形的性质，切线的性质，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为； 故答案为：． 15. 如图，在由相同的菱形组成的网格中，等于，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取格点，连接交于点O，由菱形的性质易求，设菱形网格的边长为a，则，求出，进而求出，由勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接交于点O， 则， ∵，此图为相同的菱形组成的网格， ∴四边形，四边形为菱形， ∴， 设菱形网格的边长为a，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求一个角的正弦值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握菱形的性质． 16. 如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，过作于，根据等边三角形可得，，都是直角三角形，设，利用直角三角形的性质和勾股定理即可表示出，，然后根据列出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：过作于， ∵等边，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 中，，， ∴，， 同理，中，由可得， 中，由可得， ∴， ∵， ∴当时，最大， 即的面积最大值为． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，进行求解即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式组的求解，掌握不等式的组的计算方法，取值方法是关键． 根据不等式的性质求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 如图，点D，E分别在上，连接，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系推出，利用证明，即可得证． 【详解】略 20. 化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 由题意得，选到的概率为 故答案为： 【小问2详解】 列表如下： 由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种， 二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 21. 如图，是矩形的对角线． （1）尺规作图：作菱形，使得点E在边，点F在边，对角线与相交于点O；（保留作图痕迹，不必说明理由） （2）若，，求菱形的边长． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求， （2）菱形的边长为． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合菱形的判定与性质，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接即可； （2）连接，由菱形的性质可得BE=DE，由矩形的性质可得，，则，设，则， ，在中，由勾股定理得，，代入求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，可知经过点，如图： ∵四边形为菱形， ， ∵四边形为矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：或（舍去）， ， ∴菱形的边长为． 22. 若非零实数a，b，c，m满足．求证：． 【答案】 证明：由题意，非零实数a，b，c，m满足①，和②， ∴得，，即 又， 将m代入①得， 设， 其为开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得． 顶点横坐标为：， ∴当时取得最大值，最大值为此时 ． 【解析】 【分析】依据题意，由非零实数a，b，c，m满足①，和②，结合，可得，然后将m代入①得，，故，则，再结合二次函数的性质即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的最值、等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】略 23. 在电影《哪吒之魔童闹海》中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ （3）为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），问士兵要想射中空中飞行的海妖，k的值至少为______（直接写出结果）． 【答案】（1） （2）海妖能成功跳到城墙上 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质是解决此题的关键． （1）由题意找到顶点坐标，然后找到与轴的交点坐标，利用待定系数即可求解； （2）先求出的坐标，然后求出时，抛物线上点的坐标，与进行比较即可得解； （3）求出直线与抛物线的边界值，进而即可得解． 【小问1详解】 解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高， ∴，， 令得，，解得，（舍）或， ∵， ∴海妖能成功跳到城墙上； 【小问3详解】 解：∵，，E为的中点， ∴， ∴， 当直线经过点时， ，解得， 当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根， ∴方程整理得， ∴， ∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或， ∴， ∴k的值至少为， 故答案为：． 24. 如图1，是的直径，点是上一点，平分交于点，过点作交延长线于点． （1）求证：． （2）当时，求的值． （3）如图2，过点作交延长线于点，求证：． 【答案】（1） 证明∶∵是的直径， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）或2． （3） 证明∶如图：设交于点N，在上截取，连接， 由（1）知∶， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由圆周角定理、角平分线的性质、角的和差、等角对等边可证，再根据圆的内接四边形的性质以及邻补角的性质可得，然后通过证明，最后通过全等三角形的性质即可证明结论； （2）设，则，由（1）易证，在中，，在中，，如图：过点B作于点M，连接，则， 运用等面积法可得；再证明可得，即，最后求得a即可； （3）如图：设交于点N，在上截取，连接，，首先通过证明可证，通过圆内接四边形的性质可得，从而，再通过证明，最后根据全等三角形的性质以及等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则 ∵， ∴， 在中，， 在中， ， 如图：过点B作于点M，连接，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：或 ∴的值为或2． 【小问3详解】 略 25. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点，交y轴于点C，连接，． （1）求抛物线的解析式： （2）如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接，，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3，过点P作轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接交于点F，点D为上一点，，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数的解析式即可； （2）先求出，得出，过点P作轴于点L，得出，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）根据二次函数的性质求出，过点K作于点M，交于点N，作于点G，证明，得出，，过点F作于T，证明与都是等腰直角三角形，得出，，，根据，得出，求出t即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴正半轴于点， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴ 把点、代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时， 解得：， ∴， ∴， ∵点P在抛物线上，点P的横坐标为， ∴， 过点P作轴于点L， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 过点K作于点M，交于点N，作于点G， 根据对称性可知：，， ， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 过点D作， ∵，，， ∴， ∴，， 过点F作于T， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴ ∵点P的横坐标为t， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $