2025届河南省开封高级中学东校区一轮复习滚动测试（一）数学试卷

开封高中东校区2025届数学一轮复习滚动测试综合卷（一） 一：单项选择题（每题只有一个选项正确，每题5分，共40分） 1．已知集合，， 则（ ） A. B. C. D． 2．若复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知圆的圆心为，且经过点，过圆上两点分别作圆的切钱，若两切线的交点为，则（ ） A．1 B． C． D． 8．如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论不正确的是（    ） A．若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为 B．若AP=，则点P的轨迹长度为 C．若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是 D．若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 二：多项选择题（每题至少有两项正确，每题6分，少选得2分，选错不得分，共18分） 9．若函数的两条相邻对称轴距离为， 且，则（ ） A． B．点是函数的对称中心 C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴 10．若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 11．投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 三：填空题（每题5分，共15分） 12．若向量与的夹角为，，，则 ． 13．已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 . 14．已知圆与圆的一个交点为，动点的轨迹是曲线，点是曲线上一点，若，则当的周长最小时，其面积为 ． 三：解答题（15题13分，16,17每题15分，18，19每题17分，共计77分） 15．（13分）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且． （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 16．刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 17．如图1，在平面四边形中，，，，，点在上，且满足．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列问题．      (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．已知椭圆的离心率为的上顶点和右顶点分别为，点的面积为2． (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 19．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性． (2)若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开封高中东校区2025届数学一轮复习滚动测试综合卷（一） 一：单项选择题（每题只有一个选项正确，每题5分，共40分） 1．已知集合，， 则（ ） A. B. C. D． 【答案】C 【解析】对于集合A，，，或. ∴. 故选：C. 2．若复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于. 故选：D. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为，所以，有， 所以 . 故选；A. 4．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，则，， 所以. 故选：C 5．甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C. 6．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若在上单调递增，则在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数定义域为，则， 若在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 因为Ü， 所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 7．已知圆的圆心为，且经过点，过圆上两点分别作圆的切钱，若两切线的交点为，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得圆的半径， 由已知及两点间距离公式知， 由题意知，且，所以， 故有， 则， 由圆的切线性质可得， 所以． 8．如图，在边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论不正确的是（    ） A．若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为 B．若AP=，则点P的轨迹长度为 C．若AP=，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是 D．若Р是棱A1B1的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】B 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断AB，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断C，结合条件可得外接球的半径，即可判断D 【详解】 分别取棱，的中点M，N，连接， 易证，， 平面，平面，所以平面， 且平面，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 因为平面，且P是正方形内的动点， 所以点Р的轨迹是线段. 因为，所以，因为，所以， 故A正确. 因为，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆， 则点Р的轨迹长度为，则B错误. 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图1所示的空间直角坐标系. 由题中数据可知则，，. 设平面CEF的法向量为，则，得. 设直线AР与平面CEF所成的角为，则. 因为，所以，所以， 所以，则，故C正确. Р是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2. 如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得， 从而三棱锥P-CEF的外接球的表面积是，故D正确. 故选：B 二：多项选择题（每题至少有两项正确，每题6分，少选得2分，选错不得分，共18分） 9．若函数的两条相邻对称轴距离为， 且，则（ ） A． B．点是函数的对称中心 C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴 【答案】A、B 【解析】∵的两条相邻对称轴距离为. ∴，∴.∴. ∵，，∴，. ∴.∴选项A正确； 选项B：对称中心的横坐标：，. ∴时，对称中心为.B正确； 选项C：当时，，， ∴在上不递增，C错误； 选项D：对称轴：，. ，. ∴不是对称轴.或验证法把代入得，∴D错误； 故选：AB. 10．若正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解最值判断AB；利用二次函数求解判断CD. 【详解】正实数a，b满足，， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11．投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率，逐项分析计算即可得解. 【详解】对于A，第一次投掷出现反面，则，A正确； 对于B，得2分的事件，可以是投掷2次都出现反面，也可以是投掷1次出现正面， ，B错误； 对于C，当时，得n分的事件，可以在得分后投掷出现反面， 也可以是在得分后投掷出现正面，因此，C正确； 对于D，由选项C知，当时，，则， 因此数列是常数列，，即， 所以当时，，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 三：填空题（每题5分，共15分） 12．若向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】4或 【分析】根据向量的数量积定义及运算律计算即可. 【详解】因为向量与的夹角为， 所以， 因为， 所以， 所以或． 故答案为：4或 13．已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分离参数得，令，利用导数求出其最大值即可 【详解】因为，由，得， 即， 设，则， 所以函数在单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 即实数a取值范围为， 故答案为： 14．已知圆与圆的一个交点为，动点的轨迹是曲线，点是曲线上一点，若，则当的周长最小时，其面积为 ． 【答案】 【解析】由题意知,，所以， 所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且，，即，所以， 所以曲线的方程为，因为，则， 所以的周长为． 因为，又，所以， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，联立直线的方程与椭圆的方程，，消y得，解得或（舍去）． 因为，， 所以的面积为． 三：解答题（15题13分，16,17每题15分，18，19每题17分，共计77分） 15．（13分）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且． （1）求角； （2）若是锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】见解析 【解析】（1）∵，∴，. 由正弦定理得. ∵，∴，∵，∴或. （2）∵，且三角形为锐角三角形，∴. ∴由正弦定理得. ∴，. ∴ . 又∵为锐角三角形，∴， ∴，得，. ∴，， ∴，又∵，∴. ∴的周长的取值范围为. 16．刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； (2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金． 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品． ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到） 【答案】(1)68 (2)①分布列见详解，；②选择方案二更划算. 【分析】（1）根据直方图估算平均数的方法直接计算即可； （2）①先确定X的取值，然后根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②确定实际付款金额Y的值，然后根据所给概率写出分布列，即可计算出期望，通过比较期望大小即可作出判断. 【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为： . （2）①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为； 摸到个红球，返消费金额的，实际付款为， 所以的可能取值为， 因为， 所以， 的分布列为： X 800 900 1000 P 所以（元）. ②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为， 因为， 所以，Y的分布列为： Y 800 900 950 P 所以，（元） 因为，所以选择方案二付款更划算. 17．如图1，在平面四边形中，，，，，点在上，且满足．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列问题．      (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定先证出平面，由线面垂直的性质及判定，结合菱形对角线的性质即可证出结论； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可． 【详解】（1）因为，，，所以四边形为菱形， 因为，，，所以，， 又因为，所以，即， 在中，由，可得， 因为，，所以，即， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）设，过作，则以为原点，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    可得，， 因为，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18．已知椭圆的离心率为的上顶点和右顶点分别为，点的面积为2． (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将已知条件转化为关于的方程，即可求解； （2）设出直线并与椭圆联立，写出韦达定理，再根据题意求出的方程，直线的方程，进而令，利用韦达定理计算即可得定点. 【详解】（1）设的半焦距为，由题意知，所以①． 因为的面积为2，所以②， 又③，由①②③解得，所以的方程为； （2）设，直线， 由，得， 则，所以． 由，得， 令，解得，所以． 所以直线的方程为， 令，得 ， 将代入，得， 所以， 故直线过定点． 【点睛】方法点睛：在圆锥曲线解答题中遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了，可以利用进行代换后化简. 19．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性． (2)若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)在上单调递增； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求得，设，得到，再令，求得为上的增函数，且，进而求得单调区间； （2）①求得，令，解得，设，根据题意转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解； ②由函数有两个零点，得到，令，转化为证明，不妨令，只需证明，化简得到，令，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得，其中，则， 设，则， 令，可得恒成立， 所以为上的增函数，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以，所以在上单调递增． （2）解：①因为函数，可得， 令，解得， 设，可得， 因为有两个极值点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 又当时，，故可作出的大致图象，如图所示， 结合图象可得，，即实数的取值范围为． ②由函数有两个零点，所以， 令，则等价于关于的方程有两个不相等的实数根， 只需证明， 不妨令，由得， 要证，只需证明， 即证， 即证，即证， 令，则，只需证明， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 综上所述，原不等式成立． 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$