6.第六章 变量之间的关系（培优）-【零障碍导教导学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

第六章 变量 一变量间关系 1.根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧 挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与 所挂的物体的质量x(kg)间有下表的关系，下列 说法不正确的是 ( x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 20 20.5 21 21.522 22.5 A.弹簧不挂重物时的长度为0cm B.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 C.随着所挂物体的质量增加，弹簧长度逐渐变长 D.所挂物体的质量每增加1kg,弹簧长度增加 0.5cm 2.如图，这是某种物质M的溶解度曲线，以下说法 正确的是 个溶解度/g 37 36 2050 温度/℃ A.物质M的溶解度为36g B.物质M的溶解度为37g C.物质M的溶解度随温度升高而增大 D.40℃时，物质M的溶解度大于37g 3.如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了 小车从木板顶部下滑的时间（与支撑物的高度 h,得到如表所示的数据，下列结论不正确的是 ( 木板的支撑物高度h/cm10 20 30 40 50 下滑时间/s 3.253.012.812.662.56 支撑物高度方 A.这个实验中，木板的支撑物高度是自变量 B.支撑物高度h每增加10cm,下滑时间就会减 少0.248 C.当h=40cm时，t为2.66s D.随着支撑物高度h的增加，下滑时间越来越短 4.如图1是某公共汽车线路收支差额y(票价总收 入减去运营成本)与乘客量x的图象，目前这条 线路亏损，为了扭亏.有关部门举行提高票价的 听证会，乘客代表认为：公交公司应降低运营成 阅盟学堂数学七下LZABS39 之间的关系 本，实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下 降，提高票价才能扭亏.根据这两种意见，把图1 分别改画成图2和图3，则下列判断不合理的是 ◆万元 Ay万元 ◆历元 O1.5x/万人O1.5x1万人 O5万人 -1A 图1 图2 图3 A.图1中点A的实际意义是公交公司运营前期 投入成本为1万元 B.图2能反映公交公司意见 C.图2中当乘客量为1.5万人时，公交公司收支 平衡 D.图3能反映乘客意见 如图是一个“因变量随着自变量变化而变化“的 示意图，下面表格中，是通过运算得到的几组x 与y的对应值，根据图表信息解答下列问题： 输入x -2 2 输出y 2 m 18 (1)直接写出：k= ,b= ,m三 (2)当输入x的值为-1时，求输出y的值； (3)当输出y的值为12时，求输入x的值。 输人 当xr<1时当x≥1时 y=2x+b y=kx(k≠0) 输出v 培优滚动练 6.(2024·成都期末)如图1，在长方形ABCD中，动 点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿 AB-BC-CD匀速运动，至点D处停止，点P运 动的时间为t,点P运动的路程为x,△ADP的面 积为y,且y与x之间的图象关系如图2所示. P 图1 图2 (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？ 哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数m= ,常数n的取值 范围为 面积y 3 9 6 2 2 m 路程x 3 n (3)当点P分别运动到线段AB,CD上时，直接写 出y与x之间对应的关系式 阅盟学堂数学七下LZABS4 二重点压轴题 7.(2024·三水区期末)随着科技的进步，机器人的 种类日益繁多，应用场景更广泛.某机器人实验 基地的科研人员对新型智能机器人进行测试 甲、乙、丙三个测试点依次分布在一条直线上，测 试点乙距离甲处120m,测试点丙距离甲处 320m.一款新型智能机器人某段时间内一直在 甲、乙、丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到 乙处，停留6min后继续匀速走到丙处，停留 8min后从丙处匀速返回甲处.该款新型智能机器 人在这段时间内离测试点甲的距离y(m)随离开 测试点甲的时间x(min)变化关系的图象如图所 示，请根据相关信息，解答下列问题： (1)该款新型智能机器人活动过程中，自变量是 因变量是 (2)补全表格： 离开测试点甲的时间x/min5 122030 离测试点甲的距离y/m 75120 (3)图中点A表示的意义是 (4)当该款新型智能机器人离测试点甲的距离为 200m时，它离开测试点甲的时间为 min. A y/m 320 120 0 81424 52 x/min 8.(2024·宝安区期末)我们知道：当弹簧受到外力 的作用时会伸长，某学习小组利用一根弹簧，通 过试验的方式研究弹簧的长度与所挂物体重量 之间的关系，并对每组数据进行了记录： 物体的重量x/kg012345… 弹簧的长度y/cm81012141618… (1)上表所表示的变量之间的关系中，自变量是 ,因变量是 (2)直接写出y与x的关系式 (3)当所挂物体重量为6.5kg时，弹簧的长度为 cm. (4)这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉 长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹 性)为25cm,则在弹性限度之内，该弹簧最 多可以挂多重的物体？ 培优滚动练 第六章中考热点数学创新与应用 1.(2024·禅城区校级期中)如图1，梯形的下底是10cm,高是6cm,设梯形较短的上底为xcm,面积为 ycm,面积y随上底x的变化而变化 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)y与x的关系式为y= (3)请根据关系式填写表格： 2 2.5 8 y /33 45 (4)小亮用图2的图象来表示面积y与上底x之间的变化规律，请观察图象回答：梯形的面积y随上底 x的增大而 ;若要使面积y大于39cm2,则上底x的取值范围是 ◆面积y/cm 50 0 10 6 图1 图2 上底x/cm 2.(2024·南海区期中)小南一家到某度假村度假，小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的 道路后出发.爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车 前往度假村（取东西的时间忽略不计）.如图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系 图.请根据图解答下列问题： (1)图中的自变量是 ,因变量是 (2)小南出发 小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为 km/h; (3)图中点A表示 (4)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸第二次相遇时，t= h. A距离s/km 70 5 0 10 5时间h 阅盟学堂数学七下LZABS41培优滚动练 3.(2024·紫金县期中)小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地 面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系.于是小英对凳子的高度进行测量，具体 变化的情况如下表所示： 凳子的数量/个 12345 … 高度/cm 5055606570 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用h(cm)表示这摞凳子的高度，x(个)表示这摞凳子的数量，请写出h与x之间的关系式. (3)当这摞凳子的高度为105cm时，求这摞凳子的数量. 4.(2024·市南区期末)如图1，甲、乙两人在跑道上进行折返跑，A1B,和A2B2是相邻的两条赛道（看成两 条互相平行的线段)，甲在赛道A,B,上以5/s的速度从A1出发，到达B,后，以同样的速度返回A, 然后重复上述过程；乙在赛道AB2上从B2出发，到达A2后以相同的速度回到B2,然后重复上述过程 (不考虑每次折返时的减速和转向时间).若甲、乙两人同时出发，乙到边A1A2的距离y(m)与运动时间 t(s)的关系的图象如图2所示. 本y/m 50 61218243036i 图1 图2 (1)赛道的长度是 m,乙的速度是 m/s;当t= 8时，甲、乙两人第一次 相遇； (2)当t= s时，甲、乙两人第二次相遇，并求此时两人距离边AA2多远 阅盟学堂数学七下LZABS42培优滚动练 第六章中考热点数学活动与探究 1.(2024·台江区模拟)根据以下素材，完成探索任务 判晰车辆是否因超速被罚款 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/小时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在标志与隧道 素材一 口之间的途中会有测速仪测速，且测速时有闪光.根据交规，若超速10%以上未达20%的，处以200元 以内罚款 在物体运动的速度v关于时间：的图象中，图象与横轴以及直线t=1,t=2所围成的图形（如图1的阴影部 分)面积的数值等于物体从，到5这个时间段的运动距离 素材二 0 图1 测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和测 素材三 速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速 速度1米/秒=3.6千米/小时，某车以108千米/小时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前500米） 时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道用了20秒，其速度v关于时间t的图象如图2所示，1和2 是两次雷达测速的时间 米/秒) 30 素材四 20秒) 图2 问题解决 任务一 求该车进入隧道时的速度 任务二 当第一次闪光时，车速已经降到了90千米/小时，求时间， 任务三 若经过两秒后第二次闪光，则此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由 阅盟学堂数学七下LZABS43培优滚动练 2.(2024·张店区期未)如图1，小明用一张边长为6dm的正方形硬纸板设计一个无盖的正四棱柱糖果 盒，从该正方形硬纸板的四个角处分别剪去一个形状、大小相同且边长为xdm的小正方形，再折成如 图2所示的无盖糖果盒，它的容积记为ydm3. (1)请直接写出无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的关系式，以及变化过程中的自变量和 因变量； (2)为探究y随x的变化规律，小明根据课堂中已经学习的《变量之间的关系》进行了如下探究： ①小明用表格表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的关系，如下表： 0 0.5 1.5 2 2.5 3 0 12.5 13.5 2.5 0 则m= ,n= ②小明把①的表格中x,y的各组对应值作为数对确定了相应点的位置，并通过描点和连线作出了 表示无盖糖果盒的容积y与小正方形的边长x之间的关系图象，如图3. (3)利用图象解答下列问题： ①该糖果盒的最大容积是 ②当该糖果盒的容积为11dm3时，请估计糖果盒的底边长a的值.（保留一位小数） y/dmA 16 15 13 2 11 5 2 1234x/dm 图1 图2 图3 阅盟学堂数学七下LZABS44培优滚动练图4 AD=AE,DF=EF,AF=AF, .△ADF≌△AEF(SSS). ∴.∠DAF=∠EAF 又：AD=AE,A0=A0, ∴.△AD0≌△AEO(SAS). ∴∠AOD=∠A0E=90 ∴.AF⊥DE. 2.解：(1)∠BAC是△ABC的好角.理 由如下： 小丽展示的情形二中，如图3， :沿∠BAC的平分线AB,折叠， ∴∠B=∠AA,B 又：将余下部分沿∠B,A,C的平分 线A1B2折叠，此时点B,与点C 重合， ·∠AB,C=∠C ∠AM1B1+∠CA,B1=180° ∠C+∠AB1C+∠CA1B=180° ∴.∠AM,B1=∠C+∠A,B,C. ∴∠B=2∠C,∠BAC是△ABC的 好角。 故答案为是 (2)∠B=3∠C.证明如下：如图4， B B B 图4 根据折叠的性质知∠B=∠A4B:, ∠AB,C=∠AA2B2, ∠C=∠A,B,C, 由(1)同理可得 ∠AAB2=∠C+∠AB2C=2∠C. 又∠BAC+∠B+∠A4,B,+LAB,B =360°. ∠A1B,B=180°-∠A1B,C, ∴.∠BAC+∠B+∠AMB1-∠A,B,C =∠B4C+2∠B-2∠C=180°. 又：∠BAC+∠B+C=180°， ∴.∠B=3∠C 故结合(1)与情形一，猜想：若经过 n次折叠，∠BAC是△ABC的好角， 则∠B与∠C之间的等量关系为 ∠B=n∠C.故答案为LB=nLC. 阅盟学堂 (3)由(2)知设∠A=4°， 把x=2,y=18代入y=x, :∠C是好角，.LB=4n° 得18=2k,解得k=9; :∠A是好角， 把x=0,y=m代入y=2x+6, ∴.∠C=m∠B=4mn°， 得m=0+6,解得m=6. 其中m,n为正整数. 故答案分别为9,6,6： ∴.4+4n+4mn=180. (2)当x=-1<1时， ·如果一个三角形的最小角是 有y=2×(-1)+6=4; 4°，三角形另外两个角的度数是4°， (3)当y=12,x<1时，2x+6=12, 172或8°，168°或16°，160或44° 解得x=3>1,不符合题意，舍去： 132或88°，88 当y=12,x≥1时，9x=12, 3.解：(1)4540 (2)180°∠A∠B-∠BCD 解得x=子>1，符合题意 (3):∠EMC+∠MEC+∠MCE= 综上所述，当输出的y值为12时， 180°，∠MCE+∠ACD=180°， 输人的x的值为子 ∴.∠EMC=∠ACD-∠MEC. 6.解：(1)图象表示的是点P运动的 同理，∠FNC=∠BCD-∠NFC. 路程x与△ADP的面积y之间的关 .∠EMC+∠FNC=∠ACD-∠MEC+ 系，其中点P运动的路程x为自变 ∠BCD-∠NFC, 量，△ADP的面积y是因变量. 即a+B (2)当点P运动到点B处时，x=4, =(∠ACD+∠BCD)-(∠MEC+ y=6, ∠NFC) =∠ACB-(∠A+∠B) 即AB=4,8w=之0：AB=6, =∠ACB-(180P-∠ACB) AD=3.∴.BC=3,CD=4. =2∠ACB-180° 当x=8时，点P在CD上运动， 故答案为a+B=2∠ACB-180°， 此时DP=4+3+4-8=3. (4)如图4， .ymA DP 7×3x3=号 = 当y=6时，7×3h=6,解得么=4， 此时点P在BC上运动，4≤n≤7. 图4 故答案分别为 ,4≤ns7 .·ACD+∠CME+∠MEC =180°， (3)当点P运动到线段AB上时， ∠MEC+∠MED=180°， y==2 D·AP= 2×3x .∠ACD=∠MED-∠CME. 3 同理，∠DCB=∠CNF+∠NFC. =2利 ∴.∠ACD+∠DCB=∠MED-∠CME+ 当点P运动到线段CD上时， ∠CNF+∠NFC a=B, y=Sm=AD·0P ∴.∠ACD+∠DCB=∠A+∠B, DP=4+3+4-x=11-x, 即∠ACB=∠A+∠B. y=x3x(1-) 又.∠ACB+∠A+∠B=180°， ∴.∠ACB=90°. 故答案为90. 7.(1)该款新型智能机器人离开测试 第六章变量之间的关系 点甲的时间x该款新型智能机器 1.A2.C3.B4.C 人离测试点甲的距离y 5.解：(1)把x=-2,y=2代人 (2)240320 y=2x+b, (3)该款新型智能机器人离开测试 得2=-4+b,解得b=6; 点甲32min时，离测试点甲的距离 学七下LZABS81培优滚动练参考答案* 为320m (4)18或39.5 8.(1)物体的重量x弹簧的长度y (2)y=2x+8(3)21 (4)当y=25时，2x+8=25, 解得x=8.5. “在弹性限度之内，该弹簧最多可 以挂8.5kg的物体 第六章中考热点数学创新与应用 1.解：(1)梯形的上底x梯形的面积y (2)3x+30 (3)由(2)可得y=3x+30. 当x=2时，y=3×2+30=36. 当x=2.5时， y=3×2.5+30=37.5. 当y=45时，3x+30=45, 解得x=5. 当x=8时，y=3×8+30=54. 填写表格如表所示 1 y 2.55 8 y3336 37.545 54 (4)根据图象可得梯形的面积y随 上底x的增大而增大， :面积y大于39cm2, .3x+30>39,解得x>3. x为梯形的上底，该梯形的下底 为10cm, .3<x<10. 故答案分别为增大，3<x<10. 2.解：(1)小南离家的时间t他们离 家的距离s (2)160 (3)小南离家2.5h后，离家的距离 为50km (4)由图象可知，小南和妈妈的速 度为60÷3=20(km/h), 小南爸爸返回家中的速度为 阅盟学堂数 60÷(3-2)=60(km/h), 隧道时的速度为"米/秒. ·,当小南与爸爸第二次相遇时，有 依题意，得（知+30）×20×2 =500 20t+60(t-2)=60,解得t=2.25. 故答案为2.25 解得=20. 3.解：(1)凳子的数量是自变量，高度 ∴该车进人隧道时的速度为20米/秒 是因变量。 任务二：由该车是匀减速，结合任务 (2)由表格中两个变量的变化关系 一可知每秒减少的速度为 可得h=50+5(x-1)=5x+45. (30-20)÷20=0.5(米/秒) (3)当h=105时，5x+45=105, 90千米/小时=25米/秒. 解得x=12. (30-25)÷0.5=10(秒). 答：当这摞凳子的高度为105cm ÷41=10秒. 时，凳子的数量为12个 任务三：此次该车会因超速而被罚 4.解：(1)由图象可知赛道的长度是 款理由如下： 50m 依题意，得第二次闪光时的速度为 25-0.5×2=24(米/秒)， 乙的速度是50÷6= (s. 25 ∴两次闪光之间行驶的距离为 设经过xs时，甲、乙两人第一次相 1 (24+25)×2×2=49(米). 遇.依题意，得5x+ 2 3*=50, ,.49÷2×3.6=88.2(千米/小时) 解得：=宁 88.2-80x1009%=10.25%>10%. 80 当t= 。时，甲，乙两人第一次 ∴.该车超速10%以上，会因超速而 被罚款， 相遇 2.解：(1)y=(6-2x)2x, 故答案分别为50，曾，日 x是自变量，y是因变量 (2)设经过a8时，甲、乙两人第二 (2)①在y=(6-2x)2x中， 当x=1时，y=16: 次相遇。依题意，得 5a*2 当x=2时，y=8, 45 a=50×3,解得a 4 .m=16,n=8. 当1=45 故答案分别为16,8. s时，甲、乙两人第二次 (3)①结合图象可知该糖果盒的最 相遇， 大容积是16dm. 此时两人距离边A,A2的距离为 故答案为16dm3 ②结合图象可知当该糖果盒的容积 为11dm3时，x=0.4或x≈1.7， 故答案为界 a=6-2x, .a≈5.2或a≈2.6 第六章中考热点数学活动与探究 ∴.估计糖果盒的底边长α的值为 1.解：任务一：设当t=20秒该车进入 5.2或2.6 学七下LZABS82培优滚动练参考答案*