11.专题十一 数学活动与探究（中考热点与趋势)-【零障碍导教导学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

闵盟学堂 专题突破 167 专题十一数学活动与探究（中考热点与趋势） 1.(2024·广州模拟)【背景资料】 若一个两位数十位、个位上的数字分别是m,n,我们可将这个两位数记为mn,易知mn=10m+n; 同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如：abc=100a+10b+c. 【基础训练】 (1)填空： ①若2x+3=45,则x=— ②若7y-8=26,则y= ③若93+58=13t1,则t= 【能力提升】 (2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm,请说明mn·nm-mn一 定能被10整除； 【探索发现】 (3)在天文学中，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑 洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小 重新排列，得出一个最大的三位数和一个最小的三位数，用得出的最大的数减去最小的数得 到一个新数（例如：选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列， 再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞 数”.请写出该“卡普雷卡尔黑洞数”： 168零障碍导教导学案数学七年级下册BS版* 阅盟学堂 2.(2024·梅州模拟)材料1：反射定律 如图1，当入射光线AO照射到平面镜上时，将遵循平面镜反射定律，即反射角（∠BOM)的大小等 于入射角（∠AOM)的大小.显然，这两个角的余角也相等，其中法线(OM)与平面镜垂直，并且满 足入射光线(OA)、反射光线(OB)与法线在同一个平面. 平面镜 图1 材料2：平行逃逸角 对于某定角∠AOB=a(0°<α<90°)，P为边OB上一点，从点P发出一光线PQ(射线)，∠BPQ= B(0°<B<90°).当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定律发生反射，当光线PQ经过n次 反射后与边OA或OB平行时，称角B为定角α的n阶平行逃逸角.特别地，当光线PQ直接与OA 平行时，称角B为定角α的0阶平行逃逸角， (1)已知∠A0B=a=20°. ①如图2，若PQ∥OA,则∠BPQ= °，即该角为角α的0阶平行逃逸角； ②如图3，经过一次反射后的光线PQ∥OB,此时的∠BPP,为角a的1阶平行逃逸角，求 ∠BPP1的大小； ③若经过两次反射后的光线与OA平行，请补全图4，并直接写出角α的2阶平行逃逸角： (2)根据(1)的结论，猜想：对于任意角α(0°<a<90°)，若其存在n(n为自然数)阶平行逃逸角B, 则B= .(用含n和a的代数式表示) 4 PA A O P R O P B O P B 图2 图3 图4 阅盟学堂 专题突破 169 3.(2024·南山区期末模拟)阅读下面材料，完成相应的任务： 向贝尔公式 数学界三大奖项之一的阿贝尔奖，是为了纪念挪威著名数学家阿贝尔所设.阿贝尔是近代数 学发展的先驱，他年轻时利用阶梯图形，发现了重要的恒等式一阿贝尔公式 如图，用两种方法将一个二级阶梯图形分别分割成两个长方形. a 图1 图2 按图1方法，该阶梯图形的面积为a1b1+a2b2;按图2方法，长方形@的面积为a1(b1-b2),长 方形⑥的面积为(a1+a2)b2 根据图1、图2面积相等，可以得到二级阶梯图形对应的阿贝尔公式：ab1+a2b2= a1(b1-b2)+(a1+a2)b2: 任务： (1)【推理验证】材料中的阿贝尔公式可用代数运算验证，请补全如下证明过程： 右边= 左边=a1b1+a2b2, ∴左边=右边 ∴a1b1+a2b2=a1(b1-b2）+(a1+a2)b2: (2)【类比探究】如图3和图4，用两种方法将一个三级阶梯图形分别分割成三个长方形. ①在图4中，长方形@的长为a1+a2,宽为 ②由图3、图4面积相等，可得三级阶梯图形对应的阿贝尔公式： a1b1+a2b2+a3b3=a1(b1-b2）+ 请补全该公式，并进行验证 a a a a @ 图3 图4 170零障碍导教导学案数学七年级下册BS版* 阅盟学堂 4.(2024·佛山模拟)综合与实践 【背景资料】 某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20℃开始加热，当水温达到设 定温度60℃时，加热停止，此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30℃时，再次自 动加热水箱中的水至60℃，加热停止，之后继续降温，…，按照以上方式不断循环 【问题驱动】 小宇根据本章的学习经验，对该型号电热水器水箱中水的温度随时间变化的规律进行了探究，其 中y(单位：℃)表示水箱中水的温度，x(单位：min)表示接通电源后的时间. 【收集数据】 小宇记录了从初始温度20℃第一次加热至设定温度60℃，之后水温冷却至保温温度30℃的过 程中，y随x的变化情况如表所示。 接通电源后的 0 2 8 10 12 14 16 18 20 时间x(min) 水箱中水的 20 30 40 60 51 45 40 36 33 30 温度y(℃) 【建立模型】 (1)已知加热阶段水的温度随接通电源后的时间均匀变化，请写出加热阶段y与x之间的关系式 为 (0≤x≤8)； (2)根据表格，小宇画出了0≤x≤20时的图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出20≤x≤40 时的图象； 【解决问题】 (3)已知适宜人体沐浴的水温约为35~50℃，小宇在上午8点整接通电源，此时水箱中的水温 为20℃，电热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分 时，热水器的水温是否适合他沐浴，并说明理由 60 40 20 0246810121416182022242628303234363840x/min 闵盟学堂 专题突破 171 5.(2024·揭阳期末)【观察发现】 (1)如图1，若点A,B在直线l的同侧，在直线I上找一点P,使AP+PB的值最小 方法如下：如图1，作点B关于直线l的对称点B',连接AB',与直线l的交点就是所求的点P, 线段AB'的长度即为AP+PB的最小值 如图2，在等边三角形ABC中，AD=2,E是AB的中点，AD是高，在边AD上找一点P,使BP+ PE的值最小. 方法如下：如图2，作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点 就是所求的点P,故BP+PE的最小值为 【实践运用】 (2)如图3，在四边形ABCD中，点B与点D关于AC对称，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,P 是对角线AC上的一个动点，AB=BC=CD=DA=BD,M是AB的中点，求PM+PB的最小值， 【拓展延伸】 (3)如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.(保留作图痕迹，不必写 出作法) D B 图2 图3 图48.解：(1)∠B0D=∠D0F,理由如下： OE⊥OD, .∠D0E=90 ,.∠EOF+∠DOF=90°， ∠AOE+∠B0D=90. OE平分∠A0F, ∴.∠AOE=∠EOF. ∴.∠BOD=∠DOF (2:∠D0F=LB0E, .设∠D0F=x°， 则∠B0E=4x°，∠B0D=x ∴.∠DOE=∠BOE-∠BOD =3x°. :∠D0E=90°， ∴.3x=90,解得x=30. ∴.∠B0D=30° .∠AOD=180°-∠B0D=150 9.(1)证明：AB∥CD, ∴∠BED=∠EDC, ∠BAD=∠ADC, ∠BED=2∠BAD, .∠EDC=2∠ADC. ∴.DA平分∠CDE. (2)解：依题意，设 ∠ADC=∠ADE=∠BAD=x, .∠BED=∠EDC=2x, ∠AED=180°-2x, AB∥CD, ∴.∠BAC+∠ACD=18O°， 即∠ACD=90°-x, 又：∠ACD+∠AED=165°， 即90°-x+180°-2x=165°， .x=35°， .∠ACD=90°-x =90°-35°=550 10.解：①如图1，当点Q在平行线AB, CD之间时. 0 C 图1 设∠PFQ=x, 由折叠可知∠EFP=x, ∵2∠CFQ=∠CFP, 阅盟学堂 ∴.∠PFQ=∠CFQ=x ∴∠C=3×16°=48° AB∥CD, 专题十一数学活动与探究 .∠PEF+∠CFE=180°， (中考热点与趋势)】 即75°+3x=180°， 1.解：(1)①2②4③7 解得x=35. (2):'mn·nm-mn ∴.∠EFP=35 =(10m+n)(10n+m)-mn ②如图2，当点Q在CD下方时， =100mn+10m2+10n2+mn-mn =10(10mn+m2+n2), 又：m,n都为正整数， ∴mn·nm-mn一定能被10整除。 图2 (3)495 2.解：(1)①20 设∠PFQ=y, ②PQ∥0B, 由折叠可知LEFP=y, ∴.∠APQ=∠PP1O 2∠CFQ=∠CFP, =∠A0B=20° appc ∠A0B+∠PP,0+∠PP0=180°， AB∥CD, ∠BPP,+∠P,P0=180°， .∠PEF+∠CFE=180°， ∴.∠BPP1=LAOB+∠PP,O=40 即75+号+y=180 ③60 如图4所示. 解得y=63. A ∠EFP=63 P 60° 综上所述，∠EFP的度数为35 O P PB 或63. 图4 11.(1)证明：CA=CD, (2)(n+1)a ,∠CAD=∠CDA, 3.解：(1)a1b,-ab2+a,b2+ab2= ,AD平分∠BAE, ab+azbz ∴、∠EAD=∠BAD. (2)①62-b3 ∠B=18O°-∠BAD-∠ADB, ②验证如下： ∠ADB=180°-∠CDA, 右边=a1(b1-b2)+(a1+a2)(b2 ,∴，∠B=∠CDA-∠BAD. -b3)+(a1+a2+a1)b3 ∠CAE=∠CAD-∠DAE, =ab1-a1b2 +ab2+abz-ab3 .∠CAE=∠B. -azbs +ab3 +azb3 +agb3 (2)解：设∠DAB=x, =a1b1+ab2+a3b3, ∠C=3∠DAB, ·左边=右边 ∠C=3x. .a,b1+a2b2+ab3=a1(b1-b2）+ ∠CAE=∠B,∠B=50°， (a1+a2)(b2-b)+(a1+42+ .∠CAE=50. a3)b3 AD平分∠BAE, 故答案为(a1+a2)(b2-b)+(a1+ .∠EAB=2∠DAB=2x. az+as)b3. ·.∠CAB=∠CAE+∠EAB 4.解：(1)y=5x+20 =50°+2x. (2)如图所示。 ∠CAB+∠B+∠C=180°， 6 40 .50°+2x+50°+3x=180° 30 x=16° 2460261822%0拉场3瑞0 t学七下LZABS47课堂本参考答案* (3)不适合.理由如下： 从上午8点至上午9点30分，共计90 分钟，且第一次从加热到下降至保温 温度30℃需要20分钟，之后每18分 钟循环一次， ,90+2=20+18×4,即92分钟对 应第20分钟的水温， ∴90分钟对应第18分钟的温度， 为33℃. ∴.在上午9点30分时，热水器的水 温不适合他沐浴 5.解：(1)如图2， ,△ABC是等边三角形，E是AB的 中点， .CE⊥AB,AB=BC :ABCB=28c·AD, “.CE=AD=2 B,C关于AD对称， ∴BP=CP ∴.BP+PE=CP+PE≥CE=2. 故答案为2 (2)如图3，连接DM交AC于点P, 连接PB, D 图3 ·AB=BC=CD=AD=BD ∴.△BCD,△ABD是等边三角形， ∴.∠AD0=∠CD0=60° D0=D0, .△AD0≌△CDO(SAS). ∴0A=0C=24C=4, ∠AOD=∠COD. .∠A0D+∠C0D=180°， .∠A0D=∠C0D=90°. :M是AB的中点， .DM⊥AB. .BDAO-AB DM. ∴.DM=OA=4. B,D关于AC对称， ∴.PB=PD. 阅盟学堂 ..PM+PB=PD+PM≥DM=4. 用三个部件拼成一个三角形有三种 .PM+PB的最小值为4. 拼法，如图所示.（画出其中一种即 (3)如图4，作点B关于AC的对称 可) 点B',连接DB'并延长交AC于点 P,连接BP,此时∠APB=∠APD. D 期末复习 第一章整式的乘除 B 1.D2D3A4号 图4 5.B6.B7.B8.B9.C 专题十二 项目式学习 10.C11.D12.A13.D (中考热点与趋势) 14.A15.B16.B17.A 1.解：【探究一】利用同位角相等，两 18.202519.-1 直线平行， 20.解：(1)a+*0=a”·a ∠2=∠1，∴c∥a. =3×5=15; 【探究二】利用平行线间的距离处 (2)a3ma=a3m÷a2 处相等， =(a")3÷(a)2 PQ⊥a,l⊥a,RS=PQ, =33÷5 ∴b∥a. 【探究三】(1)垂直 器 (2)如图3步骤④， 21.解：原式=1-4-1+5 =1. 22.解：原式=5a5+4a6-a5=8a 23.解：原式 =[x2-y2-(x2-2y+y2）-xy+ 2y2]÷2x ④ =(x2-y2-x2+2y-y2-xy+ 由折叠可知∠1=∠2. 2y2)÷2x ∠1+∠2=180°， .∠1=∠2=90 =y÷2x=2子 同理∠3=∠4=90°. 当20%y号时。 1 .∠3=∠2=90 sb∥a. 原式×号 2.解：(1)△ADE≌△CDE, 24.解：(1)依题意，得 △ADC≌△ABC, (2a+b)(3a+b)-(2a-b)2 △EHK≌△JCF =(6a2+2ab+3ab+b2)-(4a2- (2)45°3 4ab+b2) (3)用两个部件拼成一个正方形有 =6a2+5ab+b2-4a2+4ab-b2 2种拼法，如图所示.（画出一种即 =2a2+9ab(平方米). 可) 答：绿化的面积是(2a2+9ab)平 方米 (2)当a=10,b=12时， 2a2+9ab 改学七下LZABS48课堂本参考答案*