4.专题四 恒等变形-【零障碍导教导学案】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

154零障碍导教导学案数学七年级下册BS版 专题四 1.已知a=6,a”=2,则am+"的值等于（) A.8 B.12C.36 D.3 2.如果3“=5,3°=10，那么3-的值为() A分 B.C.g D.不能确定 3.若3×32m×33m=31,则m的值为（) A.2 B.3 C.4 D.5 4.若a"=2,则a3m= 若424=2+3，则a= 5.(1)已知2×8×16=23，求x的值： (2)已知am=3,a”=5,求： ①am+"的值；②a3m-2“的值； (3)如果a+3b=4,求3“×27的值 6.已知：a+b=8,ab=6. (1)求(a+b)2的值； (2)求a2+b2的值. 阅盟学堂 恒等变形 7.阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平 方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实 际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式 表示，例如2a(a+b)=2a2+2ab就可以用图 1的面积来表示. bab ab 图1 图2 图3 (1)请写出图2所表示的代数恒等式： (2)请写出图3所表示的代数恒等式： 8.张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认 真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下 列问题： 请观察以下算式： ①32-12=8×1； ②52-32=8×2： ③72-52=8×3. (1)请你再写出另外两个符合上述规律的 算式； (2)验证规律：设两个连续奇数为2n+1,2n 1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8 的倍数； (3)拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8 的倍数”，这个结论正确吗？ 闵盟学堂 9.动手操作：如图1是一个长为2a,宽为2b的长 方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长 方形，然后按照图2所示拼成一个正方形 图1 图2 提出问题并解决： (1)观察图2，请用两种不同的方法表示阴影 部分的面积： (2)请写出三个代数式(a+b)2,(a-b)2,ab 之间的一个等量关系： (3)根据上述(2)中得到的等量关系，解决下 列问题：已知x+y=8,xy=7,求(x-y) 的值。 专题突破 155 10.(2024·罗湖区期末)综合与实践 【问题情境】如图1，有足够多的1号大正方 形、2号小正方形、3号长方形的卡片.某数学 课后活动小组的两名成员，分别选取了1号、 2号、3号卡片1张、2张、3张，拼成了如图2 所示的一个不重叠无缝隙的长方形 【观察推理】(1)小军、小芳分别用不同的方 法表示图2的面积，因此得出了含有a,b的 一个等式为 【尝试探究】(2)小军想设计一个长为(3a+ b)、宽为(a+3b)的长方形，小芳很快告知了 小军所需的1号、2号、3号卡片的张数，请你 推算出1号、2号3号卡片的数量： 【综合应用】小芳提议在1号卡片的四个角 上各剪去一个小正方形（剪去部分不再使 用)，再沿虚线折叠、粘合（如图3），就能制作 出一个无盖长方体盒子.若a=3分米，小正 方形的边长记为c分米，无盖长方体的体积 记为V立方分米 (3)①无盖长方体的体积为 立方分米；（用含c的代数式表示） ②两人把c的多种情况代人上式，发现V 随c的变化而变化，并且当c=石a时， V最大，最大值为 1号 3 图1 图2 图3(2)解：在图2中， DE =CE-CD =AD-BE; 在图3中， DE CD-CE BE-AD. 8.解：【模型感知】理由如下： ,∠A=∠DBE, ∠D+∠DBA=180°-∠A, ∠CBE+∠DBA=18O°-∠DBE, LD=∠CBE. 在△ABD和△CEB中， r∠A=∠C, ∠D=∠CBE. BD EB. ∴△ABD≌△CEB(AAS). 【模型变式】不变，∠CFB=30°. 理由如下： 如图2，在CF上取一点N,使得 ∠CNB=60°. 图2 △ABC,△DEF都是等边三角形， ∴.∠D=∠ACB=6O°=∠CNB, DE =DF,CA CB. 由【模型感知】可知 △ACD≌△CBN, ∴.AD=CN,CD=BN .AE =2CD,AE+AD=DE, CD+CN +NF=DF, .CD=NF. ∴.BN=NF .∠NBF=∠NFB. ,∠CNB+∠BNF=180°， ∠NBF+∠NFB+∠BNF=18O°， ∴.∠NBF+∠NFB=∠CNB=6OP. .∠NFB=30°，即∠CFB=30. 专题四恒等变形 1.B2.A3.C4.81 5.解：(1)2×8×16=22， ·2×(2)×24=2 .2×2×2=22, 即2+4=2” ∴.1+3x+4=23,解得x=6. 阅盟学堂 (2)①a+"=a·a=5×3=15. ②a-h=am÷a2 4或好 =(a")3÷(a)2 5.(1)SAS(2)1<x<4 (3)EF=2AD =45器 6.解：(1)等腰三角形的三分线如图1 (3)3×27=3”×30=3+3w=3 所示 =81. 6.解：(1)a+b=8, (a+b)2=82=64. (2)a+b=8,ab=6, 图1 .a2+b2=(a+b)2-2ab (2)顶角为45°的等腰三角形的三 =82-2×6 分线如图2所示. =64-12=52 7.(1)(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b (2)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b 8.解：(1)92-72=8×4， 13S 112-92=8×5. 图2 (2)(2n+1)2-(2n-1)2 7.解：(1)510105 =(4n2+4n+1)-(4n2-4n+1) (2)n(n+1) (n-1) =8n, 2 故两个连续奇数的平方差是8的 (3)多项式(a+b)“(n取正整数) 倍数 的展开式的各项系数之和为2”.理 (3)不正确 由如下： 设这两个偶数为2n和2n+2, :(a+b)'的展开式的各项系数之 则(2n+2)2-(2n)2 和是1+1=2=2， =4n2+8n+4-4n2 (a+b)2的展开式的各项系数之和 =8n+4. 是1+2+1=4=22， 因为8n+4不是8的倍数， (a+b)的展开式的各项系数之和是 故这个结论不正确。 1+3+3+1=8=23, 9.解：(1)(a+b)2-4ab(a-b)2 (a+b)°的展开式的各项系数之 (2)(a+b)2-4ab=(a-b)2 和是 (3)由(2)知， 1+4+6+4+1=16=2,…, (x-y)2=(x+y)2-4xy, ∴(a+b)”(n取正整数)的展开式 x+y=8,xy=7, 的各项系数之和是2" (x-y)2=64-28=36. (4)原式 10.解：(1)(a+2b)(a+b)=a2+3ab+ =2+5×2×(-1)+10×23× 262 (-1)2+10×22×(-1)'+5×2× (2),(3a+b)(a+3b)=3a2+ (-1)°+(-1) 10ab+36, =[2+(-1)]5=15=1. ∴需要1号卡片3张、2号卡片3 专题六规律探究 张3号卡片10张。 (3)①c(3-2c)2②2 1号293(-1. a 专题五阅读理解 1.-22.28 3.30°，90°或40°，80 (2)原式1-+分+ 学七下LZABS43课堂本参考答案*