专题2.5 常用逻辑用语24道压轴题型专训（6大题型）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题2.5 常用逻辑用语24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 命题真假与求参相关问题 题型二 逆否命题的应用 题型三 命题求参的相关问题 题型四 各类条件的判断 题型五 命题的否定及其真假判断 题型六 量词在命题中的应用 【经典例题一 命题真假与求参相关问题】 1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】对于命题，令，根据函数的性质判断其真假； 对于命题，当时，，通过分析函数关系判断其真假. 【详解】令，其定义域为R，对任意的实数，满足， 则存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足，即是真命题； 假设存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 当时，，由，则，则，出现矛盾， 所以不存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足， 即是假命题. 故选：C. 2．(多选题)（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是（    ） A．语文好，不一定上本科 B．上本科，语文不一定好 C．不上本科，语文一定不好 D．语文不好，一定不上本科 【答案】BC 【分析】根据已知若p ,则q 为真命题，再结合集合间的基本关系判断各个选项即可. 【详解】设p:语文好，q:上本科， 由题意，若p ,则q 为真命题， 如果将语文好的学生定义为集合P ,上本科的学生定义为集合Q，则是的子集，A选项错误； 或许存在，但不在集合内，即上本科语文不一定好， B 正确；语文不好，上本科,D错误； 因为是的子集，则的补集是补集的子集，因此可以说不上本科的语文一定不好，C 正确； 故选：BC . 3．（23-24高二上·江西宜春·期末）①命题“存在”的否定是“不存在” ②若是纯虚数，则 ③若，则或 ④以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥 以上正确命题的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】试题分析：①不正确，“存在”的否定是“任意”； ②正确，，； ③正确，命题若，则或的逆否命题为若且， 则，此命题显然为真， 则命题若，则或也为真； ④不正确，当以斜边为轴旋转时， 显然所成几何体不是圆锥． 综上可得正确的是②③． 考点：1命题；2几何体． 4．（2023高二上·全国·专题练习）试探究命题“方程有实数解”为真命题时，，满足的条件． 【答案】，或，． 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为．综上可得当或时，方程有实数解． 【点睛】解答本题的关键一是进行分类讨论，二是熟知一元一次方程、一元二次方程有根的条件，考查对方程根的有关知识的理解，属于中等题． 【经典例题二 逆否命题的应用】 1．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）下列命题中是真命题的是（    ） ①“”是“”的充分不必要条件； ②若则； ③“若,则且”的逆否命题； ④命题“,使”的否定. A．③④ B．②④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】结合充分条件、必要条件、逆否命题、存在命题的否定的性质，逐项判断正误，即可得到本题答案. 【详解】“”可以推出“”，但“”不可以推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故①不正确； “若则”的逆否命题“若，则”是正确的，故②正确； 若，则有或，所以“若,则且”是不正确的，其逆否命题也是不正确的，故③不正确； 因为恒成立，所以“,使”不正确，所以其命题的否定是正确的，故④正确. 综上，②④是真命题. 故选：B 【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，其中涉及到充分条件、必要条件、逆否命题以及存在命题的否定. 2．(多选题)（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）下列命题：其中真命题的序号为（    ） A．“若，则”的否命题； B．“若，则的解集为”的逆否命题； C．“周长相等的圆面积相等”的逆命题； D．“若为有理数，则为无理数”的逆否命题. 【答案】ABC 【分析】A中写出否命题，判断真假，B和D直接判断原命题的真假得逆否命题的真假，C写出逆命题再判断真假． 【详解】“若，则”的否命题是：若，则，是真命题； 命题“若，则的解集为”，时，．恒成立，是真命题，因此其逆否命题是真命题； “周长相等的圆面积相等”的逆命题是：面积相等的圆的周长相等，圆面积相等，则半径相等，周长必相等，是真命题． “若为有理数，则为无理数”，时，是有理数，但也是有理数，原命题是假命题，其逆否命题是假命题． 故选：ABC． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知命题：“或”，：“”，则P是Q成立的 【答案】必要非充分条件 【分析】可以考虑逆否命题的充分必要性，即得解. 【详解】先考虑充分性，即考虑是否成立， 其逆否命题为：,“”，：“且”， 显然不成立，所以P是Q成立的非充分条件； 再考虑必要性，即考虑是否成立， 其逆否命题为：,“”，：“且”， 显然成立，所以P是Q成立的必要条件. 所以P是Q成立必要非充分条件. 故答案为必要非充分条件 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查逆否命题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．（24-25高一·全国·课后作业）对命题且的充要条件是且 .给出如下证法：必要性：若且，由不等式性质得且 .充分性：若且，考查函数当 时，有.从而其逆否命题：“若则 ”为真命题.因故 且成立.阅读上述材料，并利用上述方法证明：“”的充要条件是“ ”. 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式性质证明必要性，构造函数并利用互为逆否命题等价性证明充分性. 【详解】必要性：若，由不等式性质得； 充分性：若， 考查函数 当时，有.从而其逆否命题：“若则 ”为真命题. 因故 ，成立. 综上：“”的充要条件是“”. 【点睛】本题考查充要条件证明、证明方法理解与运用，考查综合分析论证与应用能力，属中档题. 【经典例题三 命题求参的相关问题】 1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，求出，由题意求得的范围. 【详解】根据题意，当时，， 则，因为成立的充分条件是，所以. 故选:B. 2．(多选题)（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ） A．﹣2 B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由题意得， 当时，， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件，所以 A， 所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或， 故选：BC. 【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题. 3．（2024·陕西·高考真题）．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 【答案】3或4 【详解】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． ，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取，验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根． 4．（2023高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】利用题给条件列出关于m的方程组，解之求得m的值，进而判断出不存在实数m使p是q的充要条件. 【详解】若p是q的充要条件，则， 所以，即，此方程组无解，所以m不存在． 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 【经典例题四 各类条件的判断】 1．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（    ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】D 【分析】先判断每个命题的正误，再判断命题的否定的正误即可. 【详解】令，解得或， 则可以推出，充分性成立， 推不出，必要性不成立， 得到是的充分不必要条件， 故是真命题，则是假命题， 令，得到，化简得， 解得或，则， 故是真命题，则是假命题， 即和都是假命题，故D正确. 故选：D 2．(多选题)（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 3．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则是的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 【答案】必要不充分 【分析】先求解出不等式的解集为集合，再根据幂函数在上单调递减求解出的取值集合为，根据集合之间的关系确定出是的何种条件. 【详解】设对应的的取值范围为集合，对应的的取值范围为集合， 因为，所以，所以, 又因为，所以，所以， 所以，所以是的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 【点睛】结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分也不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根， 即， 所以是的充分非必要条件． 【经典例题五 命题的否定及其真假判断】 1．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 2．(多选题)（24-25高一上·福建莆田·期中）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．命题“，则”的否定是“，则” 【答案】ABD 【分析】解分式不等式可判断A；由，则；由，则或，故可判断B；解绝对值不等式可判断C；依据全称量词的否定为存在量词命题即可判断D. 【详解】对于A，由，则，即； 由，则，解得：或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选项A正确； 对于B，由，则； 由，则或，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选项B正确； 对于C，由，则或； 再由，则，所以”是“”的必要不充分条件， 故选项C错误； 对于D，命题“，则”的否定是“，能使”， 故选项D正确. 故选：ABD. 3．（23-24高一·全国·课后作业）命题“有的有理数没有倒数”的否定是 ，否定后的命题是 命题.(填“真”“假”之一) 【答案】 任意的有理数都有倒数 假 【分析】根据特称量词的否定为全称量词得到答案，再判断命题的真假得到答案. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题的否定为：任意的有理数都有倒数. 因为0没有倒数，故为假命题. 故答案为：任意的有理数都有倒数；假. 【点睛】本题考查了命题的否定和命题的真假判断，意在考查学生的推断能力. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断其真假. （1）p：所有的方程都有实数解； （2）q：； （3）r：； （4）s：某些平行四边形是菱形. 【答案】（1） ：存在一个方程没有实数解，真命题；（2） ：，假命题；（3） ：，真命题；（4） ：每一个平行四边形都不是菱形，假命题. 【分析】（1）先写出其否命题，然后举例验证，没有实数解，故为真命题； （2）写出其否命题，然后利用二次函数知识判断其真假； （3）写出其否命题，然后利用二次函数知识判断其真假； （4）写出其否命题，然后判断其真假； 【详解】解：（1） ：存在一个方程没有实数解，真命题. 比如方程就没有实数解. （2）：，假命题. 由于恒成立，是真命题， 所以¬q是假命题. （3）：，真命题. （4）：每一个平行四边形都不是菱形，假命题. 【点睛】本题主要考查命题的否定、全称量词命题与存在量词命题的否定及命题真假的判断. 【经典例题六 量词在命题中的应用】 1．（23-24高三上·江西宜春·阶段练习）下列叙述不正确的是（    ） A．“”是“与垂直”的充分不必要条件 B．函数的最小值 C．若命题，则 D．命题：，，则是真命题 【答案】B 【分析】对四个选项一一验证： 对于A：分别对充分性和必要性进行讨论即可； 对于B：利用基本不等式进行讨论； 对于C：根据全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，进行判断； 对于D：先取，再取验证. 【详解】对于A：充分性：当时，与，斜率分别为，即两直线垂直成立，充分性满足； 必要性：若与垂直，斜率分别为，必要性不满足，所以“”是“与垂直”的充分不必要条件，故A成立； 对于B：函数，但取等号的条件是，即时取得，而，故“函数的最小值”不成立，所以B错误； 对于C：根据全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，所以“若命题，则”正确，故C成立； 对于D：命题：，，则，比如取符合要求，故D成立. 故选：B 【点睛】（1）反向选择题相当于多项选择题，多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验； （2）充要条件类问题需要对充分性和必要性分别验证； （3）全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题． 2．(多选题)（24-25高一上·四川绵阳·期中）下列叙述中正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．“”的一个必要不充分条件是“” D．集合中只有一个元素的充要条件是 【答案】ABC 【分析】对于ACD，根据各选项中条件之间的推出关系可判断它们的条件关系，根据存在性命题的否定的结构形式可判断B的正误，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，由，而，成立，但不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“”的否定是“”，故B正确； 对于C，若，则，故成立， 若，成立，但， 故“”的一个必要不充分条件是“”，故C成立； 对于D，若，则， 集合中只有一个元素推不出， 但时，，该集合为单元素集合， 故集合中只有一个元素的充分不必要条件是， 故D错误， 故选：ABC. 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）命题“”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】解：命题“”的否定为：“，”， 因为原命题为假命题，则其否定为真，所以 当时，恒成立，满足题意； 当时，只需，解得：，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知命题：，，命题：，. （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若为假，为真，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）为真，则为假，由判别式求出实数的取值范围，并取补集即可； （2）为假，为真，则、一真一假，由真假和假真分别求出的取值范围取并集即可． 【详解】（1）若为真：， 解得， ∵为真，∴为假，∴或. （2）由（1）得：真， 若为真：，，∴， ∵为假，为真，∴、一真一假. ①真假：，∴； ②假真：，∴. 综上：的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查根据含有一个量词的命题的真假求参数的问题，或与且的真假判断如下： 1. 和都为真，则且为真；和有一个为假或者都为假，则且为假； 2. 和都为假，则或为假；和有一个为真或者都为真，则且为真． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 常用逻辑用语24道压轴题型专训（6大题型） 题型一 命题真假与求参相关问题 题型二 逆否命题的应用 题型三 命题求参的相关问题 题型四 各类条件的判断 题型五 命题的否定及其真假判断 题型六 量词在命题中的应用 【经典例题一 命题真假与求参相关问题】 1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足；命题：存在定义域为R的函数，对任意的实数，满足.关于这两个命题的真假判断，正确的是（   ）. A．、都是真命题 B．、都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 2．(多选题)（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是（    ） A．语文好，不一定上本科 B．上本科，语文不一定好 C．不上本科，语文一定不好 D．语文不好，一定不上本科 3．（23-24高二上·江西宜春·期末）①命题“存在”的否定是“不存在” ②若是纯虚数，则 ③若，则或 ④以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥 以上正确命题的序号是 ． 4．（2023高二上·全国·专题练习）试探究命题“方程有实数解”为真命题时，，满足的条件． 【经典例题二 逆否命题的应用】 1．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）下列命题中是真命题的是（    ） ①“”是“”的充分不必要条件； ②若则； ③“若,则且”的逆否命题； ④命题“,使”的否定. A．③④ B．②④ C．①②④ D．②③④ 2．(多选题)（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）下列命题：其中真命题的序号为（    ） A．“若，则”的否命题； B．“若，则的解集为”的逆否命题； C．“周长相等的圆面积相等”的逆命题； D．“若为有理数，则为无理数”的逆否命题. 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知命题：“或”，：“”，则P是Q成立的 4．（24-25高一·全国·课后作业）对命题且的充要条件是且 .给出如下证法：必要性：若且，由不等式性质得且 .充分性：若且，考查函数当 时，有.从而其逆否命题：“若则 ”为真命题.因故 且成立.阅读上述材料，并利用上述方法证明：“”的充要条件是“ ”. 【经典例题三 命题求参的相关问题】 1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．(多选题)（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ） A．﹣2 B． C． D． 3．（2024·陕西·高考真题）．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 4．（2023高一·江苏·专题练习）已知，，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 各类条件的判断】 1．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（    ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 2．(多选题)（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．. 是的必要不充分条件 C．若，，，则“”的充要条件是“” D．若，，则“”是“”的充要条件 3．（23-24高二上·山西·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则是的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 4．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【经典例题五 命题的否定及其真假判断】 1．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 2．(多选题)（24-25高一上·福建莆田·期中）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．命题“，则”的否定是“，则” 3．（23-24高一·全国·课后作业）命题“有的有理数没有倒数”的否定是 ，否定后的命题是 命题.(填“真”“假”之一) 4．（23-24高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断其真假. （1）p：所有的方程都有实数解； （2）q：； （3）r：； （4）s：某些平行四边形是菱形. 【经典例题六 量词在命题中的应用】 1．（23-24高三上·江西宜春·阶段练习）下列叙述不正确的是（    ） A．“”是“与垂直”的充分不必要条件 B．函数的最小值 C．若命题，则 D．命题：，，则是真命题 2．(多选题)（24-25高一上·四川绵阳·期中）下列叙述中正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．“”的一个必要不充分条件是“” D．集合中只有一个元素的充要条件是 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）命题“”为假命题，则实数的取值范围是 . 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知命题：，，命题：，. （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若为假，为真，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$