精品解析：浙江省金华市义乌市丹溪中学2024-2025学年七年级下学期6月月考数学试题

丹溪中学七年级数学学科独立作业 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于分式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某微生物的直径为0.0000513，则数字0.0000513用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 5. 若x≠y，则下列分式化简中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 某校学生健康检查 B. 对某大型自然保护区树木高度调查 C. 对义乌市市民实施低碳生活情况的调查 D. 对某个工厂口罩质量的调查 7. 现有A、B两工厂每小时一共能做9000个口罩，两个工厂运作相同的时间后，得到A工厂做的960个口罩，B工厂做的840个口罩，设A工厂每小时能做x个口罩，根据题意列出分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则值为（　　） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式:________. 12. 分式有意义的条件是________． 13. 一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为6、7、10、13，则第5组的频率为 _____． 14. 如图△ABC中，AB＝BC＝AC＝5，将△ABC沿边BC向右平移4个单位得到△A'B'C′，则四边形AA′C'B的周长为__ 15. 分式方程无解，则m的值为___ 16. 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． （1）的度数为______； （2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为，若反射光线恰好与平行，则的度数为__________． 三、解答题（本题有7小题，共52分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程（组）： （1） （2） 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，并从1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 某校积极开展“书香校园”课外阅读活动．为了解学生最喜爱的图书类别，调查小组将图书分为“科普类”，“艺体类”，“文学类”，“其他”四类，随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图．请根据图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中表示“艺体类”扇形圆心角的度数． （3）该校共有学生人，试估计该校学生中最喜爱“文学类”图书的人数． 21. 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 22. 根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 23. 佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． （1）打开总开关，求灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角大小． （2）打开总开关，当灯A光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． （3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丹溪中学七年级数学学科独立作业 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各选项进行分析判断． 【详解】解：分式的定义为：形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 选项，分母是常数，不是字母，属于整式． 选项，分母为其中含有字母a和符合分式的定义，属于分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方等幂的性质判断即可. 【详解】A. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：，故A错误； B. 同底数幂相除，底数不变，指数相减：，故B正确； C. 幂的乘方，底数不变，指数相乘：，故C错误； D.负数的奇数次幂还是负数： ，故D错误. 故选B. 【点睛】此题考查的是幂的性质，掌握幂的各个性质用于计算是解决此题的关键. 3. 某微生物的直径为0.0000513，则数字0.0000513用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法可直接进行求解． 【详解】解：将数字0.0000513用科学记数法表示为； 故选D． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 4. 如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵AB∥CD， ∴∠3=∠1=65°， ∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°． 考点：平行线的性质 5. 若x≠y，则下列分式化简中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A. ∵当x=1，y=2时，，，∴，故不正确； B. ∵当x=1，y=3时，，，∴ ，故不正确； C. ，正确； D. ∵当x=1，y=2时，，，∴ ，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 6. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 某校学生健康检查 B. 对某大型自然保护区树木高度的调查 C. 对义乌市市民实施低碳生活情况的调查 D. 对某个工厂口罩质量的调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的选择，解题的关键是理解全面调查和抽样调查的适用场景，根据调查对象的特点判断适宜的调查方式． 明确全面调查适用于范围较小、容易掌握、不具有破坏性且需要准确结果的调查；抽样调查适用于范围较大、难以全面调查、具有破坏性或不必要全面调查的情况．依次分析各选项，判断其适宜的调查方式． 【详解】解：全面调查是对调查对象的所有单位进行调查的调查方式，适用于范围较小、容易操作、需要精确结果的情况；抽样调查是从调查对象的总体中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，适用于范围较大、不易全面调查或具有破坏性的情况． 选项A：某校学生健康检查，范围较小，容易实施，且需要准确了解每个学生的健康状况，适宜采用全面调查． 选项B：对某大型自然保护区树木高度的调查，范围极大，全面调查难度大，适宜采用抽样调查． 选项C：对义乌市市民实施低碳生活情况调查，涉及人数众多，全面调查成本高、难度大，适宜采用抽样调查． 选项D：对某个工厂口罩质量的调查，调查具有破坏性（需检测口罩质量可能会损坏口罩），适宜采用抽样调查． 故选：A． 7. 现有A、B两工厂每小时一共能做9000个口罩，两个工厂运作相同的时间后，得到A工厂做的960个口罩，B工厂做的840个口罩，设A工厂每小时能做x个口罩，根据题意列出分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设A工厂每小时能做x个口罩，则B工厂每小时能做（9000-x）个口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合A工厂做960个口罩和B工厂做840个口罩所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设A工厂每小时能做x个口罩，则B工厂每小时能做（9000-x）个口罩， 依题意，得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8. 已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】将第二个方程乘以2，再与第一个方程相加消去m即可得． 【详解】解：， 由得：， 则，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，正确找出方程组中两个方程之间的联系是解题关键． 9. 如图，在中，已知，点分别在边上，现将沿直线折叠，使点恰好落在点处，若将线段向左平移刚好可以与线段重合，连接，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质及平移的性质可知四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可知即可解答． 【详解】解：∵现将沿直线折叠，使点恰好落在点处， ∴由折叠的性质可得：， ∵将线段向左平移刚好可以与线段重合， ∴由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，线段和差倍关系，掌握折叠的性质及平移的性质是解题的关键． 10. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，求代数式的值，掌握分式的性质是解题的关键； 设，分与两种情况考虑，利用分式的知识即可求解． 【详解】解：设， 则， 以上三式相加得：； 当时，则； 此时， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上，的值为或； 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式:________. 【答案】 【解析】 【详解】【分析】用提取公因式法即可得到结果. 【解答】原式=. 故答案为 【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式. 12. 分式有意义的条件是________． 【答案】x≠2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：x-2≠0， ∴x≠2， 故答案是：x≠2． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0，是解题的关键． 13. 一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、2、3、4组的频数分别为6、7、10、13，则第5组的频率为 _____． 【答案】0.1 【解析】 【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：第5组的频数为：40-13-10-6-7=4， 第5组的频率为：． 故答案为：0.1． 【点睛】本题考查频数与频率，解题的关键是熟练运用频数与频率的关系．用到的知识点：各小组频数之和等于数据总和．频率=频数÷数据总数． 14. 如图△ABC中，AB＝BC＝AC＝5，将△ABC沿边BC向右平移4个单位得到△A'B'C′，则四边形AA′C'B的周长为__ 【答案】23. 【解析】 【分析】根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出AA′、BB'，然后求出BC′，再根据周长的定义解答即可. 【详解】∵平移距离是4个单位， ∴AA′＝BB′＝4， ∵等边△ABC的边长为5， ∴B′C′＝BC＝5， ∴BC′＝BB′+B′C′＝4+5＝9， ∵四边形AA′C′B的周长＝4+5+9+5＝23． 故答案为23. 【点睛】根据周长的定义解答即可. 15. 分式方程无解，则m的值为___ 【答案】或1. 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值. 【详解】分式方程去分母得：1+x﹣3＝mx，即（m﹣1）x＝﹣2， 当m＝1时，整式方程无解； 由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：m＝， 故答案为或1. 【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件. 16. 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． （1）的度数为______； （2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为，若反射光线恰好与平行，则的度数为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，根据得出，求出，根据，即可 （2）根据平行线的性质得出，根据反射的性质得出，根据，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）如图，若反射光线恰好与平行， 则， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，反射的性质，垂直定义的理解，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，画出相应的图形，数形结合． 三、解答题（本题有7小题，共52分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算、零指数幂与负指数幂的运算，掌握对应的运算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再利用同底数幂的乘除法运算法则计算即可； （2）利用零指数幂与负指数幂的运算等直接计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 解下列方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组和解分式方程的方法和步骤． （1）用加减消元法求解即可，用求出y的值，再把y的值代入①求出x的值即可； （2）先去分母，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【小问1详解】 解：得：， 解得：， 将代入①式中得：， 解得：， 则原方程组的解为； 【小问2详解】 解：两边同时乘以得：， 整理得： 解得： 检验：当时，， 则是原分式方程的解． 19. 先化简，再求值：（1﹣）÷，并从1，2，3中选取一个合适数作为x的值代入求值． 【答案】，-3 【解析】 【分析】先对括号里的式子通分，然后将除号变为乘号，运用公式法将后面的式子进行因式分解，化简后代入合适的值即可． 【详解】解：原式＝• ＝• ＝， 当x＝2时， 原式＝＝﹣3． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，属于基础题，难度一般，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键． 20. 某校积极开展“书香校园”课外阅读活动．为了解学生最喜爱的图书类别，调查小组将图书分为“科普类”，“艺体类”，“文学类”，“其他”四类，随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图．请根据图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中表示“艺体类”扇形圆心角的度数． （3）该校共有学生人，试估计该校学生中最喜爱“文学类”图书人数． 【答案】（1）人，见解析 （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据科普类的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数减去其他人数，求出文学类的人数，从而补全统计图； （2）用乘“艺体类”所占的百分比即可； （3）用总人数乘最喜爱“文学类”图书的人数所占的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 解：被调查的学生人数有：（人）， 文学类的人数有：（人）， 补全统计图如下： 【小问2详解】 扇形统计图中表示“艺体类”扇形圆心角的度数是：； 答：扇形统计图中表示“艺体类”扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 根据题意得：（人）， 答：估计该校学生中最喜爱“文学类”图书的人数约有人． 21. 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【解析】 【分析】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． 22. 根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 23. 佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． （1）打开总开关，求灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角大小． （2）打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． （3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【答案】（1） （2）30秒，秒，秒，90秒 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，构造图形并正确分类是解题的关键． （1）延长灯射线至点，将灯射线反向延长与交于点，过点作，则为灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角，由可得，则有，，根据可得，由此求解即可； （2）分情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可； （3）过点作，根据平行线性质和角平分线的定义推导即可． 【小问1详解】 解：如图，延长灯射线至点，将灯射线反向延长与交于点， 过点作， 则为灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角， ， ， ，， 又， ， ， 则灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角为； 【小问2详解】 设旋转时间为秒， 灯的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：（秒）， 灯的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：（秒）， ①当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示，作， ， ， ， ， ， ， 于是有：， 解得：； ②当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时有， ， 于是有：， 解得：； 另有，时， 即， 解得：； ③当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时，， ， 于是有：， 解得：； 综上可得，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：30秒，秒，秒，90秒； 【小问3详解】 与的数量关系是：， 如图，过点作， ， ， ，，， 作与的角平分线并交于点， ，， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$