21.1 二次函数 同步练习 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

21.1 二次函数 一、单选题 1．若函数是关于x的二次函数，则（    ） A． B．3 C．3或 D．2 2．下列函数中，表示二次函数的是（　　） A． B． C． D． 3．正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（　　） A． B． C． D． 4．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 5．下列每组变量之间的关系为二次函数的是（    ） A．正方形周长与边长的关系 B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系 C．速度一定时，路程与时间的关系 D．等边三角形的面积与边长的关系 6．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 7．下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解为（    ） A． ， B．， C．， D．， 二、填空题 9．二次函数的图象如图所示，已知，则该二次函数的解析式为 ．    10．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 11．若二次函数（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 1 0 1 2 … y … 0 2 2 0 4 … 则当 时，y的取值范围为 ． 12．二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则 ， ． 13．在等式中，若；若；若；若 ． 三、解答题 14．如图，已知拋物线交轴于两点，交轴于点，，求抛物线的解析式和的长．    15．如图，已知抛物线经过两点，与y轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式： (2)点P是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标和周长最小值． 16．如图，抛物线经过，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点B，连接交y轴于点D，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线的距离是7时，求m的值； (3)点P为抛物线对称轴上一点，连接，若是以为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 17．如图，已知抛物线经过，两点，与轴交于点．    (1)分别求出抛物线和直线的解析式； (2)若抛物线的顶点为，对称轴与直线交于点，则四边形是平行四边形吗？请通过计算说明理由 (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键． 2．B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐个判断即可，熟记二次函数的定义是解本题的关键． 【详解】A、，是一次函数，不符合题意； B、，是二次函数，符合题意； C、，自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意； D、，是三次函数，不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y列出方程即可． 【详解】解：原边长为3的正方形面积为：， 边长增加后边长变为：， 则面积为：， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正方形的面积． 4．B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 5．D 【分析】本题考查了二次函数的定义．分别列出关系式，根据二次函数的定义，进行选择即可． 【详解】解：A. 正方形周长与边长的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； B. 菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系，是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； C. 速度一定时，路程与时间的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； D. 等边三角形的面积与边长的关系，是二次函数关系，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义可得，，进一步求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，， ， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、中x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、中x的次数为，故此选项不符合题意； D、，x的最高次是1次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、一次函数及二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程因式分解法，熟练掌握这四个知识点的综合应用，其中一元二次方程解法的选择是解题关键． 把代入，求出，把，代入，求出、，再把、、代入，解一元二次方程即可． 【详解】解：把代入， 得， 把，代入， 得， 解得：， 关于的方程化为， ， ，， 故选：C． 9． 【分析】把a的值代入二次函数解析式，根据求出h的值，即可确定出解析式． 【详解】解：由题意，得， ， ， 将点A坐标代入抛物线解析式，得， 解得：或0(不合题意，舍去)， ∴该抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于把坐标代入解析式求解． 10．1 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ，， 解得：， 故答案为：1． 11． 【分析】根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是，把点的坐标代入求出该二次函数的表达式是；再画出图象，即可利用图象法求解． 【详解】解：根据表中可知：点和点关于对称轴对称， 即对称轴是直线， 设二次函数的表达式是， 把点和点代入得：， 解得：，， ， 所以该二次函数的表达式是； 函数图象如图所示， 由图象可得∶当时， ， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键． 12． 4 【分析】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题关键．由二次函数的定义可得，进而得到或，再分别求解即可． 【详解】解：二次函数的解析式为， ， ， 或， 当时，，， 解得：，，满足，符合题意； 当时，，， 解得：，，不满足，不符合题意； 故答案为：；4． 13．9 【分析】本题主要考查看运用待定系数法求函数解析式、求函数值等知识点，求得函数解析式成为解题的关键． 先运用待定系数法求函数解析式，然后将代入求y的值即可． 【详解】解：由题意可得： ，解得：， ∴， 当时，． 故答案为：9． 14．； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理；求出二次函数的解析式是解题的关键．由题意设抛物线的解析式为交点式，根据得点C的坐标，并代入抛物线解析式中，即可求解；由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：拋物线交轴于两点，故设抛物线解析式为， ∵， ∴， 把点C坐标代入中，得， ∴， ∴， 化为一般式为：； ∵， ∴， 由勾股定理得：． 15．(1)，详见解析； (2)，周长最小值为，详见解析． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接交抛物线的对称轴于点P，      ∵， ∴， ∵点A与点B关于直线对称， ∴， ∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值． 又∵为定值， ∴当点在一条直线上时，的周长最小． ∵， ∴的周长最小值为：， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点P的坐标为， 即当点P的坐标为时，的周长最小．最小值为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，解二元一次方程组等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键． 16．(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，点到直线的距离，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）由题意得，，则点Q到直线的距离为，故，解方程即可； （3）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，，根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由题意得，， 则点Q到直线的距离为， ∴， 则或 解①得：或 解②，无解， ∴或； （3）解： ∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴ 当时，, ∴ 解得：， ∴ 综上：或． 17．(1)； (2)不是，理由见解析 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，通过解析式得到点，将点代入直线解析式即可求； （2）根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分类讨论即可． 【详解】（1）抛物线经过 解得： 抛物线的解析式为： 分别是抛物线与轴和轴负半轴的交点 当时，，即 当时，即 解得：或 在负半轴 设直线的解析式为： 解得： 直线解析式为： （2）抛物线的顶点为 根据顶点公式：，得： 顶点和的横坐标相同 当时， 四边形不是平行四边形    （3）设 ， ， ， ， 若点为直角顶点时，则 即， 解得； 若点为直角顶点时，则 即， 解得， 若为直角顶点时，则，则， 解得 综上，点的坐标为或或或    【点睛】本题考查了二次函数的综合运用、一次函数的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定以及勾股定理等，解题的关键在于正确求解出抛物线和直线的解析式． 18．(1)，对称轴为 (2)或 (3)， 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，新定义的计算，整点的计算和利用割补法求三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求二次函数解析式，并根据公式计算对称轴即可； （2）先求出点到轴的距离，然后得到点的纵坐标，代入新定义的式子计算即可； （3）先根据割补法求出三角形的面积，然后利用待定系数法求出直线的解析式，求出整点的个数a和b，然后得到公式即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：， 即抛物线的对称轴为：； （2）解：∵C点到x轴的距离为， ∴点的纵坐标， 当时，则，解得， 当时，则，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为，的解析式为， 当时，，所以边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，，所以三角形内部格点为，，，边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，所以三角形边上的格点为； ∴，， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$