第三章概率的进一步认识练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识 练习 一、单选题 1．在一次保护“拉萨之肺”活动中，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机 抽取两名同学，前往拉鲁湿地向游客宣传湿地保护重要性，恰好抽到两名都是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 2．在2，5，7三个数中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 3．中国“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，下面四张卡片分别代表立春、谷雨、白露、大雪，卡片除正面图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小华随机抽取两张卡片，则小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为（   ） A． B． C． D． 4．在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（   ） A． B． C． D． 5．假如鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为（    ） A． B． C． D． 6．在一不透明的袋中装有标记数字1，2，3，4的小球各一个，随机一次取出2个小球，则取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的概率是（   ） A． B． C． D． 7．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则这两个数的积不是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 8．一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 9．在一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 10．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 二、填空题 11．一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 12．年春节电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》与《射雕英雄传：侠之大者》等新片上映．这些影片既有票房与口碑双丰收的表现，也有东方美学的创新表达和技术工业的突破性成就，为中国故事的全球传播写下浓墨重彩的一笔．冉冉和莹莹分别从上述四部影片中随机选择一部观看，则两人选择的影片不同的概率为 ． 13．有“枇杷之乡”之称的书峰乡，枇杷种植面积高达近2万多亩，是省定的枇杷主要生产基地和第七批枇杷栽培标准化示范区．某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷某次移栽的成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为 ． 14．某校的生物学兴趣小组在相同条件下进行了黄豆发芽试验，并记录了如下结果： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1908 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.954 0.950 则估计黄豆发芽的概率是 （结果精确到0.01）． 15．某人工智能实验室研发了两种智能算法模型和，为测试其性能，设置了如下实验：制作两个模拟数据生成器甲和乙，数据生成器甲可产生四个数据：，数据生成器乙可产生三个数据：（每个数据被生成的概率相同），每次实验时，同时启动两个数据生成器，甲、乙生成的数据分别记为和，该人工智能系统会对生成的两个数据和进行运算： 若，则算法模型的性能评估加分； 若，则算法模型的性能评估加分； 若，则两个算法模型均不加分． 当实验次数为600次时，若算法模型的加分次数为，算法模型的加分次数为，估计的值为 ． 三、解答题 16．主题为“礼让一步，苏城风度”的交通安全宣传在全市开展，为调查机动车在斑马线前礼让行人的情况，某实践小组在某路口进行观测，连续6天的记录数据如下： 机动车数量/辆 120 150 180 160 140 200 礼让车辆数/辆 108 138 166 149 129 184 礼让频率 n (1)求表格中n的值． (2)由此数据，估计机动车在该路口礼让行人的概率约为________；（结果精确到） (3)若某日通过该路口的机动车达800辆，预计礼让行人的车辆约有多少辆？ 17．学校播音室拟招新纳才，共有10名学生报名参加，报名的学生需进行自我介绍、试播新闻稿、回答问题三项测试，每项测试均由5位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将自我介绍、试播新闻稿、回答问题三项的测试成绩按如下扇形统计图（图1）的比例计算出每人的综合成绩． 小强试播新闻稿和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，这10名学生的综合成绩频数分布直方图（图2）（每组含最小值，不含最大值）如下． (1)在自我介绍测试中，五位评委给小强打出的分数如下：83，79，79，80，84．这组数据的中位数是_______分，平均数是_______分； (2)请你计算小强的综合成绩；学校决定根据综合成绩择优选拔5名小播音员，试分析小强能否入选，并说明理由． (3)若5位评委中有2位来自第三方机构，其余3位评委为本校老师，小强在试播新闻稿环节中，有2位评委给出了满分，直接写出给满分的2位评委有1位是来自第三方机构的概率； 18．2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： (1)这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． (2)若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 19．高效素养课堂强调以学生为中心，实现知识传授与能力提升有机统一．为了解某校高效素养课堂建设情况，该校实践小组在全校范围内随机抽取部分学生进行了问卷调查，问卷共设五个选项：A—上课学习效率明显提升；B—上课学习效率无明显提升；C—自主学习能力明显提升；D—自主学习能力无明显提升；E—没有关注．已知参加调查的学生中，每人都只选了其中一个选项，将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请你根据以上信息，回答下列问题： (1)本次接受调查的学生共有 人， ， ； (2)补全条形统计图； (3)该校计划面向家委会成员举行“课堂教学开放日”活动，活动备选班级共4个，分别为8.1班、8.2班、9.3班、9.4班．由于报名人数较多，学校计划分两天进行，第一天先从这4个班级中任选一个展示课堂教学，第二天再从剩下的班级中任选一个展示．请用表格或树状图求两次选中的班级既有八年级又有九年级的概率． 20．为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ，并将条形统计图补充完整： (2)根据七年级的报名情况，试问全校3000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ (3)根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 概率的进一步认识?练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C B C A A A C 1．A 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有12种等可能的结果，再找恰好抽到两名都是男生的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名都是男生的结果数为2， 所以恰好抽到两名都是男生的概率． 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． 利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如图所示： 一共有6种等可能的情况，其中和为偶数的有2种情况， ∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是． 故选：B 3．A 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能结果，其中小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：用A，B，C，D分别表示立春、谷雨，白露、大雪，画树状图如图： 由树状图可知，共有12种等可能的结果．其中小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的结果有6种， ∴小华抽到的两张卡片中恰好有“立春”图案的概率为． 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率成为解题的关键． 根据表格中的数据即可解答． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大约是． 故选C． 5．B 【分析】根据题意画树状图得出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．此题考查画树状图求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；得到三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数是解决本题的关键． 【详解】解：根据题意画图如下： 共8种等可能的情况，三只雏鸟中恰有两只雄鸟有3种情况， ∴雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为 故选：B． 6．C 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求出答案． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 1 4 3 2 1 一共有12种等可能出现的结果，取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的情况有4种， 故取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的概率为， 故选：C． 7．A 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据两个转盘分别落在某个区域的数值，用列表法列出所有可能的情况，再找到两数的积不是偶数的情况数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 1，1 2，1 3，1 4，1 2 1，2 2，2 3，2 4，2 3 1，3 2，3 3，3 4，3 4 1，4 2，4 3，4 4，4 所有等可能的情况有16种，其中两个数的积的情况不是偶数有4种， ∴这两个数的积不是偶数的概率为． 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据题意可得红球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在， ， 解得：，经检验是方程的解， 即n的值最可能是． 故选：A． 9．A 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的应用，准确计算是解题的关键． 利用黄球的实际个数除以其概率得到总数，总数减去黄球个数即为红球个数． 【详解】解：根据题意得两种球的总数为（个）， 则红球的个数为（个）， 故选：A． 10．C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ， 抽出某个球的颜色最有可能的是黄球； 故选：C． 11．12 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6，得到摸到黑球的概率为0.6，设黑球有个，根据黑球的数量等于总量乘以概率，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6， ∴摸到黑球的概率为0.6， 设黑球有个，则：， 解得：； 故答案为：12． 12． 【分析】本题考查了用列表法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，由表可知共有种等可能的情况出现，其中两人选择的影片不同的情况有种，所以两人选择的影片不同的概率为． 【详解】解：设《哪吒之魔童闹海》用表示，《封神第二部：战火西岐》用表示，《唐探》用表示，《射雕英雄传：侠之大者》用表示， 列表如下， A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 由表可知共有种等可能的情况出现，其中两人选择的影片不同的情况有种， 两人选择的影片不同的概率为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图可知，书峰枇杷移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：由题意得，随着移栽数量的增加，成活棵树的占比逐步稳定在附近， ∴可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为， 故答案为：． 14．0.95 【分析】本题考查了由频率估计概率，由表格可得，当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于，由此即可得解． 【详解】解：由表格可得，当足够大时，发芽的频率逐渐稳定于， ∴估计黄豆发芽的概率是， 故答案为：． 15．150 【分析】本题主要考查了树状图法活列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图，得到的所有情况及的结果数，的结果数，分别求出概率，再根据实验次数求出的值，即可解答． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种结果，其中有7种结果，出现概率为；有4种结果，出现概率为； 当实验次数为600次时，算法模型的加分次数，算法模型的加分次数， 则， 故答案为：． 16．(1) (2) (3)736辆 【分析】本题考查用频率估计概率、用样本估计总体，正确估计概率值是解答关键． （1）用184除以200，即可； （2）根据表格数据，随着抽查车辆数的增加，能礼让的频率逐渐稳定在附近，从而得出答案； （3）利用总数乘以样本中的概率求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：解：根据表格数据，随着抽查车辆数的增加，能礼让的频率逐渐稳定在附近， 所以可估计经过该斑马线的机动车驾驶员“礼让行人”的概率为， 故答案为：； （3）解：辆， 即礼让行人的车辆约有736辆． 17．(1)80；81 (2)小强能入选；理由见解析 (3) 【分析】此题考查了中位数、平均数和利用树状图法求概率． （1）将数据按大小排序，找出中位数，算出平均数； （2）将三项的测试成绩按比例计算出的总评成绩，结合频数分布直方图结合题意确定能否入选即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：五位评委给小强打出的分数按大小顺序排列如下：84，83，80，79，79， 这组数据的中位数是80分， 平均数是分， 故答案为：80；81； （2）解：由扇形统计图可得试播新闻稿所占比例为， 小强试播新闻稿和回答问题两项的测试成绩分别为84分和82分，自我介绍测试中小强得分是81分， 小强的综合成绩是（分）， 从这10名学生的综合成绩频数分布直方图来看，成绩不低于90分的有2人，成绩不低于80分的有3人，学校决定根据综合成绩择优选拔5名小播音员，小强的综合成绩是分， 小强能入选； （3）解：设2位第三方机构的评委为，，3位本校老师的评委为，，， 画出树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中只有1位是第三方机构的评委的可能结果有12种， 故给满分的2位评委中只有1位是来自第三方机构的概率为． 18．(1)40，，见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【详解】（1）解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：40， （2）解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 19．(1)200，144，20 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，同时要能用树状图或者表格求概率． （1）由A、B、C、E的人数除以所占百分比得出本次接受调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出D的人数，即可解决问题； （3）先画树状图或者列表得出所有等可能的结果数以及两次选中的班级既有八年级又有九年级的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次接受调查的学生共有（人）， ，， ∴，， 故答案为：200，144，20； （2）D的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）将8.1班、8.2班、9.3班、9.4班分别用A、B、C、D表示， 画树状图如下： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次选中的班级既有八年级又有九年级的结果有8种， ∴两次选中的班级既有八年级又有九年级的概率是． 20．(1)25，108，图见解析 (2)900人 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体． （1）先利用参加踢毽活动小组的人数它所占的百分比得到调查的总人数，再计算m的值和n的值，然后补全条形统计图； （2）利用样本估计总体，用2000乘以样本中参加足球活动小组的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：调查的总人数（人）， 所以，即， 参加跳绳活动小组的人数（人）， 所以，即， 如图， 故答案为：25，108； （2）解：（人）， 所以全校3000人中，大约有900人报名参加足球活动小组； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8， 所以恰好选中一男一女两名同学的概率． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$