精品解析：江苏省南通市启秀中学 2024-2025学年 八年级下学期第二次月考数学试卷

南通市启秀中学2024−2025学年度第二学期单元练习 初二数学 一、选择题（共10小题30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，寻找对称中心是解题的关键； ‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； C．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 把方程化成一般式，则得值是（ ） A. B. 7 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能够将给定的方程化简成一般式是解决本题的关键． 先明确一元二次方程一般式的定义：我们把、、为常数，称为一元二次方程的一般形式．再通过去括号、移项、合并同类项得到方程的一般形式，即可得到、、的值，求和即可． 【详解】解：． ． ． ． 故：，，． ． 故选：B． 3. 已知是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，可得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故选：． 4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴， 所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ） A. D点 B. C点 C. B点 D. A点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为轴，进而结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 7. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人都给“好评”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率；画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人都给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，两人都给“好评”的结果数为， 所以两人都给“好评”的概率为． 故选：C． 8. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，得出是等边三角形，得到，即可证明；不一定能得到，，，即可得到答案 【详解】解：∵以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C， ，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴ 故选项D正确，符合题意； 不一定能得到，，， 故选：D 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； B、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，两函数与轴交于同一点，故符合题意； C、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； D、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故不符合题意； 故选：B． 10. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为整理，结合，故，所以，即可作答． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ， ， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 二、填空题（共8小题30分） 11. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质的基础题，知识点单一而且简单．本题考查了二次函数的开口方向，是由系数决定的． 【详解】解：抛物线的开口向下， ． 故答案为：． 12. 在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键． 先根据点与点关于原点对称得到，，代入求值即可． 【详解】解：由题意得，，， ， 故答案为：3． 13. 一个不透明袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是______． 【答案】16 【解析】 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．设白色棋子有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设白球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根， 则袋中白球的个数是16个． 故答案为：16． 14. 已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，再整体代入求值即可得到答案； 【详解】解：由条件可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 将抛物线向右平移3个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 先求出抛物线向右平移3个单位后的解析式，再根据对称轴方程即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，得到， ∵对称轴是轴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 已知二次函数的图象经过点，当时，的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上性质是解题的关键．首先将代入求出二次函数解析式，确定最值，再分别讨论，0，2时y的最值即可． 【详解】解：把代入中， 得， 解得， 二次函数解析式为， 由可知顶点坐标为， ， 当时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 17. 关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是或， ∴或． 故答案为：或． 18. 如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹在射线上是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，始终有， ∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ∴在 中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题90分） 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用因式分解的方法求解方程的解即可； （2）利用公式法求解一元二次方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得：，． 【小问2详解】 ， ， ，，， ， ， ，． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是该方程的两个根， ∴， ∴， 解得：或； 由（1）可知：， ∴． 21. 已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【详解】解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得k=-3； （2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2， y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 23. 在同一坐标系内，抛物线与直线相交于两点，若的坐标是． （1）求点的坐标； （2）连接，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，用待定系数法求函数解析式，联立方程求解交点，计算三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）首先，利用已知点A的坐标代入抛物线和直线方程，求出参数a和b的值，接着联立抛物线和直线方程，解出另一个交点B的坐标； （2）设直线与轴交于点C，求出点C的坐标，通过坐标法计算的面积即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线方程，得：， 解得，， 抛物线方程为 ， 将点代入直线方程，得：， 解得，， 直线方程为， 联立抛物线和直线方程： ， 解得，， ， 的坐标为， ， 当时，， 故B点坐标为； 【小问2详解】 如图，设直线与轴交于点C， 当时，， 点C的坐标为， ， 24. 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求． 【答案】（1）正方形， 理由：四边形是正方形，理由如下： ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于H， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 25. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． （1）方程__________（填是或不是）“差积方程”； （2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值． （3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【小问1详解】 解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； 【小问2详解】 解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； 【小问3详解】 解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市启秀中学2024−2025学年度第二学期单元练习 初二数学 一、选择题（共10小题30分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化成一般式，则得值是（ ） A. B. 7 C. D. 1 3. 已知是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ） A. D点 B. C点 C. B点 D. A点 7. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人都给“好评”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况 二、填空题（共8小题30分） 11. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是___________． 12. 在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为___________． 13. 一个不透明袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数是______． 14. 已知方程的两根分别为m、n，则的值为__． 15. 将抛物线向右平移3个单位后，对称轴是轴，那么的值是_______． 16. 已知二次函数的图象经过点，当时，的取值范围为___________ 17. 关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 18. 如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为_______． 三、解答题（共8小题90分） 19. 解方程 （1） （2） 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21. 已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 22. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 23. 在同一坐标系内，抛物线与直线相交于两点，若的坐标是． （1）求点的坐标； （2）连接，，，求的面积． 24. 如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求． 25. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． （1）方程__________（填是或不是）“差积方程”； （2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值． （3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $