12.1分式（第2课时）教学设计 2025－2026学年冀教版 数学八年级上册

第十二章 分式和分式方程 12.1分式 第2课时   一、教材分析 本节课是冀教版八年级数学教材中分式章节的重要内容，是在学生学习了分式的基本性质之后的第二课时.它是分式基本性质的具体运用，也是后续学习分式乘除法运算的核心基础，在整个分式知识体系中起着承上启下的关键作用.从知识的逻辑结构来看，通过对分式约分的学习，学生能够进一步理解分式的本质，体会分式与分数在运算规则上的相似性与联系，为更复杂的分式运算和方程求解做好铺垫.同时，约分过程中涉及到的因式分解等知识，也是对之前所学内容的复习与深化，有助于构建完整的数学知识网络.教材安排了丰富多样的例题，从分子分母是单项式的简单分式约分，到分子分母是多项式的较复杂分式约分.在例题讲解过程中，详细展示每一步的解题思路和依据，先分析如何确定公因式，再进行约分化简，引导学生掌握不同类型分式约分的技巧和步骤，突破重难点.   二、学情分析 学生在小学阶段已经熟练掌握了分数的约分，对约分的基本概念和方法有较为深刻的认识，这为学习分式的约分提供了良好的认知基础.在七年级，学生学习了因式分解，上节课又学习了分式的基本性质，这些知识储备使得学生在理解和掌握分式约分的原理和方法上具备了一定的条件.然而，学生在从分数约分过渡到分式约分的过程中，可能会在对分式中字母的理解和处理上遇到困难.特别是当分子分母为多项式时，如何准确地进行因式分解并找出公因式，对于部分学生来说是一个挑战.此外，在约分过程中，学生可能会出现粗心大意，忽略公因式或约分不彻底的情况.   三、学习目标 1.理解约分和最简分式的意义，能根据定义找出分式中分子与分母的公因式，并会约分. 2.理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值. 3.通过类比分数约分的过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养学生的类比推理能力、逻辑思维能力和运算能力. 4.在探究分式约分的过程中，让学生体会数学知识之间的内在联系和数学的简洁美，激发学生对数学学习的兴趣.   四、教学重难点 重点：理解约分和最简分式的意义，能根据定义找出分式中分子与分母的公因式，并会约分. 难点：理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值.   五、教学过程 · 复习回顾 思考：分式有意义的条件是什么，分式值为零的条件是什么？ 答：分式有意义的条件：分母(B)不为零，即B≠0. 分式为零的条件：分子(A)为零，分母(B)不为零，即A=0，B≠0 . 思考：分式的基本性质是什么？ 答：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变..其中，M是不等于0的整式. 做一做：利用分式性质填空： (1)，； (2)，. 答：(1)，； (2)，. 做一做：化简下列分数： (1) (2) 答：(1). (2) 思考： 答：分子分母先因数分解，再约掉公因数(依据分数的性质).最后的结果是一个最简分数. 思考：分式能约分吗?分数的约分方法能推广到分式上吗? 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师提出问题，带领学生回顾分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质，并通过简单的练习，复习分数约分的方法与依据. 设计意图：通过复习旧知，帮助学生回想分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质以及分数约分的方法，为类比引入分式的约分做好铺垫. · 探究新知 活动一：探究分式的约分 当时，分式能不能化简？如果能，那么化简的依据是什么，化简的结果又是什么？ 师生活动：教师提出问题，学生类比分数约分的方法与依据，先独立思考，再小组交流，并认真作答，师生共同归纳. 把分式中的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分. 特别提醒： (1)约分的关键是找出分式中的分子和分母的公因式； (2)分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变； (3)约分一定要彻底，即约分后分子和分母中不含公因式. 设计意图：引导学生类比分数约分的方法，通过对问题的讨论,归纳分式约分的定义及方法，充分发挥学生的小组合作精神,培养学生思维的严密性. 活动二：探究最简分式 在分式中，分子和分母的公因式为b+c，约去这个公因式，得到. 这个分式的分子和分母没有公因式. 师生活动：活动一将分式进行约分后得到.教师引导学生观察还有没有公因式，学生独立思考后，一起回答. 师给出最简分式的定义： 分子和分母都没有公因式的分式叫做最简分式. 师强调： 注意： (1)分子、分母必须是整式； (2)分子、分母没有公因式． 师指出：约分是为了把分式化为最简分式. 设计意图：通过观察约分后的分式，引出最简分式的概念，让学生体会数学知识之间的内在联系和数学的简洁美. · 应用新知 例1 约分： (1)； (2)； (3). 解： 师生活动：找三名同学板演，教师巡回指导，并利用小组评价机制进行打分. 师小结： 分式约分的步骤： 1.分解因式； 2.确定公因式； 3.约去公因式. 注：分式约分的结果应是最简分式.有时，分式约分的结果可能是整式. 设计意图：通过例1让学生熟练掌握分式约分的方法，安排学生板演便于教师及时发现学生在解题过程中出现的问题. 例2. 下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？ (1)； (2)； (3)； (4). 解：最简分式：；； 不是最简分式：；. ； . 师生活动：学生独立思考后举手作答，独立思考+1，举手作答+2. 师小结： 判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解. 设计意图：通过例2让学生掌握判断最简分式的方法. 例3. 当p=12，q=-8时，请分别用直接代入求值和化简后代入求值两种方法求分式的值，并比较哪种方法比较简单 解：直接代入法： . 化简后代入求值法： ， 当p=12，q=-8时，原式=. 师生活动：学生思考后，小组讨论，并对两种方法进行比较，不难得出：化简后代入求值比较简单. 师小结： 对一些较复杂的分式求值，应先约分化简，再代入具体数据求值. 设计意图：本题是对分式求值的考查，通过小组讨论，培养学生分析问题的能力，增强团队合作意识，突破本节课的难点. · 课堂练习 1.下列分式的约分是否正确?请把不正确的改正过来. (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1)正确； (2)不正确；； (3)不正确；； (4)正确. 2.约分. (1)； (2)； (3). 解：(1)； (2)； (3). 3.下列分式中，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？如果不是最简分式，请你将其化成最简分式. (1) ； (2)  ； (3) . 解：(1)是最简分式； (2)不是最简分式，约分：； (3)不是最简分式，约分： . 4.下列各式中，最简分式有(　　) . A.1个　 　B.2个　 　C.3个　 　D.4个 解：m＋n与有公因式m＋n，所以； ，故. 因此，最简分式为. 故选B. 5.先化简，再求值：，其中. 解：， 当时，原式=. 6.已知，求分式的值 解：设 ，则， 原式=. 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.   六、教学反思 在本次教学过程中，成功之处在于充分利用了学生已有的分数约分知识和因式分解、分式基本性质等基础，通过类比的方式引导学生自主探究分式约分的概念和方法，极大地调动了学生的学习积极性和主动性.小组合作学习的方式也让学生在交流讨论中深化了对知识的理解，锻炼了合作与表达能力. 然而，教学中也存在一些不足之处.在讲解分子分母为多项式的分式约分时，部分学生对因式分解的方法运用不够熟练，导致找公因式出现困难，这反映出在之前知识的巩固上还存在欠缺，应在课前加强相关复习.另外，在课堂练习环节，发现个别学生在约分过程中粗心大意，忽略符号变化和约分不彻底的问题，后续需要强化对学生计算习惯和细节的培养.在今后的教学中，要更加关注学生的个体差异，对于学习困难的学生及时给予辅导，优化教学方法，提升教学质量. 学科网（北京）股份有限公司 $$