12.1分式（第1课时）教学设计 2025－2026学年冀教版 数学八年级上册

第十二章 分式和分式方程 12.1分式 第1课时   一、教材分析 在冀教版八年级数学教材中，分式是数与代数领域的重要内容.从知识体系看，它是在学生学习了整式运算和因式分解后的自然延伸，是代数式知识的进一步拓展.分式与分数在形式和运算规则上有诸多相似性，通过类比分数学习分式，能加深学生对数学知识内在联系的理解.同时，分式也是后续学习函数、方程等知识的重要基础，其运算能力和对概念的理解，对解决更复杂数学问题至关重要. 教材从实际问题引入分式概念，让学生通过对具体情境中数量关系的分析，抽象出分式的形式，理解分式产生的必要性.在基本性质部分，通过与分数基本性质类比，引导学生探究得出分式的基本性质，体会类比的数学学习思想方法.   二、学情分析 学生在小学阶段已熟练掌握分数的相关知识，包括分数的基本性质、四则运算等，这为学习分式提供了良好的认知基础，他们能通过类比分数，初步理解分式的一些概念和运算规则.八年级学生的逻辑思维能力正在逐步发展，具备一定的自主探究和合作学习能力，但个体差异较大，部分学习能力较强的学生能够快速理解分式的抽象概念，通过自主探索和练习掌握运算技巧；而部分学习能力较弱的学生在理解分式概念时可能会遇到困难，对运算规则的应用也不够熟练，尤其在解决综合性问题时，难以灵活运用所学知识.此外，学生在数学语言表达和逻辑推理方面还有待提高，在课堂讨论和回答问题时，可能无法准确表达自己的思路和想法.   三、学习目标 1.了解分式的概念，分式有意义的条件，利用分式值为零求解未知数. 2.类比分数的学习，形成分式的概念并探索分式有意义的条件，从具体到抽象，从特殊到一般，体会类比的数学学习思想方法. 3.掌握分式的基本性质，会运用分式的基本性质进行变形. 4.通过具体问题的解决，从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，进一步培养符号感.   四、教学重难点 重点：了解分式的概念，分式有意义的条件，利用分式值为零求解未知数. 难点：掌握分式的基本性质，会运用分式的基本性质进行变形.   五、教学过程 · 本章引入 前面我们学习了整式及其相关运算，现实生活中，我们经常遇到下列问题： 小明跑1000m用时ts，他的平均速度 一项工程，甲队m天完成，平均每天 为多少? 完成的工作量是多少? 为解决此类问题，有必要引入分式. 在本章中，我们将类比分数、整式方程的学习过程，学习分式和最简分式的概念、分式的基本性质、分式的约分和通分、分式的有关运算、分式方程的有关概念及解法，并用分式方程解决一些简单的实际问题. 师生活动：教师通过生活中的实际问题，引入本章要学习的内容. 设计意图：学生带着目的去学习,避免走弯路，提高学习效率. · 情境导入 思考：一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少？ 答：. 思考：a(a<5)天完成的工程量是多少？ 答：. 思考：如果乙施工队b天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？ 答：. 思考：c(c<b)天完成的工程量是多少？ 答：. 思考：已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果A车的速度为n km/h，B车比A车每小时多行20 km，那么从甲地到乙地，A车所用的时间为多少？ 答：. 思考：B车所用的时间为多少？ 答：. 思考：像这样的代数式有什么特点呢？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师提出问题，引发学生思考并列出相关代数式. 设计意图：通过提问的方式引导学生列出相关代数式，为新知识的学习做好铺垫，同时，让学生感受到即将学习的新课在解决实际问题中的应用价值，提高了学生的学习兴趣和应用意识. · 探究新知 活动一：探究分式的定义 观察刚刚得到的代数式， ， 将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样的两类? 分母不含字母：. 分母含字母：. 师生活动：教师提出问题，学生通过观察各代数式的特点先独立思考，再小组交流，并认真作答. 师小结：一般地，我们把形如的代数式叫作分式(fraction).其中，A，B都是整式，且B含有字母.A叫作分式的分子，B叫作分式的分母. 特别提醒：分式的三要素： (1)形如的代数式； (2) A，B都为整式； (3)分母B含有字母 . 设计意图：引导学生通过观察、讨论、归纳,得出分式的特点，培养学生的观察能力和归纳能力;通过对问题的讨论,充分发挥学生的小组合作精神,培养学生思维的严密性. 活动二：探究分式有意义及分式值为零的条件 思考：回顾分数有意义的条件，想一想分式在满足什么条件下具有意义？ 分数有意义的条件：分母不为零. 教师提出问题：对于呢？有意义的条件是什么？ 学生思考后作答：分式有意义的条件：分母(B)不为零，即B≠0. 师强调： 注意：分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子是否为0无关. 思考：分式在满足分母不为零的条件下具有意义，那么分式在什么条件下取值为零呢？ 师生活动：学生继续类比分数的知识进行思考，师生共同归纳： 分式有意义的条件：分母(B)不为零，即B≠0 分式为零的条件：分子(A)为零，分母(B)不为零，即A=0，B≠0 . 师强调： 注意：分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的.所以分式的值为0的条件：A=0且B≠0，二者缺一不可. 设计意图：通过回顾分数的相关知识，让学生类比得出分式有意义的条件以及分式为0的条件，培养学生类比的数学思想. 活动三：探究分式的基本性质 问题：完成下题，回顾分数的基本性质. 师生活动：教师以填空题的形式提出问题，学生借助问题回顾分数的基本性质. 分数的基本性质：分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的数,分数的值不变. 类比分数的这种性质，思考：分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值会怎样? 师生活动：学生类比分数的基本性质，总结得出分式的基本性质： 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. .其中，M是不等于0的整式. 师强调： 1.B≠0是已知中隐含的条件，M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用此性质时，必须重点强调M≠0这个前提. 2.应用性质时，要理解“同”的含义：一是要同时进行乘法(或除法)运算；二是乘(或除以)的对象必须是同一个不等于0的整式. 设计意图：通过回顾分数的基本性质，让学生类比得出分式的基本性质，从具体到抽象，从特殊到一般，体会类比的思想方法在数学学习中的重要性. 做一做：当时，分式相等吗？还有与它们相等的分式吗？如果有，请写出两个这样的分式. 解：相等，∵，， ∴. 有，例如：. 师生活动：学生独立思考，举手作答. 设计意图：及时巩固分式的基本性质，突破本节课的难点. · 应用新知 例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式. 解：都是整式； 因为的分母都含有字母，所以它们都是分式. 师生活动：教师引导学生利用分式的定义进行判断，学生认真思考+1，举手作答+2. 师小结： 1.分式可看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用. 2.判断一个式子是否是分式，一要具有的形式；二要A，B都是整式；三要B中含有字母；并且不能将原式子进行变形后再判断，而必须按照本来的“面目” 进行判断. 如：是分式. 设计意图：通过例1让学生熟练掌握分式的定义，清楚判断分式的方法. 例2. 在什么情况下，下列各分式有意义？ . 解：要使有意义，需满足x≠0； 要使有意义，需满足3x+2≠0，∴； 要使有意义，需满足x−y≠0，∴x≠y. 师生活动：选三名学生板演，教师巡回指导，最后利用小组评价机制进行加分. 师小结： 求分式有意义时字母的取值范围，一般是根据分母不等于0构造不等式，求使分式的分母不等于零的字母的取值范围，与分子的取值无关. 设计意图：通过学生板演，及时发现学生的问题,突出本节课的重点. 例3. 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2). 解：(1)等号左边的分子、分母没有出现c，右边有c，说明左边分式的分子、分母同乘c(c≠0)得到右边分式； (2)等号左边的分式中分子、分母都含有x，题中隐含x≠0 ，而右边分母不含有x，说明左边分式的分子、分母同除以x得到右边分式. 师生活动：学生思考后，小组讨论，各组选派小组代表作答.认真思考+1；合作交流+2；举手作答+2. 师小结： 1.分式的性质中，B≠0是已知中隐含的条件，M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用此性质时，必须重点强调M≠0这个前提. 2. 应用性质时，要注意： (1)要同时进行“乘法”( 或“除法”)运算； (2)“乘”( 或“除”)以的对象必须是同一个不等于0的整式. 3. 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式. 设计意图：本题是对分式基本性质的考查，通过小组讨论，培养学生分析问题的能力，增强团队合作意识，突破本节课的难点. · 课堂练习 1.当x取何值时，下列分式有意义？ . 解：要使有意义，需满足x−1≠0，即x≠1； 要使有意义，需满足2x+3≠0，∴x≠−. 2.请写出一个分式，使其只含有字母a，且无论a取何数分式都有意义. 解：分式有意义的条件是分母不为零.题目要求无论a取何数分式都有意义，因此需要构造一个无论a取何数，分母表达式恒不为0的分式. 如：. 3.判断下面的语句是否正确，并说明理由. (1)分式与相等. (2)分式与相等. (3)分式与相等. (4)分式与相等. 解：(1)正确；因为，所以分式与相等. (2)错误；因为，所以分式与不相等. (3)正确；因为，所以分式与相等. (4)正确；因为题目隐含，所以分式与相等. 4.若分式 的值为零，则x的值为(　　) 　　 　 　　　 解：由，得 x＝±1. 当x＝1时，x－1＝0，故x＝1不合题意； 当x＝－1时，x－1＝－2≠0， 所以x＝－1时分式的值为零. 故选C. 5.若a,b为有理数，且 ，求3a－b的值. 解：因为 ， 所以， 解得， 所以，3a－b=6-4=2. 6.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． (1) ； (2). 解：(1). (2). 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系.   六、教学反思 在本节课的教学中，大量运用类比方法，将分式与分数进行对比.例如在讲解分式的基本性质和运算规则时，引导学生回忆分数的相关知识，通过类比，学生能快速理解分式的新知识，降低了学习难度，提高了学习效率，同时也让学生体会到数学知识的连贯性和相似性，增强了他们对数学学习的信心. 本节课注重实践应用，通过引入实际生活中的问题，如工程问题、行程问题等，让学生感受到分式在解决实际问题中的应用价值，提高了学生的学习兴趣和应用意识.  部分学生概念理解不深，尽管采用多种方式讲解分式概念，但仍有部分学生对分式的定义、分式有意义的条件理解不够深刻，在判断一个代数式是否为分式以及确定分式中字母的取值范围时容易出错.例如，在判断一些复杂代数式时，学生不能准确依据分式定义进行判断.在课堂练习设计上，基础题与拔高题梯度设置合理，课堂时间分配上，还需稍作调整，确保每个教学环节都能顺利完成，让学生有足够的时间进行思考、练习和总结. 学科网（北京）股份有限公司 $$