精品解析：河南省开封高级中学钱学森实验班2025届高三下学期最后押题卷（1）数学试卷

2025届钱学森实验班高三下学期第十八测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用，即可求解. 【详解】，故. 故选：B. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，从而可求解. 【详解】因为，则， 所以， 故，故A正确. 故选：A． 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合，再根据集合的交集、并集、补集的定义分别分析各选项. 【详解】解不等式，可得；所以集合. 对于选项A，已知集合，集合，所以，故选项A正确. 对于选项B，已知集合，集合，所以，故选项B错误. 对于选项C， 已知集合，所以或. 显然中的元素不都属于集合，比如的部分，所以，故选项C错误. 对于选项D，由前面分析可知，故选项D错误. 故选：A. 4. 设若，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的解析式根据先求出参数的值，然后可求出答案. 【详解】当时，，显然无解. 当时，，显然无解. 当，即时，，解得 所以 故选：A 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将给定等式化成正切并求出正切值，再用二倍角正切公式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：D 6. 小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ） A. 144 B. 120 C. 84 D. 116 【答案】B 【解析】 【分析】分选取的数字只有一个1和有两个1两种情况讨论，即可得解. 【详解】若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种； 若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种. 故共有种不同的设置方法. 故选：B. 7. 已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的对称性，确定的值，利用辅助角公式把函数化成的形式，再利用数形结合法，观察曲线与在的交点个数. 【详解】因为恒成立，所以为的一条对称轴， 那么，所以， 解得，， 与的图象如图所示： 由图可知，曲线与的交点个数为4． 故选：B 8. 莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现. 就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ） A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cm D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：根据题意，想想小虫行进的情况，可以判断AD；设想从白线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进，想想其前进行走情况，可以推测出剪开之后的形状，进而判定BC. 解法二：可以用平面图示法理解转化分析. 【详解】 解法一 对于选项 A：一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面走 30 cm ，则会发现小虫来到“另一面”，需要在继续前进30cm，才能回到原处，也就是说至少要走60cm才能回到原处，故 A 错误; 对于选项 B：设想从白线的一侧某处出发，并且永远在这一侧，向着一个方向前进，走完30cm到达了背面的白线的对侧，需要再前进30cm刚好回到原点，因此剪开后得到的仍然是一个环带，没有分成两部分，把莫比乌斯带沿中线剪开后不会分成两个独立部分，而会得到一个长度加倍且360°扭转对接的环带，故 B 错误; 对于选项 C：沿中线剪开后得到的环带长是 60 cm，其边缘周长是 60cm2＝120 cm，故 C 正确; 对于选项 D：实际走一走，可以看出小虫在不跨越边缘的情况下可以爬遍整个曲面，故 D 错误. 故选：C. 解法二 如图1标记原纸带的正面的四个角,起始端线和终止端线的中点分别记做, 其背面的相应点依次记做小写的字母表示相应的线段. 图2是第一次扭转180°粘接后的莫比乌斯环的两面沿剪断后展开图，图3是从中间白线剪开后的纸环沿剪断后的展开图， 从图可以看出，小虫在不跨越它的边缘的情况下沿表面至少要走60cm才能回到原处，此时也正好爬遍整个曲面； 沿中间线剪开后的纸带是如图3所示的矩形，扭转2个180°的环，其周长为矩形的上下两边线的和，总长为120cm； 故选：C. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点B作的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线 D. 以为直径的圆与相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，即可根据焦点弦的公式求解A，根据锐角三角函数，结合抛物线的性质可得，，即可求解B,联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合斜率公式即可求解C，利用抛物线的定义，结合相切的性质即可求解D. 【详解】对于A：设．当时，由，得，故， 由于直线过点，故，A正确； 对于B：如图，不妨设位于第一象限，设直线倾斜角为， 由，故， 同理，故，B错误； 对于C：，联立，得， 所以，则． 因为，所以，所以三点共线，所以C正确； 对于D：由题意知是抛物线的准线，过点A作垂直于点， 过点B作垂直于点，取的中点M， 过点M作垂直于点，所以， 所以以为直径的圆与准线相切，D正确， 故选：ACD． 10. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 关于中心对称 C. 是周期函数 D. 的解析式可能为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意赋值即可；对于C：根据题意结合偶函数以及周期性的定义分析判断；对于B：举反例说明即可；对于D：将代入题意关系式检验即可. 【详解】由，且函数的定义域为， 对于选项A：令，，可得， 且，可得，故A正确； 对于选项C：令，则， 则，即，可知为偶函数， 令，则， 可知，， 可得，则， 所以，可知周期为6，故C正确； 对于选项B：因为由于为偶函数且周期为6， 则，不满足， 所以不关于中心对称，故B错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且， 即符合题意，所以的解析式可能为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 11. 记为数列的前项和，为的前项积，且满足，，则（ ） A. 是中的最小项 B. C. 存在，使得，，成等差数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据构造函数，利用导函数判断A，根据题意求出的范围判断B，利用反证法假设存在判断C，对于D，先证明，故可判断和的大小. 【详解】选项A，已知，且， 当时，，因为，所以， 对于函数，，其导数， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. 因为，故. 当时，由可得， 故由前述函数的性质可得， 又因为，是中的最小项，故A正确； 由A的分析可得函数在上单调递减. 又因为，所以， 而，设， 则，故在为减函数， 故，故即，故B正确. 选项C，假设存在，使得，，成等差数列， 则，由可得， 所以，， 故， 故 ， 若，则，依次有， 依次有，而，故，矛盾，故， 所以，而，故，矛盾， 故C错误. 选项D，设，， 则， 当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 故即在上恒成立， 故在上恒成立，即在上恒成立， 而，故， 故当时， 而，故， 当时，，故成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率化简变形即可求出渐近线的斜率得解. 【详解】因为， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，且，则__________. 【答案】-4 【解析】 【分析】由题意首先得，其次当时，可以通过的关系得数列是首项为-2，公比为-1的等比数列，由此即可进一步求解. 【详解】当时，，解得. 当时，，两式相减得， 因为，所以，所以， 所以数列是首项为-2，公比为-1的等比数列， 所以，即数列是， 故，所以. 故答案为： 14. 已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正六棱锥的外接球的半径为、内切球的半径为，由题意及正六棱锥的性质相继求出、正六棱锥的底面积、侧面面积，再利用等体积法求得，设正方体的最大棱长为，此时正六棱锥的内切球是正方体的外接球，由此可得结果. 【详解】设外接球的半径为，则，． 设正六棱锥的底面边长为，则，， 即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2． 正六棱锥的底面积． 侧面面积． 正六棱锥的体积． 设正六棱锥的内切球的半径为， 则． ． 设正方体的棱长为，则，． 正方体的棱长的最大值为． 故答案为：. 四、解答题.本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面. （1）证明：. （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明： ， ，， 平面，平面，且平面平面， ， 为的中点，，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，， 又，，平面， 平面，平面， . （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理及勾股定理可得，由平面可得，由平面平面可得平面，可得，进而可得平面，进而求证即可； （2）方法一：首先根据几何关系，证明，再以点为原点建立空间直角坐标系，进而根据空间向量求解即可； 方法二：作，垂足为，连接，分析可得为二面角的平面角，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，中，为的中点，则， 又，所以，为公共边，得， 则，则是等边三角形， 由（1）知，则，即. （方法一）以为坐标原点，垂直于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则. ，则， 故二面角的正弦值为. （方法二）易得，又，为公共边， 则， 又，所以平面， 则，易得. 在直角中，作，垂足为，连接， 易知，则为二面角的平面角. 在直角中，由等面积法易求得， 则在中，， 则， 故二面角的正弦值为. 16. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程求出的得解； （2）法一，设点，由结合点在椭圆上求出点的轨迹方程，由两点间距离公式，利用转化为二次函数求最值，得解；法二，由，解得，将用表示，利用椭圆范围求出答案. 【小问1详解】 由题意可设椭圆，且 所以，解得 所以的方程为. 【小问2详解】 解法一：设点，所以， 由，得，解得. 又，所以，化解得， 所以，由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，则，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 解法二：设点，所以， 由，得，解得. 由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 17. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且； ①求CD的长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由余弦定理可得，，又，结合题目数据可得，最后在中，由余弦定理可得答案；②如图，以为原点，建立平面直角坐标系，由可得M坐标，然后由数量积坐标表示可得答案； （2）由余弦定理可得，结合及三角函数值域可得，据此可得答案. 【小问1详解】 ①如图，在中，，，， 由余弦定理可得， 注意到，所以， 又，得， 即， 又因为四边形ABCD为凸四边形，，故， 则在中，由余弦定理可得，所以. ②由①，如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 所以，，，D，则. 设，由， 得， 则 则. 【小问2详解】 在三角形和三角形中，由余弦定理得， 则， 四边形面积为：， 即，所以 ， 当且仅当，即，时，取最小值， 则， 所以四边形面积的最大值为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在常数，使的图象关于直线对称？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）若，函数在上单调递增，求的取值集合. （参考数据：） 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由定义域及的图象关于直线对称可求，进而，解方程可得到； （3）构造函数，利用导数研究的单调性，利用分类讨论的方法即可. 【小问1详解】 当时，，得 曲线在点处的切线方程为，即 【小问2详解】 的定义域是，且的图象关于直线对称， 对任意的成立， 即， 化简整理得， 解得.即存在，使的图象关于直线对称. 【小问3详解】 设，则. 在上单调递增，对任意的恒成立， 即，且. ①当时，，即在上单调递增，.由，得. ②当时，当时，单调递减；当时，单调递增， 设， 易知在上单调递减. 存在唯一的，使. 当时，单调递增，；当时，单调递减 存在唯一的，使. 令，解得 由①②，得的取值集合为. 19. 甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．设投掷次后，球在乙手中的概率为． （1）求和； （2）求数列的通项； （3）设，数列的前项和为，若，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： ,故， 故， 所以，故， 记，其前项和为， 所以， 故， 相减可得， 故， 故， 故， 因此，得证. 【解析】 【分析】（1）根据传球游戏的规则，再根据独立事件概率公式，求解概率， （2）首先题意，可得关于数列的递推公式，，再通过构造求数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果，求，利用裂项可得，求和可得，并利用放缩法得，利用错位相减法即可证明不等式. 【小问1详解】 当投掷2次骰子后，球在乙手中，共有1种情况：甲甲乙，其概率为，故， 当投掷3次骰子后，球在乙手中，共有3种情况： ①：甲乙甲乙，其概率为 ②：甲乙丙乙，其概率为 ③：甲甲甲乙，其概率为 所以投掷3次后，球在乙手中的概率为. 【小问2详解】 由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有． 变形为． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以数列的通项公式． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解决概率与数列知识点交叉题的方法，一般是从概率问题中寻求相关概率间的递推关系，利用转化思想将其化归为等差或等比数列求解；对于利用数列的通项公式证明不等式时，常用到裂项相消法和错位相减法求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届钱学森实验班高三下学期第十八测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 设若，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ） A. 144 B. 120 C. 84 D. 116 7. 已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现. 就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ） A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cm D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与抛物线交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点B作的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线 D. 以为直径的圆与相切 10. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 关于中心对称 C. 是周期函数 D. 的解析式可能为 11. 记为数列的前项和，为的前项积，且满足，，则（ ） A. 是中的最小项 B. C. 存在，使得，，成等差数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________． 13. 已知数列的前项和为，且，则__________. 14. 已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______． 四、解答题.本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面. （1）证明：. （2）若，求二面角的正弦值. 16. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 17. 定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，. （1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且； ①求CD的长； ②若，求的值. （2）若，求四边形ABCD面积的最大值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在常数，使的图象关于直线对称？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）若，函数在上单调递增，求的取值集合. （参考数据：） 19. 甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．设投掷次后，球在乙手中的概率为． （1）求和； （2）求数列的通项； （3）设，数列的前项和为，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $