精品解析：山东省临沂市蒙阴县第三中学2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

蒙阴三中八年级（下）数学教学诊断试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x≥﹣2 B. x＞0 C. x≥﹣2且x≠0 D. x＞﹣2且x≠0 2. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，菱形的一边中点M到O的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移3个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 已知四边形的四条边长分别为，，，，其中，为一组对边的边长，且满足，则四边形一定是（ ） A. 任意四边形 B. 平行四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 无法确定 8. 如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，，则的值为______． 12. 如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点出发，经轴上的点反射，沿射线方向反射出去，则反射光线所在的直线的函数表达式是______． 13. 在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴所围成的三角形的面积是______． 14. 如图，四边形和四边形均为正方形，点D为的中点，若，连接，则的长为______． 15. 在同一条道路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发，图中的折线表示甲乙两车之间的路程与行驶时间的函数关系式． ①乙车先出发；②甲车的速度是；③乙车出发后两车相遇；④甲车到地比乙车到地晩，上述结论正确的是______．（填写序号） 16. 如图放置的,，，…都是边长为2的等边三角形，边在y轴上点，，，…都在直线上，则点的坐标是______． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端A到地面的距离的长． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 操作示意图 操作数据 起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点B到的距离米 操作评价 19. 如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 20. 如图，正方形的对角线，相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若平分，，求的长． 21. “靠山吃山，靠水吃水”．紧邻云台山的大学生王林暑期借文旅热潮的东风，在景区附近售卖纪念品，购买了A，B两种纪念品共140件，每件纪念品的批发价和零售价如下表所示： 批发价/元 零售价/元 A 10 25 B 8 20 （1）若王林恰好用完预计的进货款1280元，则应购进A，B两种纪念品各多少件? （2）若A纪念品的进货量不超过B纪念品的倍，应怎样进货才能获得最大利润?利润最多为多少元? 22. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）直线和直线的解析式； （2）为上一动点，连接，若恰好平分，求点的坐标； （3）为x轴上一点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求的面积． 23. 综合与实践： 【提出问题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，， ， ， 又、， ______＋______， 化简整理得_______； 【类比探究】 （2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蒙阴三中八年级（下）数学教学诊断试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x≥﹣2 B. x＞0 C. x≥﹣2且x≠0 D. x＞﹣2且x≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件进行求解即可得． 【详解】解：∵分子为二次根式， ∴， 解得：， ∵x在分母上， ∴， ∴且， 故选：C． 【点睛】题目主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题关键． 2. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则正确进行化简．由二次根式的性质进行化简，然后对无理数进行估算，即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴的值应在2和3之间． 故选：B． 3. 小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定，全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据菱形的判定方法逐一分析即可； 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案中， 第一个与第三个四边形的四条边都相等， ∴第一个与第三个图形是菱形， 如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 故选D 4. 如图，菱形的一边中点M到O的距离为，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，由三角形的中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵点M是的中点，则是的中位线 ∴， ∴菱形的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的对角线互相平分是解题的关键． 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移3个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论正确． 故选：D． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定方法即可完成． 【详解】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原命题是假命题，本选项不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、一个角为且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题，本选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查特殊四边形的判定，真假命题的判断．掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． 7. 已知四边形的四条边长分别为，，，，其中，为一组对边的边长，且满足，则四边形一定是（ ） A. 任意四边形 B. 平行四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，算术平方根的非负性，完全平方公式．先把原式变形为，再根据非负数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该四边形为平行四边形． 故选：B 8. 如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与x轴交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据图象，可以得到当时，，y随x的增大而减小，即可得到不等式的解集． 【详解】解：由图象可得， 当时，，y随x的增大而减小， ∴不等式的解集为， 故选：A． 9. 如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点F作，交于点G，可证明，可得，，再根据平行四边形的性质可得，，从而得到四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：A 10. 如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，求出，可得，，证明四边形为矩形，可得，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，即可得出当最小时，也最小，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当最小时，也最小， ∵当点与点重合时，最小，此时， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，代数式求值，解题的关键是灵活运用因式分解来简化计算．先利用提公因式法把进行因式分解，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 12. 如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点出发，经轴上的点反射，沿射线方向反射出去，则反射光线所在的直线的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式的应用．设直线与y轴的交点为E，直线与y轴的交点为F，先求直线的解析式，然后求直线与y轴的交点E的坐标，根据镜面知：E和直线与y轴的交点F关于x轴对称，则可求F的坐标，然后根据待定系数法求反射光线所在的直线的函数表达式即可． 【详解】解：设直线与y轴的交点为E，直线与y轴的交点为F， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴直线与y轴的交点E的坐标为， 根据镜面知：E和F关于x轴对称， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中直线与x轴、y轴所围成的三角形的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A和B的坐标得到和的长，即可求解. 【详解】解：设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的面积，解题的关键在于能够准确求出一次函数与坐标轴的交点坐标. 14. 如图，四边形和四边形均为正方形，点D为的中点，若，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，让绕点顺时针旋转，此时与重合，得到，连接，根据旋转的性质得到，再证明，可得三点共线，根据三线合一得到的值，最后利用角度的等量转换得到，再根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：如图，连接，让绕点顺时针旋转，此时与重合，得到，连接， 四边形和四边形均为正方形， ， 根据旋转的性质，可得，，， ， ， ， ， ， ， 可得三点共线， ， ， 点D为的中点， ， 设，则， 根据勾股定理可得，， 即， 解得（舍去负值）， ，， ， ， ， ， , 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键． 15. 在同一条道路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发，图中的折线表示甲乙两车之间的路程与行驶时间的函数关系式． ①乙车先出发；②甲车的速度是；③乙车出发后两车相遇；④甲车到地比乙车到地晩，上述结论正确的是______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，逐项判断各结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可知， 乙先出发的时间为，故①正确； 乙的速度为， ∴乙从地到地的时间为：， ∴甲车的速度为：，故②正确； 设乙出发小时，两车相遇，， 解得，， 即乙出发后两车相遇，故③正确； 甲到地比乙到地晚，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 16. 如图放置的,，，…都是边长为2的等边三角形，边在y轴上点，，，…都在直线上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合等边三角形的性质和一次函数的性质可分别求出，， ，(，…，，由此即可求解． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，且边在y轴上， ∴，， ∵在直线上， ∴将代入，得， 解得：， ∴． 又∵，且轴， ∴． 同理， ∴将代入，得， 解得：， ∴． ∴． 同理可求：，，…，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数，等边三角形的性质，点的坐标规律，理解题意结合一次函数的图象与正三角形的特点通过计算得出点的坐标，得到点的坐标规律是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先计算乘方、再算乘除，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： 18. 安阳某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离，下面是他们设计的项目课题，请你根据下面的表格计算：吊车起重臂顶端A到地面的距离的长． 项目名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 操作示意图 操作数据 起重臂米，点B到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点B到的距离米 操作评价 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正确地识别图形是解题的关键．中，根据勾股定理求出得到，于是得到结论． 【详解】解：在中， 由勾股定理得， 根据题意得：米， 米， 答：点到地面的距离的长为米． 19. 如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2） 矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，正方形的对角线，相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若平分，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判断和性质和角平分线定理： （1）证明，即可得到； （2）过点E作于点P，根据角平分线定理得到，从而得到，再由是等腰直角三角形，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点P， ∵四边形是正方形，， ∴， ， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 21. “靠山吃山，靠水吃水”．紧邻云台山的大学生王林暑期借文旅热潮的东风，在景区附近售卖纪念品，购买了A，B两种纪念品共140件，每件纪念品的批发价和零售价如下表所示： 批发价/元 零售价/元 A 10 25 B 8 20 （1）若王林恰好用完预计的进货款1280元，则应购进A，B两种纪念品各多少件? （2）若A纪念品的进货量不超过B纪念品的倍，应怎样进货才能获得最大利润?利润最多为多少元? 【答案】（1）王林购进A纪念品80件，B纪念品60件． （2）购进A纪念品100件，B纪念品40件获得最大利润；利润最多为1980元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一次函数的应用， （1）设王林购进A纪念品x件，则购进B纪念品件，根据该校购进购进A，B两种纪念品140件且共花费1280元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设王林购进A纪念品a件，B纪念品件，获得利润y元，根据A纪念品的进货量不超过B纪念品的倍，求出，再根据利润=售价-进价，得出利润y关于a的一次函数，由函数的增减性求出利润的最大值． 【小问1详解】 解：设王林购进A纪念品x件，则购进B纪念品件． 根据题意，得， 解得． ． 答：王林购进A纪念品80件，B纪念品60件．（4分） 【小问2详解】 解：设王林购进A纪念品a件，B纪念品件，获得利润y元 根据题意，得， 解得． 又． ∵y是关于a的一次函数，， ∴y随a的增大而增大． 当a取最大值100时，y有最大值， 此时，（件）． （元）． 答：购进A纪念品100件，B纪念品40件获得最大利润，利润最多为1980元． 22. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）直线和直线的解析式； （2）为上一动点，连接，若恰好平分，求点的坐标； （3）为x轴上一点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求的面积． 【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式； （2）根据平分，得出直线为一、三象限夹角的平分线，联立，求出，即可得出点M的坐标； （3）求出点C的坐标为，设点N的坐标为，根据是以为斜边的等腰直角三角形，得出，根据两点间距离公式可得，求出，得出． 【小问1详解】 解：把分别代入直线和直线的解析式得： ，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴直线为一、三象限夹角的平分线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点M的坐标为； 【小问3详解】 解：把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， 设点N的坐标为， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求出一次函数解析式，求两条直线的交点坐标，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 23. 综合与实践： 【提出问题】在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，， ， ， 又、， ______＋______， 化简整理得_______； 【类比探究】 （2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，，证明， 得，，根据勾股定理得， ，继而得出的值即可； （3）由（2）可得得出，延长，过点A作于点G，过点作于点H，连接，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：；；． （），理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴； （）∵四边形是平行四边形，，，， ∴由（）可得 ∴ 解得：（负值舍去）， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， 如图所示，延长，过点A作于点G，过点作于点H，连接， ∵分别为的中点， ∴，， 设，则， 在中根据勾股定理得：， 在中根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $