22.3 实际问题与二次函数 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第二单元 第一课时 抛掷问题与几何图形最值 1)会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值． 2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 学习目标 复习巩固 探究新知 知识归纳 典例分析 针对训练 探究新知 知识归纳 典例分析 直击中考 归纳小结 布置作业 针对训练 目录 [问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？ 1）y=6x2+12x 2）y=-4x2+8x-10 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y=6x2+12x 开口向上 x=-1 （-1，-6） 最小值y=-6 y=-4x2+8x-10 开口向下 x=1 （1，-6） 最大值y=-6 复习巩固 【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 【分析】画出函数的图像h=30t-5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 。 探究新知 探究新知 【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 因此，当t=-=-=3时， h有最大值。 也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m。 探究新知 探究新知 [问题]如何求出二次函数y=ax2+bx+c(a) 的最小(大)值？ == = = 一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线 y = ax 2 + bx + c (a) 的顶点是最低(高) 点， 当x= - 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小(大) 值y= . 探究新知 探究新知 [问题]一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图． （1）求出手点离地面的高度． （2）求铅球推出的水平距离． （3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4． （1）把x=0代入得：； 答：出手点离地面的高度米              （2）， 解得 ∴铅球推出的水平距离为10米                                    探究新知 探究新知 [问题]一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图． （1）求出手点离地面的高度． （2）求铅球推出的水平距离． （3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4． （3）把y=4代入，得， 化简得，方程无解， ∴铅球的行进高度不能达到4米． 探究新知 探究新知 1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形. 2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3.选用适当的函数解析式求解. 4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题. 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 解决问题 实际问题 [问题]简述利用二次函数解决实际问题的步骤？ 知识归纳 知识归纳 典例1．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（　　） A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是2m 【详解】解：A.∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5． ∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5，∴a=﹣，∴y=﹣x2+3.5．故本选项正确； B.由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误； C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误； D.设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，∴当x=﹣2.5时， h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．故本选项错误．故选A． 典例分析 典例分析 1 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=-x2+3x+1的一部分，如图所示． 求演员弹跳离地面的最大高度； 已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． (1)y=- x2+3x+1= - + ∵- ＜0，∴函数的最大值是． 答：演员弹跳的最大高度是米． (2)当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4， 所以这次表演成功． 针对训练 针对训练 2．竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（       ） A． B． C． D． 【详解】解：依题意得：=，=， 把=，=代入得 当时， 故小球达到的离地面的最大高度为： 故选：C 针对训练 针对训练 3 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列结论： ①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5 ； ③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1， ∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误， ∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确， ∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确， ∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选B． 针对训练 针对训练 4．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米． 【详解】解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点，点，代入，得： ，解得．∴， 当时，，解得，（不符合题意，舍去）． ∴该学生推铅球的成绩为10m．故答案为：10． 针对训练 针对训练 5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　　） A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界 C．球会过球网并会出界 D．无法确定 【详解】根据题意,将点A(0,2)代入 得：36a+2.6=2，解得：   ∴y与x的关系式为 当x=9时,   ∴球能过球网， 当x=18时,   ∴球会出界. 故选C. 针对训练 针对训练 【问题】用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多少时，场地的面积S最大，最大面积是多少？ 矩形区域 x x 根据题意列方程：S=x(30-x) 整理后得：S=(0<x<30) 当x=-=15时，S= =225 ㎡ 当矩形一边长为15m时，场地的面积取最大值，且最大值为225 ㎡ 探究新知 探究新知 【问题】李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【详解】解：（1）设其中一段的长度为xcm，两个正方形面积之和为s cm2， 则，即 (其中0<x<40）， 当s=58时，，解得，， ∴应将之剪成12cm和28cm的两段； 探究新知 探究新知 【问题】李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． （2）两正方形面积之和为48时，， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解 也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确 探究新知 探究新知 [问题]简述利用二次函数解决面积最值的方法？ ①找好自变量； ②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式； ③利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 知识归纳 知识归纳 典例2 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 A B C D x x x x 24-4x 1）S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6） 2）当x=-=3时，= = 36 ㎡ 3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤8 ∴ 4≤x<6 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米 典例分析 典例分析 1 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为S的长方形，S的值不可能为(　　) A．20 B．40 C．100 D．120 【解析】设该长方形的长为xcm，则宽为（20-x）cm， 依题意，得x（20-x）=S， 整理，得-20x+S=0， ∵△=400-4S≥0， 解得S≤100，即面积≤100, 所以D选项中120不符合.故选D 针对训练 针对训练 2 用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别是多少？ 设长为x，则宽为，则S=，即S=， 要使做成的窗框的透光面积最大， 则x=-= m，于是宽为=1m， 所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m x 针对训练 针对训练 3．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m， 根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45， 当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当x=45时，100﹣2x=10， 答：AD的长为10m； 针对训练 针对训练 3．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏． （1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值． 【详解】（2）设AD=xm， ∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250， 当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250； 当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2， 综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2． 针对训练 针对训练 1．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得36a+3=0，解得a=， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，，∴球不能射进球门； 针对训练 直击中考 1．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点（0，2.25）代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 针对训练 直击中考 2．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴解得∶a= ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 针对训练 直击中考 2．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． （2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数， 当y=0时，有 ∴，解得∶， (舍去)， ∵>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分． 针对训练 直击中考 3．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【详解】（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为米， ∴， ∴当x=60时，y有最大值是1200， 此时，宽为（米） 答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米． 知识归纳 知识归纳 3．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ （2）解：设种植牡丹的面积为a平方米， 则种植芍药的面积为平方米， 由题意可得 解得：， 即牡丹最多种植700平方米，（株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． 知识归纳 知识归纳 1.如何求二次函数的最小(大)值？如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？ 2.在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？ 归纳小结 归纳小结 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 归纳小结 归纳小结 P51~52:习题22.3 第1、4、5题 布置作业 布置作业 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第二单元 第二课时 利润最值问题与拱桥问题 1)会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值． 2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 学习目标 复习巩固 探究新知 知识归纳 典例分析 针对训练 探究新知 知识归纳 典例分析 直击中考 归纳小结 布置作业 针对训练 目录 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 复习巩固 【问题】某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问： 问题一：题中调整价格的方式有哪些？ 问题二：如何表示售价、进价、销售数量与总利润之间的关系？ 涨价和降价 总利润=（售价-成本） ×销售数量=每件产品利润×销售数量 探究新知 探究新知 【问题】 某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问： 问题三：如何定价才能使每周利润最大化？ 【销售最大利润问题关键】通过售价与利润关系得到二次函数的关系式，根据二次函数最值解决利润最值问题 1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖______件，实际卖出_____________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本____________________元，因此周利润合计为: y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x) =-10x2+100x+6000 =+6250 (0≤x≤30) 当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元 10x 300-10x 60+x (60+x)(300-10x) 40×(300-10x) 探究新知 探究新知 【问题】某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问： 问题三：如何定价才能使每周利润最大化？ 2）设每件降价a元，则此时每星期多卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本______________元，因此周利润合计为: 20a 300+20a 60-a (60-a)(300+20a) 40×(300+20a) y=(60-a)(300+20a)-40×(300+20a) =-20a2+100a+6000 =+6125 (0≤a≤20) 当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元 探究新知 探究新知 【问题】某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问： 问题三：如何定价才能使每周利润最大化？ 当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元。 当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元。 当产品售价60元，利润6000元。 综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元 探究新知 探究新知 【详解】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）] =（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500， ∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）； （2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500， ∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下． ∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80， ∴当x=80时，y最大值=4500； 【问题】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 探究新知 探究新知 （3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000， 解得x1=70，x2=90． ∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元． 【问题】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 探究新知 探究新知 [问题]简述利用二次函数解决利润最值的方法？ 巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 知识归纳 知识归纳 例题1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元． （1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式； （2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式； （3）问如何定价才能使利润最大？  解：（1）y1=（60+x-40）（300-8x）=-8x2+140x+6000 =-8（x-8.75）2 + 6612.5 ， （2）y2=（60-x-40）（300+12x）=-12x2-60x+6000 =-12（x+2.5）2+6075 ， （3）当售价定为68.75时，利润才能达到最大值6612.5． 典例分析 典例分析 解：1）设此一次函数关系式为，则 解得，，故一次函数的关系式为． 2） 设所获利润为元，则 所以产品的销售价应定为 25 元， 此时每日的销售利润为 225 元； 1 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：已知日销售量y是售价x的一次函数． （1）直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？ 针对训练 针对训练 1 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：已知日销售量y是售价x的一次函数． （3）若日销售利润不低于125元，请直接写出售价的取值范围． 3）根据题意，可得， 解得：． 答：售价的取值范围为：． 针对训练 针对训练 2 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b. 把(22，36)与(24，32)代入，得 ，解得 ∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）. 针对训练 针对训练 2 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150. 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． 针对训练 针对训练 2 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ (3)根据题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200. ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 针对训练 针对训练 如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？ 2m 4m x 0 y 建立如图所示直角坐标系， 设这条抛物线表示的二次函数为y=a 由抛物线过点(2,-2)得-2=a×4，a=- 所以这条抛物线表示的二次函数为 将y=-3带入二次函数得， ∴水面的宽度增加了（-4）m 新建坐标轴位置不同，所列方程不同 探究新知 探究新知 如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？ 2m 4m x 0 y 建立如图所示直角坐标系， 设这条抛物线表示的二次函数为y=a+b 由抛物线过点(2,0)、（0,2） 所以这条抛物线表示的二次函数为+2 将y=-1带入二次函数得， ∴水面的宽度增加了（-4）m 探究新知 探究新知 如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？ 2m 4m x 0 y 建立如图所示直角坐标系， 设这条抛物线表示的二次函数为y=a(+b 由抛物线过点(2,2)、（4,0）、（0,0） 所以这条抛物线表示的二次函数为+2 将y=-1带入二次函数得， ∴水面的宽度增加了（-4）m 探究新知 探究新知 如图是一座抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。水面下降1m, 水面宽度为多少？水面宽度增加多少？ 2m 4m x 0 y 根据坐标系位置，尝试列方程求解 探究新知 探究新知 （1）建立适当的平面直角坐标系。 （2）根据题意找出已知点的坐标。 （3）求出抛物线解析式。 （4）直接利用图象解决实际问题。 [问题]简述利用二次函数解决拱桥问题的方法？ 知识归纳 知识归纳 典例2 抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽AB为6米，最高点O距地面5米．现有一辆集装箱车，宽为2.8米，高为4米，请通过计算说明此车能否通过拱门． 解：建立如右图所示的直角坐标系，矩形代表卡车， 则点B的坐标为：（3，﹣5）， 则抛物线的表达式为：y＝ ， 将点B的坐标代入上式并解得：a＝ ， 则抛物线的表达式为：y＝ ， 当x＝1.4时，y＝- ，即x＝1.4时，抛物线对应点离x轴的距离为 ， 则离地面的距离为6﹣ ＞4，故此车能通过拱门． x y 典例分析 典例分析 1．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(       ) A． B． C． D． 【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)， ∴-78=452a，解得：a=， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选B. 针对训练 针对训练 2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是(　　) A．2m B．4m C．m D．m 【详解】根据题意，得OA=12，OC=4． 所以抛物线的顶点横坐标为6，即﹣==6，∴b=2． ∵C（0，4），∴c=4，所以抛物线解析式为： y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣6）2+10 当y=8时，8=﹣（x﹣6）2+10， 解得：x1=6+2，x2=6﹣2．则x1﹣x2=4． 所以两排灯的水平距离最小是4．故选：D． 针对训练 针对训练 3．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超______m. 【详解】建立如右图所示坐标系， 利用待定系数法设函数的解析式为y=a(x+2)(x-2)代入点C坐标， 求得a=-， 即抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-2)， 令x=1，解得y=1.5， 船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米. 故答案为：1.2. x y O 针对训练 针对训练 1．某景区旅游商店以元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．   (1)求关于的函数表达式： 【详解】（1）当时，设关于的函数表达式为y=kx+b， 将点代入得，∴解得： ∴y=-x+70， 当时，设关于的函数表达式为， 将点代入得，解得： ∴y=-2x+100， 针对训练 直击中考 1．某景区旅游商店以元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．   (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 （2）设利润为 当时， ∵在范围内，随着的增大而增大， 当x=30时，取得最大值为； 当时， ∴当x=35时，w取得最大值为 ， 当销售价格为元时，利润最大为． 针对训练 直击中考 2．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 (1)___________， ___________； （1）解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克， ∴，解得， 故答案为：，； 针对训练 直击中考 2．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 (2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式； （2）解：由题意当时， ， 当时，， 针对训练 直击中考 2．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 (3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？ （3）解：由题意当时，， ∵，∴当时，最大为， 当时，，由时，解得， 又∵x为整数，且，∴当时，随的增大而增大， ∴第至天，销售额超过1000元，共7天． 针对训练 直击中考 3．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得．∴A(),B()． 针对训练 直击中考 1.如何求二次函数的最小(大)值？如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？ 2.在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？ 归纳小结 归纳小结 P51~52:习题22.3 第2、3、8题 布置作业 布置作业 $$