21.3 实际问题与一元二次方程 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 第一单元 21.3 实际问题与一元二次方程 第一课时 传播问题和变化率问题 1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习目标 复习巩固 探究新知 典例分析 针对训练 探究新知 典例分析 针对训练 归纳小结 直击中考 布置作业 目录 【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法? x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0) 直接开方法 配方法 公式法 因式分解法 (x-x1)(x-x2)=0 复习巩固 【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。 复习巩固 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ [分析] 1）开始传染源_________人； 2）第一轮后有_________人患了流感； 3）第二轮传染中，已经患病的人平均又传染了x人， 第二轮后有___________人患了流感； x+1 x(x + 1) 1 设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 一轮传染 二轮传染 具体传播过程 … …… …… …… …… … x x(x+1) 列方程 1+x+x(1+x) = 121 　　答：平均一个人传染了 10 个人． 解方程得x1=10，x2=-12 （不合题意，舍去） 探究新知 探究新知 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 一轮传染 二轮传染 具体传播过程 … …… …… …… …… … x x(x+1) 【问题】如果按照这样的传播速度，第三轮传染过后总共会有多少人得流感？ [分析]经过两轮传染后共有_______个人患了流感,平均每轮传染________人，则第三轮有___________人患了流感。 121 10 1210 121+121×10 = 1 331（人） 前2轮患病人数 第三轮患病人数 三轮总共患病人数 探究新知 探究新知 【提问】若某人感染流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，填空： 起始人数 传播人数 传播后人数 第一轮 1 x 第二轮 第三轮 … … … … 第n轮 m x+1 x+1 x(x+1) x(x+1)+x+1= x(x+1)+x+1 x[x(x+1)+x+1] x[x(x+1)+x+1]+x(x+1)+x+1 = mx mx+m = 解决“传播问题”的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。 探究新知 探究新知 【详解】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 由题可知， 整理得， 解得，（舍）， 则（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+11）3=1728＞1700． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑.若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过1700台； 例1 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有144台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过1700台？ 典例分析 典例分析 【解析】 (1)解：由题意可知：第一轮传染后患病的人数人， (2)解：设在每轮传染中一人将平均传给人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵，都不是正整数， ∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生． 例2 某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人． (1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）； (2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？ 典例分析 典例分析 【详解】（1）解：第一轮被感染的人数为x，第二轮被传染上流感人数是， （2）解：经过两轮传染后不会有63人患病的情况发生，理由如下： 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∵不为正整数， ∴第二轮传染后不会有63人患病的情况发生． 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人． (1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示） (2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由． 针对训练 针对训练 【详解】解：（1） （场），答：共进行6场比赛； （2）设有 支球队参加比赛，根据题意得： ， 解得： （不合题意，舍去）， 答：有9支球队参加比赛． 2. 学生会要组织“西实杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行______场比赛； （2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 针对训练 针对训练 3 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？ 假设每个支干长出2枝 1+2+=7 假设每个支干长出3枝 1+3+=13 假设每个支干长出n枝 1+n+ 针对训练 针对训练 3 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出 x 个小分支， 则 1 + x + x2 = 91 解方程，得x1 = 9，x2 = -10（不合题意，舍去） 答：每个支干长出 9 个小分支 针对训练 针对训练 1．某农户的小麦产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 50 000 kg，第二年的产量为____________ kg，第三年的产量为______________ kg． 50 000(1 + x ) 2．某粮食厂2021年面粉产量为a吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2022年的产量将是_________吨．2023年的产量将是__________吨． a(1–x) 年平均增长率为 x 50000 50 000(1 + x ) 探究新知 探究新知 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 【提问】什么是下降额？下降率如何计算？ 下降额=下降前的量-下降后的量 增长额=增长后的量-增长前的量 下降率= = 【提问】什么是增长额？增长率如何计算？ 增长率= = 探究新知 探究新知 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元）． 甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元）， 显然，乙种药品的年平均下降额较大，但是年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分率）。 探究新知 探究新知 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x 　　一年后甲种药品成本为____________元， 　　两年后甲种药品成本为____________元． 列方程得=3000 解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）． 答：甲种药品成本的年平均下降率为22.5% -x） 【补充】下降率是用减少的数除以原数，则所得结果必定小于1，因此不能大于或等于1。 探究新知 探究新知 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设乙种药品成本的年平均下降率为 y 　　一年后乙种药品成本为____________元， 　　两年后乙种药品成本为____________元． 列方程得=3600 解方程得 x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）． 答：乙种药品成本的年平均下降率为22.5% 1-y） 探究新知 探究新知 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 【问题】经过计算，你能得出什么结论？ 【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 【问题】应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 　成本下降额表示绝对变化量， 成本下降率表示相对变化量， 两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。 两种药品成本的年平均下降率相等 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。 探究新知 探究新知 【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：400（1﹣x）2=361， 解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%； （2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）， 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元． 例3 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本． 典例分析 典例分析 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为． （2）（万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人． 1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 针对训练 针对训练 1．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B．10 C．7 D．9 2．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】设有x支队伍，根据题意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B． 【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得， ，故选：B． 针对训练 直击中考 【详解】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为． 第二个月新建了个充电桩， 第三个月新建了个充电桩， 第三个月新建了500个充电桩，于是有， 故答案为． 3．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________． 针对训练 直击中考 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得：，解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人， 由题意，得：，解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人． 4．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 针对训练 直击中考 【详解】 解：（1）设亩产量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵，∴他们的目标可以实现． 5．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 针对训练 直击中考 1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？ 2. 你知道本节课研究“传播问题”的基本特征吗？解决此类问题的关键步骤是什么？ “传播问题”的基本特征：以相同的速度逐轮传播。 解决此类问题的关键步骤：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数。 针对训练 归纳小结 第二十一章 一元二次方程 第一单元 21.3 实际问题与一元二次方程 第二课时 几何问题和数字问题 1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习目标 复习巩固 探究新知 典例分析 针对训练 归纳小结 探究新知 典例分析 归纳小结 直击中考 布置作业 针对训练 目录 【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。 复习巩固 【提问】计算下列图形面积? 复习巩固 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 27 21 【分析】封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。 设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是： 9a 7a (27-9a): (21-7a)= 9(3-a):7(3-a)= 9:7 探究新知 探究新知 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 27 21 解法一：设上、下边衬的宽均为9y cm ，左、右边衬的宽均为7y cm， 由题意得 (27-18y)(21-14y)=27 整理,得：16y 2 - 48y + 9 = 0 解方程，得y= 则y1=舍去） 答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm 所以9y=1.8 cm，7y=1.4 cm 【提问】为什么舍去2.8？请说明原因？ 探究新知 探究新知 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 27 21 解法二：设正中央的矩形长和宽分别为9x cm，7x cm 由题意得 927 解方程，得x= 则x1=舍去） 答：上、下边衬的宽度为1.8cm，左、右边衬的宽度为1.4cm 故上、下边衬的宽度为≈1.8 cm， 左、右边衬的宽度为≈1.4 cm 探究新知 探究新知 如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠 把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，水渠应挖多宽？ 【分析】设水渠宽为 x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，它的长为 ___________m, 宽___________m. 60 92 60-x 92-2x (92 – 2x ) (60-x) 解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885 解得 x1=105(舍去），x2=1 答：水渠应挖1米宽 探究新知 探究新知 如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠 把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，水渠应挖多宽？ 【分析】设水渠宽为 x m，水渠的总面积为______________________________________________ 92x +260x -2x2 解：设水渠的宽应挖 x m . 92×60 - 92x - 2×60x+ 2x2 = 6×885 解得 x1=105(舍去），x2=1 答：水渠应挖1米宽 探究新知 探究新知 例1 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高。 解：设这个梯形的高为 x cm，则上底为(x+4)cm，下底为(x+20)cm. 根据题意得(x+4+x+20)=160 整理，得x2 +12x -160= 0 解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 ) 答：这个梯形的高为8cm. 典例分析 典例分析 1.如图，准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为_____米． 【详解】 设小路的宽度为，由题意得，由，可得. 针对训练 针对训练 2. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 【详解】 解：1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（35﹣2x）＝150， 解得：x1＝10，x2＝7.5， 当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18， 当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去）， 则养鸡场的宽是10m，长为15m． 针对训练 针对训练 2. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 【详解】 2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（35﹣2x）＝200， 整理得：2x2﹣35x+200＝0， △＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0， 因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2． 针对训练 针对训练 几何问题 与一元二次方程 几何图形 常见几何图形周长或面积是等量关系. 类 型 课本封面问题 小路宽度问题 常采用图形平移，聚零为整方便列方程. 归纳小结 归纳小结 通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄。 将题干内容转换为数学语言： 周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄。 【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为，依题意得： ， 解得，， 当时，，（不合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， 答：周瑜去世时的年龄为岁． 探究新知 探究新知 一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数. 【详解】设个位数字为，则十位数字为. 得， ∴这个两位数为36或63. 探究新知 探究新知 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 典例2 一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 典例分析 典例分析 【详解】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为， 根据题意，得， 解得， 当时，； 当时，． 故答案为：，或． 1 两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为_________________，这两个数分别为_______________． 针对训练 针对训练 1．第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME—14的举办年份． (1)八进制数3747换算成十进制数是______； (2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值． 【详解】（1） （2）由题意，得， 解得，（舍负） 能力提升 能力提升 2 阅读材料，回答下列问题： 反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∴ 解得x=2或（舍去）， ∴， ∴这个两位数为． 能力提升 能力提升 3 如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由． 【详解】（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米， 依题意列方程得：（60﹣x+2）x＝300， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50，∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米； 能力提升 能力提升 3 如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由． （2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：（60﹣x+2）x＝500， △＝622﹣4000＝﹣156＜0， 则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园． 答：不能围成500平方米的矩形花园． 能力提升 能力提升 1．如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 【详解】解：设道路的宽应为x米， 由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4m． 针对训练 直击中考 【详解】解：设这个最小数为． 根据题意，得x(x+8)=65． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 2．2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 针对训练 直击中考 1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？ 2. 你知道解决“几何问题” 、“数字问题” 的关键步骤是什么？ 针对训练 归纳小结 第二十一章 一元二次方程 第一单元 21.3 实际问题与一元二次方程 第三课时 销售问题、图表问题、动点问题 1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习目标 复习巩固 探究新知 典例分析 针对训练 探究新知 典例分析 针对训练 归纳小结 直击中考 布置作业 探究新知 典例分析 针对训练 目录 【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。 复习巩固 九年级学生小明在暑假期间勤工俭学。 1）他每天在批发市场以每斤2.5元买进黄瓜，再到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么他每卖1斤黄瓜可以赚到 元； 2）如果他每天都能卖完50斤黄瓜，则他每天收入是 元。 3）他每天外面吃饭需花费20元，则他每天实际可以获得_____________元。 1.5 75 单件售价-单件进价=单件利润 单件利润×销量=总利润 50 总利润-支出=实际利润（或：销售总额-成本总额-支出=实际利润) 【提问】根据上述问题，你能售价、进价、利润、支出之间存在的关系吗? [补充]1）利润率=100% 2）商品售价=标价 3）商品售价=商品进价(1+利润率) 探究新知 探究新知 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减小库存，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【分析】设衬衫单价应降x元， 单件利润 销量 总利润 降价前 降价后 40-x 20+2x 设衬衫单价应降x元 由题意得(40-x)(20+2x)=1200 解方程得x1=20，x2=10 【提问】站在商家角度你觉得如何降价合适？ 40 20 800 1200 ∵尽快减小库存∴ x=20 答：衬衫的单价降了20元 探究新知 探究新知 某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元且进货成本不超过24000元，应按每件多少元出售？ 【分析】设应按每件 x 元出售 进价 售价 单件利润 销量 总利润 提价前 50 60 10 800 8000 提价后 50 x x-50 800-20（x-60） 12000 设应按每件 x 元出售 由题意得（x-50）[ 800-20（x-60）]=12000 解方程得x1=70，x2=80 当x=70时，50 （800-20 10）=30000>24000 舍去 当x=80时，50 （800-20 20）=20000<24000 答：应按每件 80 元出售，进货数量400件 探究新知 探究新知 某商店进了一批服装，进货单价为50元，若按每件60元出售，则可销售800件；若每件再提价1元出售，则其销售量就减少20件。现在预算要获利润12000元且进货成本不超过24000元，应按每件多少元出售？ 【提问】如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？ 设提价x元 由题意得(10+x)(800-20x)=12000 解方程得x1=10，x2=20 当x=10时，50 （800-20 10）=30000>24000 舍去 当x=20时，50 （800-20 20）=20000<24000 当x=20时,60+x=60+20=80 元 答：应按每件 80 元出售，进货数量400件 探究新知 探究新知 例1 某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设该产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题． 1）用含x的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元； 档次 销售量（件） 单件利润（元） 1（最低） 76 10 2 3 4 ... ... ... 10（最高） x 12 72 14 68 16 64 28 40 10+2（x-1） 76-4（x-1） 解（1）一天生产的产品件数为[76-4（x-1）]=（80-4x）件， 每件产品的利润为[10+2（x-1）]=（8+2x）元， 典例分析 典例分析 例1 某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题． 2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次x的值． （2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080， 整理得：-8x2+128x+640=1080， 解得：x1=5，x2=11， ∵x=11＞10，不符合题意，舍去。∴x=5， 答：当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元。 典例分析 典例分析 【详解】解：设每副羽毛球拍降价x元， 由题意得：（40-x）（20+5x）=1700， 整理得：x2-36x+180=0， 解方程得：x1=6，x2=30， 因为 每副降价幅度不超过15元， 所以 x=6符合题意，故答案是：6． 1．李华在网上开了一家羽毛球拍专卖店，平均每天可销售副，每个盈利元，若每副降价元，则每天可多销售副.如果每天要盈利元，每副应降价______元(要求每个降价幅度不超过元) 针对训练 针对训练 【详解】解：1）设每千克核桃应降价x元 根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240， 化简，得 x2﹣10x+24=0， 解得x1=4，x2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元. 2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： 1）每千克核桃应降价多少元？ 2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 针对训练 针对训练 2）由1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客， ∴每千克核桃应降价6元 此时，售价为：60﹣6=54（元）， 答：该店应按原售价的九折出售． 2．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： 1）每千克核桃应降价多少元？ 2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 针对训练 针对训练 某公司组织一批员工到龙湾风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？ 解：设参加旅游人数共有x人， ∵800×30=24000<28000，∴参加人数x>30, 根据题意，得x× [800-10（x-30）]=28000. 整理，得 解得，x1=40，x2=70 当x=40时， [800-10（x-30）]=800-10 （40-30）=700>500 当x=70时， [800-10（x-30）]=800-10 （70-30）=400<500（不符合题意，舍去） 答：参加人数共有40人 【分析】设参加旅游人数共有x人，公司支付给旅行社28000元，说明__________,则人均收费__________________________元 x>30 [800-10（x-30）] 探究新知 探究新知 为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． 1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过部分应交水费 元（用含x的式子表示）． 2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 根据上表数据，求该x吨是多少？ 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 【详解】 解：（1）超过的用水量为（80-x）吨，所以，超过部分应交水费（80-x）元； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况可以列出方程：（85-x）=25 解得，x1=60，x2=25 因为，所以x=60 答：该水厂规定的x吨是60吨． 探究新知 探究新知 例2 某市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗? 里程x（km） 0＜x≤3 3＜x≤6 x＞6 单价y（元） N 【详解】 由题意，可列出方程 整理得N2—29.1N+191=0． 解方程得N1=10，N2=19.1（不合题意舍去） 答：起步价是10元． 典例分析 典例分析 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？某风景区的旅游信息如下： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800， 解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 针对训练 针对训练 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ A B C D P Q 【提示】设x s后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt △DAP 、 Rt △PBQ、 Rt △QCD的面积也都可以用含x的代数式表示，于是可以列出方程。 x 6 12 12-2x 2x 6-x 设x s后△DPQ的面积等于28cm2，则S△APD =______________ S△PBQ =________________， S△DCQ =_________________ 根据题意得， + +28=72 化简得， 解方程得， x1=2，x2=4 答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2 新知讲解 新知讲解 例3 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ 设经过x s时间P、Q两点之间的距离是10cm。 3x 2x 2x 16-5x 解方程得x1=1.6，x2=4.8 答：1.6s或4.8s后P、Q距离是10cm 典例分析 典例分析 3x 2x 2x 16-5x E x=2时，由运动可知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm， ∴四边形ABCD是矩形， ∴QE＝AD＝6， ∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6， 根据勾股定理得PQ=, ∴当x＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm； 2x 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。 1)当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？ 2)当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？ 针对训练 针对训练 P’ x=4时，由运动知AP′＝3×4＝12 cm，CQ′＝2×4＝8 cm， ∴四边形ABCD是矩形， ∴P′E＝AD＝6， P′B=CE=AB-AP′=16-12=4 ∴Q′E＝Q′C﹣CE＝8﹣4＝4， 根据勾股定理得P′Q′=, ∴当x＝4 s时，P，Q两点的距离为cm； Q’ E 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。 1)当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？ 2)当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？ 针对训练 针对训练 【详解】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：y=kx+b， 将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式得： ，解得：，故函数的表达式为：y=10x+100； （2）由题意得：（10x+100）（55-x-35）=1760， 整理，得． 解得，（舍去）．所以55-x=43． 答：这种消毒液每桶实际售价43元． 1．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？ 针对训练 直击中考 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 2．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 针对训练 直击中考 【详解】解：设该水果每千克降价x（x>0）元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 根据 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：该水果的销售价为每千克29元． 3．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求该水果的销售价为每千克多少元？ 针对训练 直击中考 1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言简述一元二次方程解应用题的步骤？ 2. 你知道解决“销售问题” 、“图表问题” 、“动点问题” 的关键步骤是什么？ 针对训练 归纳小结 1．某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有1200个座位，如果票价定为每张100元，那么门票可以全部售出如果票价每增加1元，那么门票就减少2张，要使得门票收入为245000元，票价应该定为多少元？ 2．某超市销售一种矿泉水，进价为每箱24元，现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱。经市场调查发现：若这种矿泉水的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．如果该超市想要每月销售这种矿泉水的利润为650元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？ 3.如图，已知AB⊥BC，AB＝12 cm，BC＝8 cm．动点M从点A沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时动点N从点C沿CB方向以1 cm/s的速度也向点B运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止．当△MNB的面积为24 cm2时，求它们运动的时间． 针对训练 布置作业 1.解：设应定为x元， 则由题意可得： 即解得： 答：定价定为350元． 2.设每箱降价元，则每月可销售(10 +60)箱， 依题意得：(36−x−24)(10x+60)=650， 解得： (舍去)． 答：每箱矿泉水需要降价7元． 3.解：根据题意可知cm， cm， ∴cm， cm， ∵△MNB的面积为24cm2， ∴， 解得：t1＝2，t2＝12（不合题意，舍去） ∴运动的时间为2s． 针对训练 布置作业 $$